\l "_Tc140248779" 題型二：立體幾何三視圖 PAGEREF _Tc140248779 \h 2
\l "_Tc140248780" 題型三：立體幾何的表面積與體積 PAGEREF _Tc140248780 \h 3
\l "_Tc140248781" 題型四：立體幾何中的球的問題 PAGEREF _Tc140248781 \h 9
\l "_Tc140248782" 題型五：立體幾何線面位置關(guān)系 PAGEREF _Tc140248782 \h 9
\l "_Tc140248783" 題型六：立體幾何中的角度與距離 PAGEREF _Tc140248783 \h 10
題型一：立體幾何結(jié)構(gòu)特征
1．(2023年全國甲卷理科·第15題) 在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有____________個公共點．
2．(2020年高考課標Ⅲ卷理科·第15題) 已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．
3．(2019·全國Ⅱ·理·第16題) 中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．圖是一個棱數(shù)為的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為．則該半正多面體共有 個面，其棱長為 (本題第一空分，第二空分).
4．(2017年高考數(shù)學上海（文理科）·第11題) 如圖,以長方體的頂點為坐標原點,過的三條棱所在的直線為坐標軸,建立空間直角坐標系,若的坐標為,則的坐標為________．
5．(2015高考數(shù)學江蘇文理·第9題) 現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個．若將它們重新制作成總體積和高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為_______．
二、多選題
1．(2023年新課標全國Ⅰ卷·第12題)下列物體中，能夠被整體放入棱長為1(單位：m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計)內(nèi)的有( )
A．直徑為的球體
B．所有棱長均為的四面體
C．底面直徑為，高為的圓柱體
D．底面直徑為，高為的圓柱體
2．(2021年新高考Ⅰ卷·第12題)在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則( )
A．當時，的周長為定值
B．當時，三棱錐的體積為定值
C．當時，有且僅有一個點，使得
D．當時，有且僅有一個點，使得平面
題型二：立體幾何三視圖
1．(2021年高考全國乙卷理科·第16題) 以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為_________(寫出符合要求的一組答案即可)．
2．(2019·北京·理·第11題) 某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積為__________．
3．(2017年高考數(shù)學上海（文理科）·第8題) 已知球的體積為,則該球主視圖的面積等于________．
4．(2017年高考數(shù)學山東理科·第13題) 由一個長方體和兩個圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如下圖,則該幾何體的體積為__________．
題型三：立體幾何的表面積與體積
1．(2023年新課標全國Ⅰ卷·第14題) 在正四棱臺中，，則該棱臺的體積為________．
2．(2023年新課標全國Ⅱ卷·第14題) 底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為______．
3．(2020年新高考全國Ⅰ卷（山東）·第15題) 某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的截面如圖所示．O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點，B是圓弧AB與直線BC的切點，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直線DE和EF的距離均為7 cm，圓孔半徑為1 cm，則圖中陰影部分的面積為________cm2．
4．(2020年新高考全國卷Ⅱ數(shù)學（海南）·第13題) 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點，則三棱錐A-NMD1的體積為____________
5．(2020天津高考·第15題) 如圖，在四邊形中，，，且，則實數(shù)的值為_________，若是線段上的動點，且，則的最小值為_________．
6．(2020江蘇高考·第9題) 如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2 cm，高為2 cm，內(nèi)孔半輕為0．5 cm，則此六角螺帽毛坯的體積是____cm．
7．(2019·天津·理·第11題) 已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為．若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為 ．
8．(2019·全國Ⅲ·理·第16題) 學生到工廠勞動實踐，利用D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長方體的中心，分別為所在棱的中點，打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為___________．
9．(2019·江蘇·第9題) 如圖，長方體的體積是，是的中點，則三棱椎的體積是______.
10．(2018年高考數(shù)學江蘇卷·第10題) 如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為 ．
11．(2018年高考數(shù)學天津（理）·第11題) 已知正方體的棱長為1，除面外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐的體積為 ．
12．(2018年高考數(shù)學課標Ⅱ卷（理）·第16題) 已知圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若 的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為__________．
13．如圖，在正三棱柱中，．若二面角的大小為，則點到直線的距離為 ．
14．(2014高考數(shù)學天津理科·第10題) 已知一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:),則該幾何體的體積為_________．
15．(2014高考數(shù)學山東理科·第13題) 三棱錐中，，分別為，的中點，記三棱錐的體積為，的體積為，則 ．
16．(2014高考數(shù)學江蘇·第8題) 設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面分別為,，體積分別為,，若它們的側(cè)面積相等，且，則的值是 ．
17．(2015高考數(shù)學天津理科·第10題) 一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：)，則該幾何體的體積為 ．
18．(2015高考數(shù)學上海理科·第4題) 若正三棱柱的所有棱長均為，且其體積為，則 ．
19．(2017年高考數(shù)學江蘇文理科·第6題) 如圖,在圓柱內(nèi)有一個球,該球與圓柱的上、下面及母線均相切．記圓柱的體積為,球的體積為,則的值是_______．
O
O1
O2
(第6題)



20．(2016高考數(shù)學浙江理科·第14題) 如圖，在中，．若平面外的點和線段上的點，滿足，則四面體的體積的最大值是 ．
21．(2016高考數(shù)學浙江理科·第11題) 某幾何體的三視圖如圖所示(單位：)，則該幾何體的表面積是 ，體積是 ．
22．(2016高考數(shù)學天津理科·第11題) 已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示(單位：)，則該四棱錐的體積為_____________．
23．(2016高考數(shù)學四川理科·第13題) 已知三棱錐的四個面都是腰長為的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則三棱錐的體積為_______．
二、多選題
1．(2022新高考全國II卷·第11題)如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則( )
A．B．
C．D．
題型四：立體幾何中的球的問題
1．(2020年新高考全國Ⅰ卷（山東）·第16題) 已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為________．
2．(2017年高考數(shù)學天津理科·第10題) 已知一個正方體的所有頂點在一個球面上,若這個正方體的表面積為,則這個球的體積為____________ ．
題型五：立體幾何線面位置關(guān)系
1．(2020年高考課標Ⅱ卷理科·第16題) 設(shè)有下列四個命題：
p1：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi)．
p2：過空間中任意三點有且僅有一個平面．
p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行．
p4：若直線l平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l．
則下述命題中所有真命題的序號是__________．
①②③④
2．(2019·北京·理·第12題) 已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：
①；②∥；③．
以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：__________．
【3．(2016高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科·第14題) 是兩個平面，是兩條直線，有下列四個命題：
(1)如果，，，那么．
(2)如果，，那么．
(3)如果，，那么．
(4)如果，，那么與所成的角和與所成的角相等．
其中正確的命題有 ．(填寫所有正確命題的編號)
二、多選題
1．(2021年新高考全國Ⅱ卷·第10題)如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是( )
A．B．
C．D．
題型六：立體幾何中的角度與距離
1．(2014高考數(shù)學上海理科·第6題) 若圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，則其母線與底面角的大小為_____________．(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)
2．(2015高考數(shù)學浙江理科·第13題) 如圖，三棱錐中，，點分別是的中點，則異面直線，所成的角的余弦值是 ．
3．(2015高考數(shù)學四川理科·第14題) 如圖，四邊形和均為正方形，它們所在的平面相互垂直，動點在線段上，分別為,中點，設(shè)異面直線與所成的角為，則的最大值為________
4．(2015高考數(shù)學上海理科·第6題) 若圓錐的側(cè)面積與過軸的截面積面積之比為，則其母線與軸的夾角的大小為 ．
5．(2017年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科·第16題) 為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與都垂直，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：
①當直線與成角時，與成角；
②當直線與成角時，與成角；
③直線與所成角的最小值為；
④直線與所成角的最大值為．
其中正確的是 ．(填寫所有正確結(jié)論的編號)
6．(2016高考數(shù)學上海理科·第6題) 如圖，在正四棱柱中，底面的邊長為3，與底面所成角的大小為，則該正四棱柱的高等于____________．
二、多選題
1．(2023年新課標全國Ⅱ卷·第9題)已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為45°，則( )．
A．該圓錐的體積為B．該圓錐的側(cè)面積為
C．D．的面積為
2．(2022新高考全國I卷·第9題)已知正方體，則( )
A．直線與所成的角為B．直線與所成的角為
C．直線與平面所成角為D．直線與平面ABCD所成的角為
十年（2014－2023）年高考真題分項匯編—立體幾何填空、多選
目錄
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc140248847" 題型一：立體幾何結(jié)構(gòu)特征 PAGEREF _Tc140248847 \h 1
\l "_Tc140248848" 題型二：立體幾何三視圖 PAGEREF _Tc140248848 \h 6
\l "_Tc140248849" 題型三：立體幾何的表面積與體積 PAGEREF _Tc140248849 \h 8
\l "_Tc140248850" 題型四：立體幾何中的球的問題 PAGEREF _Tc140248850 \h 21
\l "_Tc140248851" 題型五：立體幾何線面位置關(guān)系 PAGEREF _Tc140248851 \h 22
\l "_Tc140248852" 題型六：立體幾何中的角度與距離 PAGEREF _Tc140248852 \h 26
題型一：立體幾何結(jié)構(gòu)特征
1．(2023年全國甲卷理科·第15題) 在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有____________個公共點．
【答案】12
解析：不妨設(shè)正方體棱長為2，中點為，取，中點，側(cè)面的中心為，連接，如圖，

由題意可知，為球心，在正方體中，，
即，
則球心到的距離為，
所以球與棱相切，球面與棱只有1個交點，
同理，根據(jù)正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個交點，
所以以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為12．
故答案為：12
2．(2020年高考課標Ⅲ卷理科·第15題) 已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．
【答案】
解析：易知半徑最大球為圓錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時的軸截面如圖所示，
其中，且點M為BC邊上的中點，
設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，
由于，故，
設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則：
，
解得：，其體積：．
故答案為：．
【點睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑．
3．(2019·全國Ⅱ·理·第16題) 中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．圖是一個棱數(shù)為的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為．則該半正多面體共有 個面，其棱長為 (本題第一空分，第二空分).
【答案】共有個面；棱長為.
【解析】由圖可知第一層與第三層各有個面，計個面，第二層共有個面，所以該半正多面體共有個面．如圖，設(shè)該半正多面體的棱長為，則，延長與交于點，延長交正方體棱于，由半正多面體對稱性可知，為等腰直角三角形，∵，
∴，∴，即該半正多面體棱長為．
【點評】第一問可按題目數(shù)出來，第二問需在正方體中簡單還原出物體位置，利用對稱性，平面幾何解決．
本題立意新穎，空間想象能力要求高，物體位置還原是關(guān)鍵，遇到新題別慌亂，題目其實很簡單，穩(wěn)中求勝是關(guān)鍵．立體幾何平面化，無論多難都不怕，強大空間想象能力，快速還原圖形．
4．(2017年高考數(shù)學上海（文理科）·第11題) 如圖,以長方體的頂點為坐標原點,過的三條棱所在的直線為坐標軸,建立空間直角坐標系,若的坐標為,則的坐標為________．
【答案】
【解析】,,則．
5．(2015高考數(shù)學江蘇文理·第9題) 現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個．若將它們重新制作成總體積和高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為_______．
【答案】
解析：由體積相等得：
考點：圓柱及圓錐體積
二、多選題
1．(2023年新課標全國Ⅰ卷·第12題)下列物體中，能夠被整體放入棱長為1(單位：m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計)內(nèi)的有( )
A．直徑為的球體
B．所有棱長均為的四面體
C．底面直徑為，高為的圓柱體
D．底面直徑為，高為的圓柱體
【答案】ABD
解析：對于選項A：因為，即球體的直徑小于正方體的棱長，
所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；
對于選項B：因為正方體的面對角線長為，且，
所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；
對于選項C：因為正方體的體對角線長為，且，
所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C不正確；
對于選項D：因為，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，
如圖，過的中點作，設(shè)，
可知，則，
即，解得，
且，即，
故以為軸可能對稱放置底面直徑為圓柱，
若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點為，
可知：，則，
即，解得，
根據(jù)對稱性可知圓柱的高為，
所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；
故選：ABD
2．(2021年新高考Ⅰ卷·第12題)在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則( )
A．當時，的周長為定值
B．當時，三棱錐的體積為定值
C．當時，有且僅有一個點，使得
D．當時，有且僅有一個點，使得平面
【答案】BD
解析:
易知，點在矩形內(nèi)部(含邊界)．
對于A，當時，，即此時線段，周長不是定值，故A錯誤；
對于B，當時，，故此時點軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．
對于C，當時，，取，中點分別為，，則，所以點軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯誤；
對于D，當時，，取，中點為．，所以點軌跡為線段．設(shè)，因為，所以，，所以，此時與重合，故D正確,故選BD．
題型二：立體幾何三視圖
1．(2021年高考全國乙卷理科·第16題) 以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為_________(寫出符合要求的一組答案即可)．
【答案】③④
解析：選擇側(cè)視圖為③，俯視圖為④，
如圖所示，長方體中，，
分別為棱的中點，
則正視圖①，側(cè)視圖③，俯視圖④對應(yīng)的幾何體為三棱錐．
故答案為：③④．
【點睛】三視圖問題解決的關(guān)鍵之處是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．
2．(2019·北京·理·第11題) 某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積為__________．
【答案】．
【解析】如圖所示，在棱長為4的正方體中，三視圖對應(yīng)的幾何體為正方體去掉棱柱之后余下的幾何體，該幾何體的體積．
3．(2017年高考數(shù)學上海（文理科）·第8題) 已知球的體積為,則該球主視圖的面積等于________．
【答案】
【解析】．
4．(2017年高考數(shù)學山東理科·第13題) 由一個長方體和兩個圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如下圖,則該幾何體的體積為__________．
【答案】
【解析】該幾何體的體積為．
題型三：立體幾何的表面積與體積
1．(2023年新課標全國Ⅰ卷·第14題) 在正四棱臺中，，則該棱臺的體積為________．
【答案】
解析：如圖，過作，垂足為，易知為四棱臺的高，

因為，
則，
故，則，
所以所求體積為．
故答案：．
2．(2023年新課標全國Ⅱ卷·第14題) 底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為______．
【答案】
解析：方法一：由于，而截去的正四棱錐的高為，所以原正四棱錐的高為，
所以正四棱錐的體積為，
截去的正四棱錐的體積為，
所以棱臺的體積為．
方法二：棱臺的體積為．
故答案為：．

3．(2020年新高考全國Ⅰ卷（山東）·第15題) 某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的截面如圖所示．O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點，B是圓弧AB與直線BC的切點，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直線DE和EF的距離均為7 cm，圓孔半徑為1 cm，則圖中陰影部分的面積為________cm2．
【答案】
解析：設(shè)，由題意，，所以，
因為,所以，
因為，所以，
因為與圓弧相切于點，所以，
即為等腰直角三角形；
在直角中，，，
因為，所以，
解得；
等腰直角的面積為；
扇形的面積，
所以陰影部分的面積為．
故答案為：．
4．(2020年新高考全國卷Ⅱ數(shù)學（海南）·第13題) 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點，則三棱錐A-NMD1的體積為____________
【答案】
解析：因為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點
所以
故答案為：
5．(2020天津高考·第15題) 如圖，在四邊形中，，，且，則實數(shù)的值為_________，若是線段上的動點，且，則的最小值為_________．
【答案】 (1)． (2)．
【解析】，，，
，解得，
以點為坐標原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，
,，的坐標為,
又,則，設(shè)，則(其中)，
，，
，
所以，當時，取得最小值．故答案為：；．
6．(2020江蘇高考·第9題) 如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2 cm，高為2 cm，內(nèi)孔半輕為0．5 cm，則此六角螺帽毛坯的體積是____cm．
【答案】
【解析】正六棱柱體積為,圓柱體積為
所求幾何體體積為,故答案為：
7．(2019·天津·理·第11題) 已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為．若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為 ．
【答案】
解析：如圖，正四棱錐，，則，
四棱錐的高，
圓柱的高為，，
圓柱的底面半徑，
所以圓柱的體積．
8．(2019·全國Ⅲ·理·第16題) 學生到工廠勞動實踐，利用D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長方體的中心，分別為所在棱的中點，打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為___________．
【答案】118.8
【解析】由題意得，四棱錐的底面積為，其高為點到底面的距離為，則此四棱錐的體積為．又長方體的體積為，所以該模型體積為，其質(zhì)量為．
【點評】此題牽涉到的是3D打印新時代背景下的幾何體質(zhì)量，忽略問題易致誤，理解題中信息聯(lián)系幾何體的體積和質(zhì)量關(guān)系，從而利用公式求解．
9．(2019·江蘇·第9題) 如圖，長方體的體積是，是的中點，則三棱椎的體積是______.
【答案】10
【解析】因為
所以.
10．(2018年高考數(shù)學江蘇卷·第10題) 如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為 ．
【答案】
解析：由圖可知，該多面體為兩個全等正四棱錐的組合體，正四棱錐的高為1，底面正方形的邊長等于，所以該多面體的體積為．
11．(2018年高考數(shù)學天津（理）·第11題) 已知正方體的棱長為1，除面外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐的體積為 ．
【答案】
解析：過平面的截面如圖所示，因為正方體的棱長為1，所以正方形的面積，頂點到平面的距離，所以．
12．(2018年高考數(shù)學課標Ⅱ卷（理）·第16題) 已知圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若 的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為__________．
【答案】
解析：因為母線、所成角的余弦值為，所以母線、所成角的正弦值為．設(shè)母線長為，則的面積為，解得，又與圓錐底面所成角為45°，可得底面半徑，所以該圓錐的側(cè)面積是．
13．如圖，在正三棱柱中，．若二面角的大小為，則點到直線的距離為 ．
【答案】
解：如圖，在正三棱柱中，若二面角的大小為
過C作CD⊥AB，D為垂足，連接C1D，則C1D⊥AB，∠C1DC=60°，CD=，
則C1D=，所以點C1到直線的距離為。
14．(2014高考數(shù)學天津理科·第10題) 已知一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:),則該幾何體的體積為_________．
【答案】
解析:該幾何體是一個組合體,上半部分是一個圓錐,下半部分是一個圓柱．因為,,故該組合體體積．
15．(2014高考數(shù)學山東理科·第13題) 三棱錐中，，分別為，的中點，記三棱錐的體積為，的體積為，則 ．
【答案】
解析：設(shè)點到平面的距離為，則點到平面的距離為，
又，所以得．
16．(2014高考數(shù)學江蘇·第8題) 設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面分別為,，體積分別為,，若它們的側(cè)面積相等，且，則的值是 ．
【答案】
解析：設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面和高分別為、，、，則，，
又，所以，則．
17．(2015高考數(shù)學天津理科·第10題) 一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：)，則該幾何體的體積為 ．
【答案】
解析：由三視圖可知，該幾何體是中間為一個底面半徑為，高為的圓柱，兩端是底面半徑為，高為的圓錐，所以該幾何體的體積．
18．(2015高考數(shù)學上海理科·第4題) 若正三棱柱的所有棱長均為，且其體積為，則 ．
【答案】
解析：根據(jù)正三棱柱的體積計算公式
．
19．(2017年高考數(shù)學江蘇文理科·第6題) 如圖,在圓柱內(nèi)有一個球,該球與圓柱的上、下面及母線均相切．記圓柱的體積為,球的體積為,則的值是_______．
O
O1
O2
(第6題)



【答案】
解析:設(shè)球半徑為,則．故答案為．
O
O1
O2
(第6題)




20．(2016高考數(shù)學浙江理科·第14題) 如圖，在中，．若平面外的點和線段上的點，滿足，則四面體的體積的最大值是 ．
【答案】
【命題意圖】本題考查空間幾何體及其體積的求法等基礎(chǔ)知識，意在考查學生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．
解析：由可得，要求四面體的體積，關(guān)鍵是尋找底面三角形的面積和點到平面的距離，易知．設(shè)，
，其中，且，所以
，當且僅當，即時取等號．四面體的體積的最大值是．
21．(2016高考數(shù)學浙江理科·第11題) 某幾何體的三視圖如圖所示(單位：)，則該幾何體的表面積是 ，體積是 ．
【答案】
【命題意圖】本題主要考查三視圖、幾何體的體積、表面積的計算等基礎(chǔ)知識，意在考查學生的空間想象能力和運算求解能力．
解析：將三視圖還原成直觀圖如圖所示，它由2個長方體組合而成，其體積，表面積為．
22．(2016高考數(shù)學天津理科·第11題) 已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示(單位：)，則該四棱錐的體積為_____________．
【答案】
解析：
23．(2016高考數(shù)學四川理科·第13題) 已知三棱錐的四個面都是腰長為的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則三棱錐的體積為_______．
【答案】
【解析】三棱錐每個面都是腰為2的等腰三角形，
由正視圖可得如下俯視圖，且三棱錐高為
則面積．
二、多選題
1．(2022新高考全國II卷·第11題)如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則( )
A．B．
C．D．
【答案】CD
解析：
設(shè)，因為平面，，則，
，連接交于點，連接，易得，
又平面，平面，則，又，平面，則平面，
又，過作于，易得四邊形為矩形，則，
則，，
，則，，，
則，則，，，故A、B錯誤；C、D正確． 故選：CD．
題型四：立體幾何中的球的問題
1．(2020年新高考全國Ⅰ卷（山東）·第16題) 已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為________．
【答案】．
解析：如圖：
取的中點為，的中點為，的中點為，
因為60°，直四棱柱的棱長均為2，所以△為等邊三角形，所以，，
又四棱柱為直四棱柱，所以平面，所以，
因為，所以側(cè)面，
設(shè)為側(cè)面與球面的交線上的點，則，
因為球的半徑為，，所以，
所以側(cè)面與球面的交線上的點到的距離為，
因為，所以側(cè)面與球面的交線是扇形的弧，
因為，所以，
所以根據(jù)弧長公式可得
2．(2017年高考數(shù)學天津理科·第10題) 已知一個正方體的所有頂點在一個球面上,若這個正方體的表面積為,則這個球的體積為____________ ．
【答案】
【解析】設(shè)正方體邊長為,則 ,外接球直徑為,．
題型五：立體幾何線面位置關(guān)系
1．(2020年高考課標Ⅱ卷理科·第16題) 設(shè)有下列四個命題：
p1：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi)．
p2：過空間中任意三點有且僅有一個平面．
p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行．
p4：若直線l平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l．
則下述命題中所有真命題的序號是__________．
①②③④
【答案】①③④
解析：對于命題，可設(shè)與相交，這兩條直線確定的平面為；
若與相交，則交點在平面內(nèi)，
同理，與的交點也在平面內(nèi)，
所以，，即，命題為真命題；
對于命題，若三點共線，則過這三個點的平面有無數(shù)個，
命題為假命題；
對于命題，空間中兩條直線相交、平行或異面，
命題為假命題；
對于命題，若直線平面，
則垂直于平面內(nèi)所有直線，
直線平面，直線直線，
命題為真命題．
綜上可知，，為真命題，，為假命題，
真命題，為假命題，
為真命題，為真命題．
故答案為：①③④．
【點睛】本題考查復合命題的真假，同時也考查了空間中線面關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷，考查推理能力，屬于中等題．
2．(2019·北京·理·第12題) 已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：
①；②∥；③．
以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：__________．
【答案】如果l⊥α，m∥α，則l⊥m．(答案不唯一)
【解析】將所給論斷分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個命題：
(1)如果l⊥α，m∥α，則l⊥m． 正確；
(2)如果l⊥α，l⊥m，則m∥α． 正確；
(3)如果l⊥m，m∥α，則l⊥α．不正確，有可能l與α斜交或l∥α．
3．(2016高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科·第14題) 是兩個平面，是兩條直線，有下列四個命題：
(1)如果，，，那么．
(2)如果，，那么．
(3)如果，，那么．
(4)如果，，那么與所成的角和與所成的角相等．
其中正確的命題有 ．(填寫所有正確命題的編號)
【答案】②③④
【解析】利用正方體模型可得：①錯誤，②正確，③正確，④正確，命題正確的有②③④．
二、多選題
1．(2021年新高考全國Ⅱ卷·第10題)如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是( )
A．B．
C．D．
【答案】BC
解析:設(shè)正方體的棱長為2，對于A，如圖(1)所示，連接，則，
故(或其補角)為異面直線所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A錯誤．
對于B，如圖(2)所示，取的中點為，連接，，則，，
由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，
所以平面，而平面，故，故B正確．
對于C，如圖(3)，連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確．
對于D，如圖(4)，取的中點，的中點，連接，則，
因為，故，故，所以或其補角為異面直線所成的角，
因為正方體的棱長為2，故，，
，，故不是直角，故不垂直，故D錯誤．故選BC
題型六：立體幾何中的角度與距離
1．(2014高考數(shù)學上海理科·第6題) 若圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，則其母線與底面角的大小為_____________．(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)
【答案】
解析:設(shè)圓錐的底面半徑為,母線長為,母線與底面所成角為．由已知得:,則,所以．
2．(2015高考數(shù)學浙江理科·第13題) 如圖，三棱錐中，，點分別是的中點，則異面直線，所成的角的余弦值是 ．
【答案】．
解析：
如下圖，連結(jié)，取中點，連結(jié)，，則可知即為異面直
線，所成角(或其補角)易得，
，，
∴，即異面直線，所成角的余弦值為．
3．(2015高考數(shù)學四川理科·第14題) 如圖，四邊形和均為正方形，它們所在的平面相互垂直，動點在線段上，分別為,中點，設(shè)異面直線與所成的角為，則的最大值為________
【答案】
解析：
建立坐標系如圖所示．設(shè)，則．設(shè)，則，由于異面直線所成角的范圍為，所以．，令，則，當時取等號．所以，當時，取得最大值．
4．(2015高考數(shù)學上海理科·第6題) 若圓錐的側(cè)面積與過軸的截面積面積之比為，則其母線與軸的夾角的大小為 ．
【答案】
解析：設(shè)這個圓錐的母線長為，底面半徑為，母線與軸的夾角為，所以，而過軸的截面是一個三角形，故，有，所以，，．
5．(2017年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科·第16題) 為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與都垂直，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：
①當直線與成角時，與成角；
②當直線與成角時，與成角；
③直線與所成角的最小值為；
④直線與所成角的最大值為．
其中正確的是 ．(填寫所有正確結(jié)論的編號)
【答案】②③
【解析】法一:由題意, 是以為軸,為底面半徑的圓錐的母線,由 ,又圓錐底面,在底面內(nèi)可以過點,作 ,交底面圓 于點,如圖所示,連結(jié),則, ,連結(jié),等腰中, ,當直線與成角時, ,故 ,又在 中, ,過點作,交圓于點,連結(jié),由圓的對稱性可知, 為等邊三角形, ,即與成角,②正確,①錯誤．
由最小角定理可知③正確;
很明顯,可以滿足平面直線,直線 與 所成的最大角為,④錯誤．
正確的說法為②③．

法二:斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),可得一個圓錐,其中相當于母線,并將平移到,經(jīng)過點,依題意易知在圓錐的底面上,如下圖

直線不動,讓繞點旋轉(zhuǎn),設(shè)直線與直線所成的角為,直線與直線所成角為,則由三余弦公式可得,所以,即直線與直線所成角的最小值為,最大值為,故③正確,④不正確;當時,有 ,此時直線即與直線所成的角也為,設(shè)直線與所成的角為,則有,所以即與成角,故②正確;綜上可知選②③．
法三:由題意知,三條直線兩兩相互垂直,畫出圖形如圖．

不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為1,故,,
斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),則點保持不變,點的運動軌跡是以為圓心,1為半徑的圓．
以為坐標原點,以為軸的正方向,為軸的正方向,為軸的正方向建立空間直角坐標系
則,,直線的方向單位向量,．點起始坐標為,
直線的方向單位向量,．
設(shè)點在運動過程中的坐標,
其中為與的夾角,．
那么在運動過程中的向量,．
設(shè)與所成夾角為,
則．
故,所以③正確,④錯誤．
設(shè)與所成夾角為,
．
當與夾角為時,即,
．
∵,
∴．
∴．
∵．
∴,此時與夾角為．
∴②正確,①錯誤．
改進一下法三:由題意知,三條直線兩兩相互垂直,如下圖,設(shè)為直線,為直線,不妨設(shè)

則,,,依題意可設(shè)
則有,,設(shè)直線與成角,直線與成角
則有,
當直線與成角時,有,由,可得,此時
所以與成角,故②正確;
由,而,故,所以
所以③正確,④錯誤
綜上可知選②③．
6．(2016高考數(shù)學上海理科·第6題) 如圖，在正四棱柱中，底面的邊長為3，與底面所成角的大小為，則該正四棱柱的高等于____________．
【答案】
解析：由題意得．
二、多選題
1．(2023年新課標全國Ⅱ卷·第9題)已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為45°，則( )．
A．該圓錐的體積為B．該圓錐的側(cè)面積為
C．D．的面積為
【答案】AC
解析：依題意，，，所以，
A選項，圓錐的體積為，A選項正確；
B選項，圓錐側(cè)面積為，B選項錯誤；
C選項，設(shè)是的中點，連接，
則，所以是二面角的平面角，
則，所以，
故，則，C選項正確；
D選項，，所以，D選項錯誤．
故選：AC．

2．(2022新高考全國I卷·第9題)已知正方體，則( )
A．直線與所成的角為B．直線與所成的角為
C．直線與平面所成角為D．直線與平面ABCD所成的角為
【答案】ABD
解析： 如圖，連接、，因為，所以直線與所成的角即為直線與所成的角， 因為四邊形為正方形，則，故直線與所成的角為，A正確；
連接，因為平面，平面，則，
因為，，所以平面，
又平面，所以，故B正確；
連接，設(shè)，連接，
因為平面，平面，則，
因為，，所以平面，
所以為直線與平面所成的角，
設(shè)正方體棱長為，則，，，
所以，直線與平面所成的角為，故C錯誤；
因為平面，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確． 故選：ABD

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