TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc140394746" 題型一：直線的方程 PAGEREF _Tc140394746 \h 1
\l "_Tc140394747" 題型二：圓的方程 PAGEREF _Tc140394747 \h 2
\l "_Tc140394748" 題型三：直線和圓的綜合問題 PAGEREF _Tc140394748 \h 2
\l "_Tc140394749" 題型四：橢圓 PAGEREF _Tc140394749 \h 4
\l "_Tc140394750" 題型五：雙曲線 PAGEREF _Tc140394750 \h 6
\l "_Tc140394751" 題型六：拋物線 PAGEREF _Tc140394751 \h 12
\l "_Tc140394752" 題型七：圓錐曲線的綜合問題 PAGEREF _Tc140394752 \h 14
題型一：直線的方程
1．(2018年高考數(shù)學(xué)北京(理)·第7題)在平面直角坐標(biāo)系中，記為點到直線的距離，當(dāng)變化時，的最大值為( )
A．1B．2C．3D．4
2．(2014高考數(shù)學(xué)上海理科·第17題)已知與是直線(為常數(shù))上兩個不同的點，則關(guān)于和的方程組的解的情況是( )．
A．無論如何，總是無解B．無論如何，總有唯一解
C．存在，使之恰有兩解D．存在，使之有無窮多解
3．(2014高考數(shù)學(xué)江西理科·第10題)如右圖,在長方體中,=11,=7,=12,一質(zhì)點從頂點A射向點,遇長方體的面反射(反射服從光的反射原理),將次到第次反射點之間的線段記為,,將線段豎直放置在同一水平線上,則大致的圖形是( )
( )
題型二：圓的方程
1．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科·第7題)過三點，，的圓交軸于兩點，則( )
A．B．8C．D．10
2．(2022高考北京卷·第3題)若直線是圓的一條對稱軸，則( )
A．B．C．1D．
3．(2014高考數(shù)學(xué)江西理科·第9題)在平面直角坐標(biāo)系中,分別是軸和軸上的動點,若以為直徑的圓與直線相切,則圓面積的最小值為( )
A．B．C．D．
題型三：直線和圓的綜合問題
1．(2020北京高考·第5題)已知半徑為的圓經(jīng)過點，則其圓心到原點的距離的最小值為( )．
A．B．C．D．
2．(2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷·第6題)過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則( )
A．1B．C．D．
3．(2020年高考課標(biāo)Ⅰ卷理科·第11題)已知⊙M：，直線：，為上的動點，過點作⊙M的切線，切點為，當(dāng)最小時，直線的方程為( )
A．B．C．D．
．
4．(2020年高考課標(biāo)Ⅱ卷理科·第5題)若過點(2，1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為( )
A．B．C．D．
5．(2021高考北京·第9題)已知直線(為常數(shù))與圓交于點，當(dāng)變化時，若的最小值為2，則( )
A．B．C．D．
6．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷(理)·第6題)直線分別與軸，軸交于兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是( )
A．B．C．D．
7．(2014高考數(shù)學(xué)福建理科·第6題)直線與圓相交于兩點，則是的( )
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件
8．(2015高考數(shù)學(xué)重慶理科·第8題)已知直線是圓的對稱軸．過點作圓的一條切線，切點為，則( )
A．B．C．D．
9．(2015高考數(shù)學(xué)山東理科·第9題)一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后與圓 QUOTE 相切，則反射光線所在直線的斜率為( )
A．或B． QUOTE 或 QUOTE C．或D．或
10．(2015高考數(shù)學(xué)廣東理科·第5題)平行于直線且與圓相切的直線的方程是( )
A．或B．或
C．或D．或
11．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第4題)圓的圓心到直線的距離為1，則( )
A．B．C．D．
題型四：橢圓
1．(2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷·第5題)設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則( )
A．B．C．D．
2．(2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷·第5題)已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與C交于A．B兩點，若面積是面積的2倍，則( )．
A．B．C．D．
3．(2023年全國甲卷理科·第12題)設(shè)O為坐標(biāo)原點，為橢圓的兩個焦點，點P在C上，，則( )
A．B．C．D．
4．(2021年新高考Ⅰ卷·第5題)已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為( )
A．13B．12C．9D．6
5．(2021年高考全國乙卷理科·第11題)設(shè)是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是( )
A．B．C．D．
6．(2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)·第10題)橢圓的左頂點為A．點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為( )
A．B．C．D．
7．(2019·全國Ⅱ·理·第8題)若拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，則( )
A．B．C．D．
8．(2019·全國Ⅰ·理·第10題)已知橢圓的焦點為，，過的直線與交于，兩點．若，
，則的方程為( )
9．(2019·北京·理·第4題)已知橢圓(a＞b＞0)的離心率為，則( )
A．B．C．D．
10．(2018年高考數(shù)學(xué)上?！さ?3題)設(shè)是橢圓上的動點，則到該橢圓的兩個焦點的距離之和為( )
A．B．B．D．
11．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷(理)·第11題)設(shè)是雙曲線的左、右焦點，是坐標(biāo)原點，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，若，則的離心率為( )
A．B．C．D．
12．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷(理)·第12題)已知，是橢圓的左，右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為( )
A．B．C．D．
13．橢圓的中心為點，它的一個焦點為，相應(yīng)于焦點的準(zhǔn)線方程為，則這個橢圓的方程是
Ａ．Ｂ．( )
Ｃ．Ｄ．
14．(2014高考數(shù)學(xué)大綱理科·第6題)已知橢圓C：的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線交C于A．B兩點，若的周長為4 EQ \R(,3)，則C的方程為( )
A．B．C．D．
15．(2017年高考數(shù)學(xué)浙江文理科·第2題)橢圓的離心率是( )
A．B．C．D．
16．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第10題)已知橢圓，的左、右頂點分別為，，且以線段為直徑的圓與直線相切，則的離心率為( )
A．B．C．D．
17．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第11題)已知為坐標(biāo)原點,是橢圓C:的左焦點,分別為的左、右頂點.為上一點,且軸.過點的直線與線段交于點,與軸交于點.若直線經(jīng)過OE的中點,則的離心率為( )
A．B．C．D．
題型五：雙曲線
1．(2023年天津卷·第9題)雙曲線的左、右焦點分別為．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為( )
A．B．
C．D．
2．(2023年全國乙卷理科·第11題)設(shè)A．B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是( )
A．B．C．D．
3．(2021年高考全國甲卷理科·第5題)已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為( )
A．B．C．D．
4．(2020年高考課標(biāo)Ⅱ卷理科·第8題)設(shè)為坐標(biāo)原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為( )
A．4B．8C．16D．32
5．(2020年高考課標(biāo)Ⅲ卷理科·第11題)設(shè)雙曲線C：(a>0，b>0)左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為．P是C上一點，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面積為4，則a=( )
A．1B．2C．4D．8
6．(2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷·第8題)已知點O(0，0)，A(–2，0)，B(2，0)．設(shè)點P滿足|PA．–|PB．=2，且P為函數(shù)y=圖像上的點，則|OP|=( )
A．B．C．D．
7．(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)·第11題)雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D．過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為( )
A．B．C．D．
8．(2021高考天津·第8題)已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A．B兩點，交雙曲線的漸近線于C．D兩點，若．則雙曲線的離心率為( )
A．B．C．2D．3
9．(2021高考北京·第5題)若雙曲線離心率為，過點，則該雙曲線的方程為( )
A．B．C．D．
10．(2020天津高考·第7題)設(shè)雙曲線的方程為，過拋物線的焦點和點的直線為．若的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線的方程為( )
A．B．C．D．
11．(2019·浙江·第2題)漸近線方程為的雙曲線的離心率是( )
A．B．C．D．
12．(2019·全國Ⅲ·理·第10題)雙曲線C：=1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點，若，則△PFO的面積為( )
A．B．C．D．
13．(2019·全國Ⅱ·理·第11題)設(shè)為雙曲線的右焦點，為坐標(biāo)原點，以為直徑的圓與圓交于，兩點，若，則的離心率為( )
A．B．C．D．
14．(2018年高考數(shù)學(xué)浙江卷·第2題)雙曲線的焦點坐標(biāo)是( )
A．B．C．D．
15．(2018年高考數(shù)學(xué)天津(理)·第7題)已知雙曲線的離心率為2，過右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點．設(shè)到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的方程為( )
A．B．C．D．
16．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷(理)·第5題)雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為( )
A．B．C．D．
17．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ(理)·第11題)已知雙曲線,為坐標(biāo)原點，為的右焦點,過的直線與的兩條漸近線的交點分別為．若為直角三角形,則( )
A．B．C．D．
18．(2014高考數(shù)學(xué)重慶理科·第8題)設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線上存在一點使得則該雙曲線的離心率為( )
A．B．C．D．
19．(2014高考數(shù)學(xué)天津理科·第5題)已知雙曲線的一條漸近線平行于直線:,雙曲線的一個焦點在直線上,則雙曲線的方程為( )
A．B．C．D．
20．(2014高考數(shù)學(xué)山東理科·第10題)已知，橢圓的方程為，雙曲線的方程為，與的離心率之積為，則的漸近線方程為( )
A．B．C．D．
21．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科·第4題)已知是雙曲線:的一個焦點,則點到的一條漸近線的距離為( )
A．B．3C．D．
22．(2014高考數(shù)學(xué)湖北理科·第9題)已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點，是他們的一個公共點，且,則橢圓和雙曲線
的離心率的倒數(shù)之和的最大值為( )
A．B．C．3D．2
23．(2014高考數(shù)學(xué)廣東理科·第4題)若實數(shù)滿足則曲線與曲線的( )
A．離心率相等B．虛半軸長相等C．實半軸長相等D．焦距相等
24．(2014高考數(shù)學(xué)大綱理科·第9題)已知雙曲線C的離心率為2，焦點為F1，F(xiàn)2，點A在C上，若，則( )
A．B．C．D．
25．(2015高考數(shù)學(xué)重慶理科·第10題)設(shè)雙曲線的右焦點為，右頂點為,過作的垂線與雙曲線交于兩點，過分別作的垂線交于點．若到直線的距離小于，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是( )
A．B．C．D．
26．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科·第11題)已知為雙曲線的左，右頂點，點在上，為等腰三角形，且頂角為，則的離心率為( )
A．B．C．D．
27．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科·第5題)已知是雙曲線C：上的一點，是C上的兩個焦點，若，則的取值范圍是( )
A．(-，)B．(-，)
C．(，)D．(，)
28．(2015高考數(shù)學(xué)天津理科·第6題)已知雙曲線的一條漸近線過點，且雙曲線的一個焦點在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為( )
A．B．C．D．
29．(2015高考數(shù)學(xué)四川理科·第5題)過雙曲線的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于兩點，則( )
B．C．6D．
30．(2015高考數(shù)學(xué)湖北理科·第8題)將離心率為的雙曲線的實半軸長和虛半軸長同時增加個單位長度，得到離心率為的雙曲線，則( )
A．對任意的，
B．當(dāng)時，；當(dāng)時，
C．對任意的，
D．當(dāng)時，；當(dāng)時，
31．(2015高考數(shù)學(xué)廣東理科·第7題)已知雙曲線的離心率，且其右焦點F2(5,0)，則雙曲線C的方程為
A．B．C．D．
32．(2015高考數(shù)學(xué)福建理科·第3題)若雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，且，則等于( )
A．11B．9C．5D．3
33．(2015高考數(shù)學(xué)安徽理科·第4題)下列雙曲線中，焦點在軸上且漸近線方程為的是( )
A．B．C．D．
34．(2017年高考數(shù)學(xué)天津理科·第5題)已知雙曲線的左焦點為,離心率為．若經(jīng)過和兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線,則雙曲線的方程為( )
A．B．C．D．
35．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第5題)已知雙曲線的一條漸近線方程為,且與橢圓有公共焦點，則的方程為( )
A．B．C．D．
36．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第9題)若雙曲線(，)的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則的離心率為( )
A．2B．C．D．
37．(2016高考數(shù)學(xué)浙江理科·第7題)已知橢圓與雙曲線的焦點重合，分別為的離心率，則( )
A．B．C．D．
38．(2016高考數(shù)學(xué)天津理科·第6題)已知雙曲線，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于四點，四邊形的面積為，則雙曲線的方程為( )
A．B．C．D．
39．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第11題)已知是雙曲線的左，右焦點，點在上，與軸垂直，,則的離心率為( )
A．B．C．D．2
40．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科·第5題)已知方程EQ\F(x2,m2+n)表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則的取值范圍是( )
(A)(B)(C)(D)
題型六：拋物線
1．(2023年北京卷·第6題)已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為5，則( )
A．7B．6C．5D．4
2．(2021年新高考全國Ⅱ卷·第3題)拋物線的焦點到直線的距離為，則( )
A．1B．2C．D．4
3．(2020年高考課標(biāo)Ⅰ卷理科·第4題)已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=( )
A．2B．3C．6D．9
4．(2020年高考課標(biāo)Ⅲ卷理科·第5題)設(shè)為坐標(biāo)原點，直線與拋物線C：交于，兩點，若，則的焦點坐標(biāo)為( )
A．B．C．D．
5．(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)·第5題)設(shè)F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則( )
A．2B．C．3D．
6．(2020北京高考·第7題)設(shè)拋物線的頂點為，焦點為，準(zhǔn)線為．是拋物線上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線( )．
A．經(jīng)過點B．經(jīng)過點
C．平行于直線D．垂直于直線
7．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ(理)·第8題)設(shè)拋物線的焦點為．過點且斜率為的直線與交于兩點，則( )
A．B．C．D．
8．(2014高考數(shù)學(xué)四川理科·第10題)已知為拋物線的焦點，點在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，(其中為坐標(biāo)原點)，則△與△面積之和的最小值是( )
A．2B．3C．D．
9．(2014高考數(shù)學(xué)遼寧理科·第10題)已知點在拋物線C：的準(zhǔn)線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B．記C的焦點為F，則直線BF的斜率為( )
A．B．C．D．
10．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科·第10題)設(shè)F為拋物線C:的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A．B兩點，O為坐標(biāo)原點，則△OAB的面積為( )
A．B．C．D．
11．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科·第10題)已知拋物線:的焦點為,準(zhǔn)線為,是上一點,是直線與的一個交點,若,則=( )
A．B．C．3D．2
12．(2015高考數(shù)學(xué)浙江理科·第5題)如圖，設(shè)拋物線的焦點為，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點，，，其中點，在拋物線上，點在軸上，則與的面積之比是( )
( )
A．B．C．D．
13．(2015高考數(shù)學(xué)四川理科·第10題)設(shè)直線與拋物線相交于兩點，與圓相切于點，且為線段的中點．若這樣的直線恰有4條，則的取值范圍是( )
A．B．C．D．
14．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科·第10題)已知為拋物線的焦點,過作兩條互相垂直的直線,,直線與交于兩點,直線與交于兩點,則的是小值為( )
A．B．C．D．
15．(2016高考數(shù)學(xué)四川理科·第8題)設(shè)為坐標(biāo)原點，是為焦點的拋物線上任意一點，是線段上的點，且，則直線的斜率的最大值為( )
A．B．C．D．
16．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科·第10題)以拋物線的頂點為圓心的圓交于兩點，交的準(zhǔn)線于兩點．已知，，則的焦點到準(zhǔn)線的距離為( )
(A)2(B)4(C)6(D)8
題型七：圓錐曲線的綜合問題
1．(2023年全國甲卷理科·第8題)已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A．B兩點，則( )
AB．C．D．
2．(2021年高考浙江卷·第9題)已知，函數(shù)．若成等比數(shù)列，則平面上點的軌跡是( )
A．直線和圓B．直線和橢圓C．直線和雙曲線D．直線和拋物線
3．(2019·天津·理·第5題)已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點和點，且(為原點)，則雙曲線的離心率為( )
A．B．C．D．
4．(2019·北京·理·第8題)數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一(如圖)．給出下列三個結(jié)論：
①曲線C恰好經(jīng)過6個整點(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)；
②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過；
③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3．
其中，所有正確結(jié)論的序號是( )
A．①B．②C．①②D．①②③
5．(2014高考數(shù)學(xué)福建理科·第9題)設(shè)分別是圓和橢圓上的點，則兩點間的最大距離是( )
A．B．C．D．
十年（2014－2023）年高考真題分項匯編—解析幾何選擇題
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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc140394746" 題型一：直線的方程 PAGEREF _Tc140394746 \h 1
\l "_Tc140394747" 題型二：圓的方程 PAGEREF _Tc140394747 \h 2
\l "_Tc140394748" 題型三：直線和圓的綜合問題 PAGEREF _Tc140394748 \h 3
\l "_Tc140394749" 題型四：橢圓 PAGEREF _Tc140394749 \h 9
\l "_Tc140394750" 題型五：雙曲線 PAGEREF _Tc140394750 \h 17
\l "_Tc140394751" 題型六：拋物線 PAGEREF _Tc140394751 \h 36
\l "_Tc140394752" 題型七：圓錐曲線的綜合問題 PAGEREF _Tc140394752 \h 44
題型一：直線的方程
1．(2018年高考數(shù)學(xué)北京(理)·第7題)在平面直角坐標(biāo)系中，記為點到直線的距離，當(dāng)變化時，的最大值為( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
解析：是單位圓上的點，直線過定點，當(dāng)與垂直時，即時，是最大值．
2．(2014高考數(shù)學(xué)上海理科·第17題)已知與是直線(為常數(shù))上兩個不同的點，則關(guān)于和的方程組的解的情況是( )．
A．無論如何，總是無解B．無論如何，總有唯一解
C．存在，使之恰有兩解D．存在，使之有無窮多解
【答案】B
解析：易得原點不在直線上，所以不在同一直線上，故向量與向量不平行，所以，方程組有唯一解，故選B．
3．(2014高考數(shù)學(xué)江西理科·第10題)如右圖,在長方體中,=11,=7,=12,一質(zhì)點從頂點A射向點,遇長方體的面反射(反射服從光的反射原理),將次到第次反射點之間的線段記為,,將線段豎直放置在同一水平線上,則大致的圖形是( )
( )
【答案】C
分析:

因為,所以延長交于,過作垂直于在矩形中分析反射情況:由于,第二次反射點為在線段上,此時,第三次反射點為在線段上,此時,第四次反射點為在線段上,由圖可知,選C．
題型二：圓的方程
1．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科·第7題)過三點，，的圓交軸于兩點，則( )
A．B．8C．D．10
【答案】C
解析：由已知得，，所以，所以，即為直角三角形，其外接圓圓心為，半徑為，所以外接圓方程為，令，得，所以，故選C．
2．(2022高考北京卷·第3題)若直線是圓的一條對稱軸，則( )
A．B．C．1D．
【答案】A
解析:由題可知圓心為，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．
故選,A．
3．(2014高考數(shù)學(xué)江西理科·第9題)在平面直角坐標(biāo)系中,分別是軸和軸上的動點,若以為直徑的圓與直線相切,則圓面積的最小值為( )
A．B．C．D．
【答案】 A
解析:設(shè)直線:．因為,所以圓心C的軌跡為以O(shè)為焦點,為準(zhǔn)線的拋物線．圓C半徑最小值為,圓面積的最小值為選A．
題型三：直線和圓的綜合問題
1．(2020北京高考·第5題)已知半徑為的圓經(jīng)過點，則其圓心到原點的距離的最小值為( )．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)圓心，則，化簡得，
所以圓心的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
所以，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時取得等號，故選：A．
2．(2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷·第6題)過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則( )
A．1B．C．D．
【答案】B
解析：方法一：因為，即，可得圓心，半徑，
過點作圓C的切線，切點為，
因為，則，
可得，
則，
，
即為鈍角，
所以；
法二：圓的圓心，半徑，
過點作圓C的切線，切點為，連接，
可得，則，
因為
且，則，
即，解得，
即為鈍角，則，
且為銳角，所以；
方法三：圓的圓心，半徑，
若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點的距離，不合題意；
若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，
則，整理得，且
設(shè)兩切線斜率分別為，則，
可得，
所以，即，可得，
則，
且，則，解得．
故選：B．

3．(2020年高考課標(biāo)Ⅰ卷理科·第11題)已知⊙M：，直線：，為上的動點，過點作⊙M的切線，切點為，當(dāng)最小時，直線的方程為( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圓的方程可化為，點到直線的距離為，所以直線與圓相離．
依圓的知識可知，四點四點共圓，且，所以，而，
當(dāng)直線時，，，此時最小．
∴即，由解得，．
所以以為直徑的圓的方程為，即，
兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．
故選：D．
【點睛】本題主要考查直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔題．
4．(2020年高考課標(biāo)Ⅱ卷理科·第5題)若過點(2，1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：由于圓上的點在第一象限，若圓心不在第一象限，
則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，
設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
由題意可得，
可得，解得或，
所以圓心的坐標(biāo)為或，
圓心到直線的距離均為；
圓心到直線的距離均為
圓心到直線的距離均為；
所以，圓心到直線的距離為．
故選：B．
【點睛】本題考查圓心到直線距離的計算，求出圓的方程是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題．
5．(2021高考北京·第9題)已知直線(為常數(shù))與圓交于點，當(dāng)變化時，若的最小值為2，則( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：由題可得圓心為，半徑為2， 則圓心到直線的距離，
則弦長為，
則當(dāng)時，弦長取得最小值為，解得．
故選：C．
6．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷(理)·第6題)直線分別與軸，軸交于兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是( )
A．B．C．D．
【答案】A
解法一：由直線易知，，故
圓的圓心到直線的距離為，
所以點到直線的距離的取值范圍為即
所以，故選A．
解法二：設(shè)，則點到直線的距離，
令，則代入圓的方程整理得：
利用方程有解條件，則有
注：此處也可利用線性規(guī)劃尋求的范圍
解法三：利用三角換元
設(shè)，則
解法四：利用面積公式的坐標(biāo)形式
設(shè)則
下同解法二
7．(2014高考數(shù)學(xué)福建理科·第6題)直線與圓相交于兩點，則是的( )
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件
【答案】解析：若直線與圓O：相交于A，B 兩點，
則圓心到直線距離，，
若，則，，則成立，即充分性成立．
若，則，
解得，則不成立，即必要性不成立．
故“k=1”是“△OAB的面積為”的充分不必要條件．故選：A．
8．(2015高考數(shù)學(xué)重慶理科·第8題)已知直線是圓的對稱軸．過點作圓的一條切線，切點為，則( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，因此，，即，．選C．
9．(2015高考數(shù)學(xué)山東理科·第9題)一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后與圓 QUOTE 相切，則反射光線所在直線的斜率為( )
A．或B． QUOTE 或 QUOTE C．或D．或
【答案】D
解析：由光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點 ，設(shè)反射光線所在直線的斜率為 ，則反身光線所在直線方程為： ，即：．
又因為光線與圓相切， 所以， ,
整理： ，解得： ，或 ,故選D．
10．(2015高考數(shù)學(xué)廣東理科·第5題)平行于直線且與圓相切的直線的方程是( )
A．或B．或
C．或D．或
【答案】A
解析：設(shè)所求切線方程為，依題意有：，解得：，所以所求切線方程為或，故選A
11．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第4題)圓的圓心到直線的距離為1，則( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得：，所以圓心坐標(biāo)為，所以圓心到直線的距離為：，所以，故選A．
題型四：橢圓
1．(2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷·第5題)設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：由，得，因此，而，所以．
故選：A
2．(2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷·第5題)已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與C交于A．B兩點，若面積是面積的2倍，則( )．
A．B．C．D．
【答案】C
解析：將直線與橢圓聯(lián)立，消去可得，
因為直線與橢圓相交于點，則，解得，
設(shè)到的距離到距離，易知，
則，，
，解得或(舍去)，
故選：C．
3．(2023年全國甲卷理科·第12題)設(shè)O為坐標(biāo)原點，為橢圓的兩個焦點，點P在C上，，則( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：方法一：設(shè)，所以，
由，解得：，
由橢圓方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故選：B．
方法二：因為①，，
即②，聯(lián)立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故選：B．
方法三：因為①，，
即②，聯(lián)立①②，解得：，
由中線定理可知，，易知，解得：．
故選：B．
4．(2021年新高考Ⅰ卷·第5題)已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為( )
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
解析:由題，，則，
所以(當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立)．
故選：C．
5．(2021年高考全國乙卷理科·第11題)設(shè)是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：設(shè)，由，因為，，所以
，
因為，當(dāng)，即時，，即，符合題意，由可得，即；
當(dāng)，即時，，即，化簡得，，顯然該不等式不成立．
故選：C．
【點睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值．
6．(2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)·第10題)橢圓的左頂點為A．點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，設(shè)，則，
則，故，
又，則，所以，即，
所以橢圓的離心率．
故選：A．
7．(2019·全國Ⅱ·理·第8題)若拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，則( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，所以，解得，故選D．
【點評】利用拋物線與橢圓有共同的焦點即可列出關(guān)于的方程，即可解出，或者利用檢驗排除的方法，如時，拋物線焦點為，橢圓焦點為，排除A，同樣可排除B，C，故選D．
8．(2019·全國Ⅰ·理·第10題)已知橢圓的焦點為，，過的直線與交于，兩點．若，
，則的方程為( )
【答案】答案：B
解析：如圖，設(shè)，則，由，可得，，所以點為橢圓的上頂點或下頂點．
在中，由余弦定理可得，
所以，即，即，又，所以橢圓方程為．
9．(2019·北京·理·第4題)已知橢圓(a＞b＞0)的離心率為，則( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】橢圓的離心率，化簡得，故選B．
10．(2018年高考數(shù)學(xué)上海·第13題)設(shè)是橢圓上的動點，則到該橢圓的兩個焦點的距離之和為( )
A．B．B．D．
【答案】B
解析：，根據(jù)橢圓的定義，橢圓上任一點到兩焦點的距離之和為．
11．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷(理)·第11題)設(shè)是雙曲線的左、右焦點，是坐標(biāo)原點，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，若，則的離心率為( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：法一：根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)過點作漸近線的垂線，該垂線的方程為，聯(lián)立方程，解得
由
整理可得即
即即，所以，所以，故選C．
法二：由雙曲線的性質(zhì)易知，，所以
在中，
在中，由余弦定理可得
所以，整理可得，即
所以，所以，故選C．
12．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷(理)·第12題)已知，是橢圓的左，右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：因為為等腰三角形，，所以，由余弦定理得，
所以，而，由已知，得，即，故選D．
13．橢圓的中心為點，它的一個焦點為，相應(yīng)于焦點的準(zhǔn)線方程為，則這個橢圓的方程是
Ａ．Ｂ．( )
Ｃ．Ｄ．
【答案】D
解：橢圓的中心為點它的一個焦點為∴ 半焦距，相應(yīng)于
焦點F的準(zhǔn)線方程為 ∴ ，，則這個橢圓的方程是，選D．
14．(2014高考數(shù)學(xué)大綱理科·第6題)已知橢圓C：的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線交C于A．B兩點，若的周長為4 EQ \R(,3)，則C的方程為( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：如下圖，的周長為
，而離心率，所以，從而所求橢圓的方程為，故選A．
15．(2017年高考數(shù)學(xué)浙江文理科·第2題)橢圓的離心率是( )
A．B．C．D．
【答案】 B
【解析】法一:由橢圓方程得,,所以,所以,,
．故選B．
法二:．故選B．
16．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第10題)已知橢圓，的左、右頂點分別為，，且以線段為直徑的圓與直線相切，則的離心率為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】以線段為直徑的圓的圓心為原點，半徑為，該圓與直線相切
所以圓心到直線的距離，整理可得
所以，故選A．
17．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第11題)已知為坐標(biāo)原點,是橢圓C:的左焦點,分別為的左、右頂點.為上一點,且軸.過點的直線與線段交于點,與軸交于點.若直線經(jīng)過OE的中點,則的離心率為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意,設(shè)直線的方程為,分別令與,得點,,由△OBE∽△CBM,得,即,整理得,所以橢圓的離心率,故選A.
題型五：雙曲線
1．(2023年天津卷·第9題)雙曲線的左、右焦點分別為．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】D
解析：如圖，

因為，不妨設(shè)漸近線方程為，即，
所以，
所以．
設(shè)則，所以，所以．
因,所以，所以，所以，
所以，
因為，
所以，
所以，解得，
所以雙曲線的方程為
故選：D
2．(2023年全國乙卷理科·第11題)設(shè)A．B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：設(shè)，則的中點，
可得，
因為在雙曲線上，則，兩式相減得，
所以．
對于選項A： 可得，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時，
所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；
對于選項B：可得，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時，
所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；
對于選項C：可得，則
由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，
所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；
對于選項D：，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；
故選：D．
3．(2021年高考全國甲卷理科·第5題)已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：因為，由雙曲線的定義可得，
所以，；
因為,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即．
故選：A
【點睛】關(guān)鍵點睛：雙曲線的定義是入手點，利用余弦定理建立間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵．
4．(2020年高考課標(biāo)Ⅱ卷理科·第8題)設(shè)為坐標(biāo)原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為( )
A．4B．8C．16D．32
【答案】B
解析：
雙曲線的漸近線方程是
直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點
不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限
聯(lián)立，解得
故
聯(lián)立，解得
故
面積為：
雙曲線
其焦距為
當(dāng)且僅當(dāng)取等號
的焦距的最小值：
故選：B．
【點睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時，要檢驗等號是否成立，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題．
5．(2020年高考課標(biāo)Ⅲ卷理科·第11題)設(shè)雙曲線C：(a>0，b>0)左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為．P是C上一點，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面積為4，則a=( )
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
解析：，，根據(jù)雙曲線的定義可得，
，即，
，，
，即，解得，
故選：A．
【點睛】本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)以及定義的應(yīng)用，涉及了勾股定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
6．(2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷·第8題)已知點O(0，0)，A(–2，0)，B(2，0)．設(shè)點P滿足|PA．–|PB．=2，且P為函數(shù)y=圖像上的點，則|OP|=( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：因為，所以點在以為焦點，實軸長為，焦距為的雙曲線的右支上，由可得，，即雙曲線的右支方程為，而點還在函數(shù)的圖象上，所以，
由，解得，即． 故選：D．
7．(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)·第11題)雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D．過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為，
若分別在左右支，
因為，且，所以在雙曲線的右支，
又，，，
設(shè)，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以雙曲線的離心率
8．(2021高考天津·第8題)已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A．B兩點，交雙曲線的漸近線于C．D兩點，若．則雙曲線的離心率為( )
A．B．C．2D．3
【答案】A
解析：設(shè)雙曲線與拋物線的公共焦點為，
則拋物線的準(zhǔn)線為，
令，則，解得，所以,
又因為雙曲線的漸近線方程為，所以，
所以，即，所以，所以雙曲線的離心率．
故選：A．
9．(2021高考北京·第5題)若雙曲線離心率為，過點，則該雙曲線的方程為( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：，則，，則雙曲線的方程為，
將點的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，解得，故，
因此，雙曲線的方程為． 故選：B
10．(2020天津高考·第7題)設(shè)雙曲線的方程為，過拋物線的焦點和點的直線為．若的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線的方程為( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題可知，拋物線的焦點為，所以直線的方程為，即直線的斜率為，
又雙曲線的漸近線的方程為，所以，，因為，解得．
故選：．
11．(2019·浙江·第2題)漸近線方程為的雙曲線的離心率是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意得，則雙曲線是等軸雙曲線，離心率．故選C．
12．(2019·全國Ⅲ·理·第10題)雙曲線C：=1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點，若，則△PFO的面積為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，
又P在C的一條漸近線上，不妨設(shè)為在上，則．
，故選A．
【點評】本題考查以雙曲線為載體的三角形面積的求法，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取公式法，利用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸和方程思想解題．
13．(2019·全國Ⅱ·理·第11題)設(shè)為雙曲線的右焦點，為坐標(biāo)原點，以為直徑的圓與圓交于，兩點，若，則的離心率為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)與軸交于點，由對稱性可知軸，又∵，∴ ，
為以為直徑的圓的半徑，∴為圓心．∴，又點在圓上，
∴，即，∴，∴，故選A．
【點評】準(zhǔn)確畫圖，由圖形對稱性得出點坐標(biāo)，代入圓的方程得到與關(guān)系，可求雙曲線的離心率．
本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運算繁瑣，準(zhǔn)確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強(qiáng)化練習(xí)，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來．
14．(2018年高考數(shù)學(xué)浙江卷·第2題)雙曲線的焦點坐標(biāo)是( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：雙曲線的焦點在軸上，且，所以，所以焦點坐標(biāo)為．
15．(2018年高考數(shù)學(xué)天津(理)·第7題)已知雙曲線的離心率為2，過右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點．設(shè)到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的方程為( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：如圖，過點分別向漸近線作垂線，垂足分別為，則是梯形的中位線，所以，又為點到漸近線的距離，所以，所以，由離心率，所以，，所以，所以雙曲線方程為．
16．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷(理)·第5題)雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：因為，所以，所以，漸進(jìn)線的方程為，故選A．
17．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ(理)·第11題)已知雙曲線,為坐標(biāo)原點，為的右焦點,過的直線與的兩條漸近線的交點分別為．若為直角三角形,則( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：雙曲線的漸近線方程為：，漸近線的夾角為：，不妨設(shè)過的直線為：，則解得;解得：，則，故選B．
18．(2014高考數(shù)學(xué)重慶理科·第8題)設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線上存在一點使得則該雙曲線的離心率為( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：根據(jù)雙曲線的性質(zhì)不妨設(shè)點在右支上，則由題意
即
19．(2014高考數(shù)學(xué)天津理科·第5題)已知雙曲線的一條漸近線平行于直線:,雙曲線的一個焦點在直線上,則雙曲線的方程為( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析:雙曲線的其中一條漸近線與直線平行,所以且左焦點為,所以,解得,,故雙曲線方程為．故選A．
20．(2014高考數(shù)學(xué)山東理科·第10題)已知，橢圓的方程為，雙曲線的方程為，與的離心率之積為，則的漸近線方程為( )
A．B．C．D．
【答案】
解析：因為，所以，雙曲線的漸近線方程為．
21．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科·第4題)已知是雙曲線:的一個焦點,則點到的一條漸近線的距離為( )
A．B．3C．D．
【答案】 A
解析:由:,得,
設(shè),一條漸近線,即,則點到的一條漸近線的距離=,選A．．
22．(2014高考數(shù)學(xué)湖北理科·第9題)已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點，是他們的一個公共點，且,則橢圓和雙曲線
的離心率的倒數(shù)之和的最大值為( )
A．B．C．3D．2
【答案】A
解析：設(shè)橢圓長半軸為a1，雙曲線實半軸長為a2，|F1F2|＝2c．
由余弦定理4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|．
而|PF1|＋|PF2|＝2a1，
||PF1|－|PF2||＝2a2可得．
令a1＝2ccs θ，，
即
＝
＝
＝．
故最大值為，故選A．
23．(2014高考數(shù)學(xué)廣東理科·第4題)若實數(shù)滿足則曲線與曲線的( )
A．離心率相等B．虛半軸長相等C．實半軸長相等D．焦距相等
【答案】D．
解析：由于所以，，所以這兩條曲線均為雙曲線．相等，故而選D．
24．(2014高考數(shù)學(xué)大綱理科·第9題)已知雙曲線C的離心率為2，焦點為F1，F(xiàn)2，點A在C上，若，則( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：如下圖，設(shè)，則根據(jù)雙曲線的第一定義可得，所以，又因為離心率，所以，在中，由余弦定理得
，故選A．
25．(2015高考數(shù)學(xué)重慶理科·第10題)設(shè)雙曲線的右焦點為，右頂點為,過作的垂線與雙曲線交于兩點，過分別作的垂線交于點．若到直線的距離小于，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：由題意，由雙曲線的對稱性知在軸上，設(shè)，由得，解得，所以，所以，因此漸近線的斜率取值范圍是，選A．
26．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科·第11題)已知為雙曲線的左，右頂點，點在上，為等腰三角形，且頂角為，則的離心率為( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：設(shè)雙曲線方程為，如圖所示，，，過點作軸，垂足為，在中，，，故點的坐標(biāo)為，代入雙曲線方程得，即，所以，故選D．
考點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)．
27．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科·第5題)已知是雙曲線C：上的一點，是C上的兩個焦點，若，則的取值范圍是( )
A．(-，)B．(-，)
C．(，)D．(，)
【答案】A
解析：由題知，，所以= =，解得，故選A．
28．(2015高考數(shù)學(xué)天津理科·第6題)已知雙曲線的一條漸近線過點，且雙曲線的一個焦點在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：雙曲線 的漸近線方程為，由點在漸近線上，所以，雙曲線的一個焦點在拋物線準(zhǔn)線方程上，所以，由此可解得，所以雙曲線方程為，故選D．
29．(2015高考數(shù)學(xué)四川理科·第5題)過雙曲線的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于兩點，則( )
B．C．6D．
【答案】D
解析：雙曲線的右焦點為，過F與x軸垂直的直線為，漸近線方程為，將代入得：．選D．
30．(2015高考數(shù)學(xué)湖北理科·第8題)將離心率為的雙曲線的實半軸長和虛半軸長同時增加個單位長度，得到離心率為的雙曲線，則( )
A．對任意的，
B．當(dāng)時，；當(dāng)時，
C．對任意的，
D．當(dāng)時，；當(dāng)時，
【答案】D
解析：依題意，，，
因為，由于，，，
所以當(dāng)時，，，，，所以；
當(dāng)時，，，而，所以，所以．
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．
31．(2015高考數(shù)學(xué)廣東理科·第7題)已知雙曲線的離心率，且其右焦點F2(5,0)，則雙曲線C的方程為
A．B．C．D．
【答案】C
解析：因為所求雙曲線的右焦點為且離心率為，所以，所以所求雙曲線方程為，故選C
32．(2015高考數(shù)學(xué)福建理科·第3題)若雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，且，則等于( )
A．11B．9C．5D．3
【答案】B
解析：由雙曲線定義得，即，解得，故選B．
33．(2015高考數(shù)學(xué)安徽理科·第4題)下列雙曲線中，焦點在軸上且漸近線方程為的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：由題意，選項的焦點在軸，故排除，項的漸近線方程為，即，故選C．
34．(2017年高考數(shù)學(xué)天津理科·第5題)已知雙曲線的左焦點為,離心率為．若經(jīng)過和兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線,則雙曲線的方程為( )
A．B．C．D．
【答案】 B．
【解析】由題意得所以,又因為,所以,則雙曲線方程為,故選B．
35．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第5題)已知雙曲線的一條漸近線方程為,且與橢圓有公共焦點，則的方程為( )
A．B．C．D．
【答案】 B
【解析】由漸近線的方程，可設(shè)雙曲線的方程為
又橢圓的焦點坐標(biāo)為
所以，且，故所求雙曲線的方程為：，故選B．
【考點】雙曲線與橢圓共焦點問題；待定系數(shù)法求雙曲線的方程
【點評】求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法．具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)及漸近線之間的關(guān)系，求出的值．如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出的值即可．
36．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第9題)若雙曲線(，)的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則的離心率為( )
A．2B．C．D．
【答案】 A
【命題意圖】主要考查雙曲線的性質(zhì)及直線與圓的位置關(guān)系，意在考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸思想．
【解析】解法一：常規(guī)解法
根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可求得漸近線方程為，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可求得圓心到
漸進(jìn)線的距離為，∴ 圓心到漸近線的距離為，即，解得．
解法二：待定系數(shù)法
設(shè)漸進(jìn)線的方程為，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可求得圓心到漸進(jìn)線的距離為，
∴ 圓心到漸近線的距離為，即，解得；由于漸近線的斜率與離心率
關(guān)系為，解得．
解法三：幾何法
從題意可知：，為等邊三角形，所以一條漸近線的傾斜較為
由于，可得，
漸近線的斜率與離心率關(guān)系為，解得．
解法四：坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化法
根據(jù)圓的直角坐標(biāo)系方程：，可得極坐標(biāo)方程，由可得極
角，從上圖可知：漸近線的傾斜角與圓的極坐標(biāo)方程中的極角相等，所以，
漸近線的斜率與離心率關(guān)系為，解得．
解法五：參數(shù)法之直線參數(shù)方程
如上圖，根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可求得漸近線方程為，可以表示點的坐標(biāo)為，∵ ， ∴ 點的坐標(biāo)為，代入圓方程中，
解得．
【知識拓展】雙曲線已成為高考必考的圓錐曲線內(nèi)容(理科)，一般與三角形﹑直線與圓﹑向量
相結(jié)合，屬于中檔偏上的題，但隨著二卷回歸基礎(chǔ)的趨勢，圓錐曲線小題雖然處于中檔題偏上
位置，但難度逐年下降．
37．(2016高考數(shù)學(xué)浙江理科·第7題)已知橢圓與雙曲線的焦點重合，分別為的離心率，則( )
A．B．C．D．
【答案】A
【命題意圖】本題主要考查橢圓、雙曲線的定義與幾何性質(zhì)等知識，考查考生的運算求解能力、推理論證能力．
解析：由于，，則，故，又
，所以．故選A．
38．(2016高考數(shù)學(xué)天津理科·第6題)已知雙曲線，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于四點，四邊形的面積為，則雙曲線的方程為( )
A．B．C．D．
【答案】d
解析：漸近線，設(shè)，則，∴，∴，∴，∴，∴．
考點：(1)8．6．2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
39．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第11題)已知是雙曲線的左，右焦點，點在上，與軸垂直，,則的離心率為( )
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析1】由題可令，則 所以，，所以，所以
故選Ａ．
【解析2】離心率，由正弦定理得．故選A．
40．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科·第5題)已知方程EQ\F(x2,m2+n)表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則的取值范圍是( )
(A)(B)(C)(D)
【答案】A
【解析】表示雙曲線，則，∴
由雙曲線性質(zhì)知：，其中是半焦距
∴焦距，解得∴故選A．
題型六：拋物線
1．(2023年北京卷·第6題)已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為5，則( )
A．7B．6C．5D．4
【答案】D
解析：因為拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，點在上，
所以到準(zhǔn)線的距離為，
又到直線的距離為，
所以，故．
故選：D．
2．(2021年新高考全國Ⅱ卷·第3題)拋物線的焦點到直線的距離為，則( )
A．1B．2C．D．4
【答案】B
解析:拋物線的焦點坐標(biāo)為，其到直線的距離：，解得：(舍去)，故選B．
3．(2020年高考課標(biāo)Ⅰ卷理科·第4題)已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=( )
A．2B．3C．6D．9
【答案】C
【解析】設(shè)拋物線的焦點為F，由拋物線的定義知，即，解得．
故選：C．
【點晴】本題主要考查利用拋物線的定義計算焦半徑，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道容易題．
4．(2020年高考課標(biāo)Ⅲ卷理科·第5題)設(shè)為坐標(biāo)原點，直線與拋物線C：交于，兩點，若，則的焦點坐標(biāo)為( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：因為直線與拋物線交于兩點，且，
根據(jù)拋物線的對稱性可以確定，所以，
代入拋物線方程，求得，所以其焦點坐標(biāo)為，
故選：B．
【點睛】該題考查的是有關(guān)圓錐曲線的問題，涉及到的知識點有直線與拋物線的交點，拋物線的對稱性，點在拋物線上的條件，拋物線的焦點坐標(biāo)，屬于簡單題目．
5．(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)·第5題)設(shè)F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則( )
A．2B．C．3D．
【答案】B
解析：由題意得，，則，
即點到準(zhǔn)線的距離為2，所以點的橫坐標(biāo)為，
不妨設(shè)點在軸上方，代入得，，
所以． 故選：B
6．(2020北京高考·第7題)設(shè)拋物線的頂點為，焦點為，準(zhǔn)線為．是拋物線上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線( )．
A．經(jīng)過點B．經(jīng)過點
C．平行于直線D．垂直于直線
【答案】B
【解析】如圖所示：．
因為線段的垂直平分線上的點到的距離相等，又點在拋物線上，根據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過點．故選：B．
7．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ(理)·第8題)設(shè)拋物線的焦點為．過點且斜率為的直線與交于兩點，則( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線為：，聯(lián)立直線與拋物線，消去可得：，解得，不妨，，，，則，故選D．
8．(2014高考數(shù)學(xué)四川理科·第10題)已知為拋物線的焦點，點在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，(其中為坐標(biāo)原點)，則△與△面積之和的最小值是( )
A．2B．3C．D．
【答案】B
解析：設(shè)直線AB的方程為：，點，，又，直線AB與軸的交點(不妨假設(shè))
由，所以
又
因為點，在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，所以，故
于是
當(dāng)且僅當(dāng)時取“”
所以與面積之和的最小值是
9．(2014高考數(shù)學(xué)遼寧理科·第10題)已知點在拋物線C：的準(zhǔn)線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B．記C的焦點為F，則直線BF的斜率為( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：拋物線C：的準(zhǔn)線方程為，焦點F(2,0)，而點在準(zhǔn)線上，所以解得p=4，設(shè)B(m，n)，拋物線在第一象限的方程為，所以，所以過點B的切線斜率為，而切線又過點A，所以①，而點B又在滿足方程，即②，將其代入到①式中，解得m=n=8，所以BF的斜率為．
解析2：的準(zhǔn)線方程為，焦點F(2,0)，而點在準(zhǔn)線上，所以解得p=4，設(shè)直線AB的方程為，與方程聯(lián)立，得，化簡，，所以k=2，(或k=-1舍去)，將k=2代入中，可求得y=8，從而解得x=8，故B(8,8)，所以BF的斜率為．
10．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科·第10題)設(shè)F為拋物線C:的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A．B兩點，O為坐標(biāo)原點，則△OAB的面積為( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：由題意可知：直線AB的方程為：，帶入拋物線的方程可得：，設(shè)，則所求三角形的面積為，故選D。
11．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科·第10題)已知拋物線:的焦點為,準(zhǔn)線為,是上一點,是直線與的一個交點,若,則=( )
A．B．C．3D．2
【答案】C
【解析】:過Q作QM⊥直線L于M,∵
∴,又,∴,由拋物線定義知
選C
12．(2015高考數(shù)學(xué)浙江理科·第5題)如圖，設(shè)拋物線的焦點為，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點，，，其中點，在拋物線上，點在軸上，則與的面積之比是( )
( )
A．B．C．D．
【答案】A．
解析：
，故選A．
13．(2015高考數(shù)學(xué)四川理科·第10題)設(shè)直線與拋物線相交于兩點，與圓相切于點，且為線段的中點．若這樣的直線恰有4條，則的取值范圍是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：顯然當(dāng)直線的斜率不存在時，必有兩條直線滿足題設(shè)．當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)斜率為．設(shè)，則，相減得．由于，所以，即．圓心為，由得，所以，即點M必在直線上．將代入得．因為點M在圓上，所以．又(由于斜率不存在，故，所以不取等號)，所以．選D．
14．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科·第10題)已知為拋物線的焦點,過作兩條互相垂直的直線,,直線與交于兩點,直線與交于兩點,則的是小值為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】法一:設(shè),,直線方程為
取方程,得
∴
同理直線與拋物線的交點滿足
由拋物線定義可知

當(dāng)且僅當(dāng)(或)時,取得等號．
法二:設(shè)的傾斜角為,則直線的傾斜角為
根據(jù)焦點弦長公式有:
．
故選A．
法三:設(shè)的傾斜角為,則直線的傾斜角為,而
則,代入拋物線中,可得
設(shè)對應(yīng)的參數(shù)分別為,則有
所以
同理可得
所以．
故選A．
法四:設(shè)點,則

設(shè)直線的方程為
聯(lián)立直線與拋物線方程消去可得
所以,所以
同理
所以(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立)
小結(jié):本質(zhì)回歸
拋物線的正交弦性質(zhì):已知為拋物線的焦點,過作兩條互相垂直的直線,直線與交于兩點,直線與交于兩點,則的調(diào)和平均數(shù)為定值:．
于是本題可以直接利用這個性質(zhì)秒殺
,所以．
橢圓與雙曲線有類似的性質(zhì),于是得到圓錐曲線的正交定值定理
已知圓錐曲線的焦點作兩條互相垂直的直線,直線與交于兩點,直線與交于兩點,則．
其中是圓錐曲線的離心率,是焦點到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離．
15．(2016高考數(shù)學(xué)四川理科·第8題)設(shè)為坐標(biāo)原點，是為焦點的拋物線上任意一點，是線段上的點，且，則直線的斜率的最大值為( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】法一：由可知，設(shè)，
則
所以
法二如圖，由題可知，設(shè)點坐標(biāo)為
顯然，當(dāng)時，；時，，要求最大值，不妨設(shè)．
則
，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪? 故選C．
16．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科·第10題)以拋物線的頂點為圓心的圓交于兩點，交的準(zhǔn)線于兩點．已知，，則的焦點到準(zhǔn)線的距離為( )
(A)2(B)4(C)6(D)8
【答案】B
【解析】以開口向右的拋物線為例來解答，其他開口同理
設(shè)拋物線為，設(shè)圓的方程為，題目條件翻譯如圖：

設(shè)，，
點在拋物線上，∴……①
點在圓上，∴……②
點在圓上，∴……③
聯(lián)立①②③解得：，焦點到準(zhǔn)線的距離為． 故選B．
題型七：圓錐曲線的綜合問題
1．(2023年全國甲卷理科·第8題)已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A．B兩點，則( )
AB．C．D．
【答案】D
解析：由，則，
解得，
所以雙曲線的一條漸近線不妨取，
則圓心到漸近線的距離，
所以弦長．
故選：D
2．(2021年高考浙江卷·第9題)已知，函數(shù)．若成等比數(shù)列，則平面上點的軌跡是( )
A．直線和圓B．直線和橢圓C．直線和雙曲線D．直線和拋物線
【答案】C
解析:由題意得，即，
對其進(jìn)行整理變形：
，
，，
，所以或，其中為雙曲線，為直線,故選C．
3．(2019·天津·理·第5題)已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點和點，且(為原點)，則雙曲線的離心率為( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：，，，所以雙曲線的兩條漸近線方程為
，所以，則雙曲線的離心率．
4．(2019·北京·理·第8題)數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一(如圖)．給出下列三個結(jié)論：
①曲線C恰好經(jīng)過6個整點(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)；
②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過；
③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3．
其中，所有正確結(jié)論的序號是( )
A．①B．②C．①②D．①②③
【答案】C
【解析】由得，，，
所以可為的整數(shù)有0，－1，1，從而曲線恰好經(jīng)過(0，1)，(0，－1)，(1，0)，(1，1)， (－1，0)，(－1，1)六個整點，結(jié)論①正確；
由得，，解得，所以曲線上任意一點到原點的距離都不超過，結(jié)論②正確；
如圖所示，易知，四邊形的面積，
很明顯“心形”區(qū)域的面積大于，即“心形”區(qū)域的面積大于3，說法③錯誤．故選C．
5．(2014高考數(shù)學(xué)福建理科·第9題)設(shè)分別是圓和橢圓上的點，則兩點間的最大距離是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：設(shè)橢圓上的點為，則
∵圓的圓心為，半徑為，
∴橢圓上的點與圓心的距離為，
∴P，Q兩點間的最大距離是．故選：D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．

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