考點一 空間直線、平面位置關(guān)系的判定
核心提煉
判斷空間直線、平面位置關(guān)系的常用方法
(1)根據(jù)空間線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐項判斷，解決問題.
(2)必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀察線、面的位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理進行判斷.
例1 (1)(多選)已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是( )
A.若α∥β，m?α，n?β，則m∥n B.若m⊥α，m∥n，n⊥β，則α∥β
C.若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n D.若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β
(2)(多選)每個面均為正三角形的八面體稱為正八面體，如圖.若點G，H，M，N分別是正八面體ABCDEF的棱DE，BC，AD，BF的中點，則下列結(jié)論正確的是( )
A.四邊形AECF是平行四邊形 B.GH與MN是異面直線
C.GH∥平面EAB D.GH⊥BC
規(guī)律方法 對于線面關(guān)系的存在性問題，一般先假設(shè)存在，然后再在該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足，則假設(shè)成立；若得出矛盾，則假設(shè)不成立.
跟蹤演練1 (1)(多選)在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，直線A1C與平面AB1D1的交點為M，O為線段B1D1的中點，則下列結(jié)論正確的是( )
A.A，M，O三點共線 B.M，O，A1，A四點共面
C.B，B1，O，M四點共面 D.A，O，C，M四點共面
(2)設(shè)點E為正方形ABCD的中心，M為平面ABCD外一點，△MAB為等腰直角三角形，且∠MAB＝90°，若F是線段MB的中點，則( )
A.ME≠DF，且直線ME，DF是相交直線
B.ME＝DF，且直線ME，DF是相交直線
C.ME≠DF，且直線ME，DF是異面直線
D.ME＝DF，且直線ME，DF是異面直線
考點二 空間平行、垂直關(guān)系
核心提煉
平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化
例2 如圖，四邊形AA1C1C為矩形，四邊形CC1B1B為菱形，且平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，D，E分別為邊A1B1，C1C的中點.
(1)求證：BC1⊥平面AB1C；
(2)求證：DE∥平面AB1C.
規(guī)律方法 (1)證明線線平行的常用方法
①三角形的中位線定理；②平行公理；③線面平行的性質(zhì)定理；④面面平行的性質(zhì)定理.
(2)證明線線垂直的常用方法
①等腰三角形三線合一；②勾股定理的逆定理；③利用線面垂直的性質(zhì)證線線垂直.
跟蹤演練2 如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分別是線段A1B，AC1的中點.
(1)求證：MN⊥AA1；
(2)在線段BC1上是否存在一點P，使得平面MNP∥平面ABC？若存在，指出點P的具體位置；若不存在，請說明理由.
考點三 翻折問題
核心提煉
翻折問題，關(guān)鍵是分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變，一般地，位于“折痕”同側(cè)的點、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的點、線、面之間的位置關(guān)系會發(fā)生變化；對于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決.
例3 (1)已知正方形ABCD中E為AB中點，H為AD中點，F(xiàn)，G分別為BC，CD上的點，CF＝2FB，CG＝2GD，將△ABD沿著BD翻折得到空間四邊形A1BCD，則在翻折過程中，以下說法正確的是( )
A.EF∥GH B.EF與GH相交 C.EF與GH異面 D.EH與FG異面
(2)(多選)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C的中點，則在△ADE翻折的過程中，下面四個命題中正確的是( )
A.BM的長是定值
B.點M的運動軌跡在某個圓周上
C.存在某個位置，使DE⊥A1C
D.A1不在底面BCD上時，MB∥平面A1DE
易錯提醒 注意圖形翻折前后變與不變的量以及位置關(guān)系.對照前后圖形，弄清楚變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位置與數(shù)量關(guān)系.
跟蹤演練3 (多選)如圖，在矩形ABCD中，BC＝1，AB＝x，BD和AC交于點O，將△BAD沿直線BD翻折，則下列說法中正確的是( )
A.存在x，在翻折過程中存在某個位置，使得AB⊥OC
B.存在x，在翻折過程中存在某個位置，使得AC⊥BD
C.存在x，在翻折過程中存在某個位置，使得AB⊥平面ACD
D.存在x，在翻折過程中存在某個位置，使得AC⊥平面ABD
專題強化練
一、單項選擇題
1.已知三條直線a，b，c，若a和b是異面直線，b和c是異面直線，那么直線a和c的位置關(guān)系是( )
A.平行 B.相交 C.異面 D.平行、相交或異面
2.設(shè)α，β為兩個不同的平面，則α∥β的一個充要條件可以是( )
A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行
B.α，β垂直于同一個平面
C.α，β平行于同一條直線
D.α，β垂直于同一條直線
3.正方體上的點M，N，P，Q是其所在棱的中點，則下列各圖中直線MN與直線PQ是異面直線的圖形是( )
4.如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P是A1D的中點，則下列說法正確的是( )
A.直線PB與直線D1C平行，直線PB⊥平面A1C1D
B.直線PB與直線AC異面，直線PB⊥平面ADC1B1
C.直線PB與直線B1D1相交，直線PB?平面ABC1
D.直線PB與直線A1D垂直，直線PB∥平面B1D1C
5.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A﹣BCD，則在三棱錐A﹣BCD中，下列結(jié)論正確的是( )
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABC
6.如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，過A1B且與AC1平行的平面交B1C1于點P，則PC1等于( )
A.2 B.eq \r(3) C.eq \r(2) D.1
二、多項選擇題
7.如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，則( )
A.BD∥平面EGHF B.FH∥平面ABC
C.AC∥平面EGHF D.直線GE，HF，AC交于一點
8.如圖1，已知E為正方形ABCD的邊AB的中點，將△DAE沿邊DE翻折到△PDE，連接PC，PB，EC，設(shè)F為PC的中點，連接BF，如圖2，則在翻折的過程中，下列命題正確的是( )
A.存在某一翻折位置，使得DE∥平面PBC
B.在翻折的過程中(點P不在平面BCDE內(nèi))，都有BF∥平面PDE
C.存在某一翻折位置，使得PE⊥CD
D.若PD＝CD＝PC＝4，則三棱錐P﹣CDE的外接球的表面積為eq \f(76π,3)
三、填空題
9.已知l是平面α，β外的直線，給出下列三個論斷：①l∥α；②α⊥β；③l⊥β.以其中兩個論斷為條件，余下的論斷為結(jié)論，寫出一個正確命題：________.(用序號表示)
10.三棱錐A﹣BCD中，AB＝CD＝1，過線段BC的中點E作平面EFGH與直線AB，CD都平行，且分別交BD，AD，AC于F，G，H，則四邊形EFGH的周長為________.
11.已知三棱臺ABC﹣A1B1C1的上、下底面均為正三角形，AB＝1，A1B1＝2，側(cè)棱長AA1＝BB1＝CC1，若AA1⊥BB1，則此棱臺的高為________.
12.如圖，把邊長為a的正方形ABCD沿對角線BD折起，使A，C的距離為a，則異面直線AC與BD的距離為________.
四、解答題
13.如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E為AC的中點.
(1)證明：平面BED⊥平面ACD；
(2)設(shè)AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，點F在BD上，當△AFC的面積最小時，求三棱錐F﹣ABC的體積.
14.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，A＝eq \f(π,2)，AD＝1，AB＝2，BC＝3，將梯形沿中位線EF折起使AE⊥BE，并連接AB，DC得到多面體AEB﹣DFC，連接DE，BD，BF.
(1)求證：DF⊥平面BED；
(2)求點E到平面BDF的距離.

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