TOC \ "1-1" \h \u 題型一：數(shù)列的概念與通項公式 PAGEREF _Tc7254 \h 1
題型二：等差數(shù)列2
題型三：等比數(shù)列4
題型四：等差與等比數(shù)列綜合6
題型五：數(shù)列的求和6
題型六：數(shù)列與數(shù)學文化7
題型七：數(shù)列的綜合應用9
題型一：數(shù)列的概念與通項公式
一、選擇題
1．(2016高考數(shù)學浙江理科·第6題)如圖，點列分別在某銳角的兩邊上，且，(表示點與不重合)．若，為的面積，則( )
( )
A．是等差數(shù)列B．是等差數(shù)列 C．是等差數(shù)列D．是等差數(shù)列
2．(2019·浙江·第10題)已知，，數(shù)列滿足，，，則( )
A．當時，B．當時，
C．當時，D．當時，
3．(2017年高考數(shù)學新課標Ⅰ卷理科·第12題)幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應用軟件．為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣,他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一項是,接下來的兩項是,,再接下來的三項是,,,依此類推．求滿足如下條件的最小整數(shù):且該數(shù)列的前項和為的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是( )
A．B．C．D．
4．(2016高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科·第12題)定義“規(guī)范01數(shù)列”如下:共有項,其中項為項為1,且對任意,中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有( )
A．18個B．16個C．14個D．12個
5．(2021年高考浙江卷·第10題)已知數(shù)列滿足．記數(shù)列的前n項和為，則( )
A．B．C．D．
二、填空題
1．(2022高考北京卷·第15題) 己知數(shù)列各項均為正數(shù)，其前n項和滿足．給出下列四個結(jié)論：
①的第2項小于3； ②為等比數(shù)列；
③為遞減數(shù)列； ④中存在小于的項．
其中所有正確結(jié)論的序號是__________．
2．(2015高考數(shù)學新課標2理科·第16題) 設是數(shù)列的前項和，且，，則________．
3．(2017年高考數(shù)學上海（文理科）·第14題) 已知數(shù)列和,其中,,的項是互不相等的正整數(shù),若對于任意,的第項等于的第項,則________．
4．(2016高考數(shù)學浙江理科·第13題) 設數(shù)列的前項和為．若，則 ， ．
題型二：等差數(shù)列
一、選擇題
1．(2020北京高考·第8題)在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列( )．
A．有最大項，有最小項B．有最大項，無最小項
C．無最大項，有最小項D．無最大項，無最小項
2．(2019·全國Ⅰ·理·第9題)記為等差數(shù)列的前項和．已知，，則( )
3．(2018年高考數(shù)學課標卷Ⅰ(理)·第4題)記為等差數(shù)列的前項和，,．則( )
A．B．C．D．
4．設是等差數(shù)列，，，則這個數(shù)列的前6項和等于( )
Ａ．12 Ｂ．24 Ｃ．36 Ｄ．48
5．(2016高考數(shù)學課標Ⅰ卷理科·第3題)已知等差數(shù)列前9項的和為27，，則( )
A100 B99 C98 D97
6．(2014高考數(shù)學福建理科·第3題)等差數(shù)列的前n項和為，若，則等于( )
A．8B．10C．12D．14
7．(2015高考數(shù)學重慶理科·第2題)在等差數(shù)列中，若，，則( )
A．B．0C．1D．6
8．(2015高考數(shù)學北京理科·第6題)設是等差數(shù)列．下列結(jié)論中正確的是( )
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
9．(2017年高考數(shù)學新課標Ⅰ卷理科·第4題)記為等差數(shù)列的前項和．若,,則的公差為( )
A．B．C．D．

10．(2014高考數(shù)學遼寧理科·第8題)設等差數(shù)列的公差為d，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則( )
A．B．C．D．
二、填空題
1．(2019·全國Ⅲ·理·第14題) 記為等差數(shù)列{an}的前n項和，，則___________．
【點評】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、基本量的計算．滲透了數(shù)學運算素養(yǎng)．使用轉(zhuǎn)化思想得出答案．
2．(2019·江蘇·第8題) 已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項和.若，則的值是 .
3．(2019·北京·理·第10題) 設等差數(shù)列的前n項和為，若a2=?3，S5=?10，則a5=__________，Sn的最小值為__________．
4．(2018年高考數(shù)學上?！さ?題) 記等差數(shù)列的前項和為．若，，則 ．
5．(2018年高考數(shù)學北京（理）·第9題) 設是等差數(shù)列，且，，則的通項公式為__________．
6．(2014高考數(shù)學北京理科·第12題) 若等差數(shù)列滿足 , , 則當= 時, 的前項和最大．
7．(2015高考數(shù)學陜西理科·第13題) 中位數(shù)1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項為2015，則該數(shù)列的首項為 ．
8．(2015高考數(shù)學廣東理科·第10題) 在等差數(shù)列{}中，若，則= ．
9．(2016高考數(shù)學江蘇文理科·第8題) 已知是等差數(shù)列，是其前項和．若，，則的值是 ．
10．(2016高考數(shù)學北京理科·第12題) 已知為等差數(shù)列， 為其前項和，若，則=__________．
題型三：等比數(shù)列
一、選擇題
1．(2023年天津卷·第6題)已知為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和，，則的值為( )
A．3B．18C．54D．152
2．(2023年新課標全國Ⅱ卷·第8題)記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則( )．
A．120B．85C．D．
3．(2023年全國甲卷理科·第5題)設等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則( )
A．B．C．15D．40
4．(2022年高考全國乙卷數(shù)學(理)·第8題)已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則( )
A．14B．12C．6D．3
5．(2019·全國Ⅲ·理·第5題)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項和為15，且，則( )
A．16B．8C．4D．2
6．(2018年高考數(shù)學浙江卷·第10題)已知成等比數(shù)列，且，若，則( )
A．B．
C．D．
7．(2014高考數(shù)學重慶理科·第2題)對任意等比數(shù)列,下列說法一定正確的是( )
A．成等比數(shù)列B．成等比數(shù)列
C．成等比數(shù)列D．成等比數(shù)列
8．(2015高考數(shù)學新課標2理科·第4題)已知等比數(shù)列滿足，，則( )
A．21B．42C．63D．84
9．(2015高考數(shù)學湖北理科·第5題)設，．若：成等比數(shù)列；：，則( )
A．是的充分條件，但不是的必要條件
B．是的必要條件，但不是的充分條件
C．是的充分必要條件
D．既不是的充分條件，也不是的必要條件
二、填空題
1．(2023年全國乙卷理科·第15題) 已知為等比數(shù)列，，，則______．
2．(2019·全國Ⅰ·理·第14題) 記為等比數(shù)列的前項和．若，，則 ．
3．(2014高考數(shù)學廣東理科·第13題) 若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則

4．(2014高考數(shù)學江蘇·第7題) 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則的值是 ．
5．(2015高考數(shù)學安徽理科·第14題) 已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，，則數(shù)列的前項和等于 ．
6．(2017年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科·第14題) 設等比數(shù)列滿足,，則 ．
7．(2017年高考數(shù)學江蘇文理科·第9題) 等比數(shù)列的各項均為實數(shù),其前項的和為,已知,則=____．
8．(2016高考數(shù)學課標Ⅰ卷理科·第15題) 設等比數(shù)列滿足，，則的最大值為 ．
題型四：等差與等比數(shù)列綜合
一、選擇題
1．(2015高考數(shù)學浙江理科·第3題)已知是等差數(shù)列，公差不為零，前項和是，若，，成等比數(shù)列，則( )
A．B．
C．D．
2．(2017年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科·第9題)等差數(shù)列的首項為，公差不為．若成等比數(shù)列，則前項的和為( )
A．B．C．D．
二、填空題
3．(2014高考數(shù)學天津理科·第11題) 設是首項為,公差為的等差數(shù)列,為其前項和．若成等比數(shù)列,則的值為_________．
4．(2014高考數(shù)學安徽理科·第12題) 數(shù)列是等差數(shù)列，若構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，則 ．
5．(2015高考數(shù)學湖南理科·第14題)設為等比數(shù)列的前項和．若，且，，成等差數(shù)列，則 ．
6．(2017年高考數(shù)學北京理科·第10題)若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足,,則_______．
7．(2020江蘇高考·第11題)設是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列．已知數(shù)列的前項和，則的值是_______．
題型五：數(shù)列的求和
一、選擇題
1．(2014高考數(shù)學大綱理科·第10題)等比數(shù)列中，，則數(shù)列的前8項和等于( )
A．6B．5C．4D．3
2．(2020年高考課標Ⅱ卷理科·第6題)數(shù)列中，，，若，則( )
A．2B．3C．4D．5
二、填空題
1．(2020年浙江省高考數(shù)學試卷·第11題) 已知數(shù)列{an}滿足，則S3=________．
2．(2020年新高考全國卷Ⅱ數(shù)學（海南）·第15題) 將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為________．
3．(2019·上海·第8題)已知數(shù)列前n項和為，且滿足，則______.
4．(2018年高考數(shù)學課標卷Ⅰ(理)·第14題)記為數(shù)列的前項和．若,則 ．
5．(2015高考數(shù)學江蘇文理·第14題)設向量 ()，則的值為_______．
6．(2015高考數(shù)學江蘇文理·第11題)設數(shù)列滿足，且(), 則數(shù)列前10項的和為_______．
7．(2017年高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科·第15題)等差數(shù)列的前項和為，，，則 ．
8．(2016高考數(shù)學上海理科·第11題)無窮數(shù)列由個不同的數(shù)組成，為的前項和．若對任意，，則的最大值為________．
題型六：數(shù)列與數(shù)學文化
一、選擇題
1．(2020年高考課標Ⅱ卷理科·第0題)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)( )
( )
A．3699塊B．3474塊C．3402塊D．3339塊
2．(2022新高考全國II卷·第3題)圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0．1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0．725，則( )
( )
A．0．75B．0．8C．0．85D．0．9
3．(2021高考北京·第6題)《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種．這五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，對應的寬為(單位:cm),且長與寬之比都相等，已知，，，則
A．64B．96C．128D．160
4．(2018年高考數(shù)學北京(理)·第4題)“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻．十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于．若第一個單音的頻率為，則第八個單音的頻率為( )
A．B．C．D．
5．(2017年高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科·第3題)我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈( )
A．1盞B．3盞C．5盞D．9盞
二、填空題
1．(2023年北京卷·第14題) 我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量(單位：銖)從小到大構(gòu)成項數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且，則___________；數(shù)列所有項的和為____________．
2．(2021年新高考Ⅰ卷·第16題)某校學生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對折次，那么______．
題型七：數(shù)列的綜合應用
一、選擇題
1．(2023年北京卷·第10題)已知數(shù)列滿足，則( )
A．當時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
B．當時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
C．當時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
D．當時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
2．(2020年浙江省高考數(shù)學試卷·第7題)已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=Sn+2–S2n，，下列等式不可能成立的是( )
A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．D．
3．(2022高考北京卷·第6題)設是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當時，”的( )
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C充分必要條件D．既不充分也不必要條件
4．(2020年高考課標Ⅱ卷理科·第11題)0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應用．若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個序列的周期．對于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是( )
A．B．C．D．
5．(2023年全國乙卷理科·第10題)已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則( )
A．－1B．C．0D．
二、填空題
1．(2018年高考數(shù)學江蘇卷·第14題)已知集合，．將的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列．記為數(shù)列的前n項和，則使得成立的n的最小值為 ．
十年（2014－2023）年高考真題分項匯編—數(shù)列小題
目錄
TOC \ "1-1" \h \u 題型一：數(shù)列的概念與通項公式 PAGEREF _Tc7254 \h 1
題型二：等差數(shù)列8
題型三：等比數(shù)列12
題型四：等差與等比數(shù)列綜合17
題型五：數(shù)列的求和19
題型六：數(shù)列與數(shù)學文化22
題型七：數(shù)列的綜合應用26
題型一：數(shù)列的概念與通項公式
一、選擇題
1．(2016高考數(shù)學浙江理科·第6題)如圖，點列分別在某銳角的兩邊上，且，(表示點與不重合)．若，為的面積，則( )
( )
A．是等差數(shù)列B．是等差數(shù)列 C．是等差數(shù)列D．是等差數(shù)列
【答案】A
【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的概念、平行線的性質(zhì)等基礎知識，意在考查學生分析問題和解決問題的能力．
解析：不妨設，過點，分別作直線的垂線，高線分別記為，根據(jù)平行線的性質(zhì)，所以成等差數(shù)列，又，所以是等差數(shù)列．故選A．
2．(2019·浙江·第10題)已知，，數(shù)列滿足，，，則( )
A．當時，B．當時，
C．當時，D．當時，
【答案】A
【解析】解法一：對于B，由，得．取，則，所以，不合題意；
對于C，由，得或．取，則，所以，不合題意；
對于D，由，得．取，則，所以，不合題意．
對于A，，，，，遞增，當時，，，迭乘法得，，A正確．故選A．
解法二:借助圖形


其中選項中均含有不動點，由于的不確定性，故都不能說明．故選A．
3．(2017年高考數(shù)學新課標Ⅰ卷理科·第12題)幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應用軟件．為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣,他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一項是,接下來的兩項是,,再接下來的三項是,,,依此類推．求滿足如下條件的最小整數(shù):且該數(shù)列的前項和為的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解法一:本題考查了等比數(shù)列的求和,不等式以及邏輯推理能力．
不妨設(其中)
則有,因為,所以
由等比數(shù)列的前項和公式可得
因為,所以
所以即,因為
所以,故
所以,從而有,因為,所以,當時,,不合題意
當時,,故滿足題意的的最小值為．
解題關(guān)鍵:本題關(guān)鍵在于利用不等式的知識得出．
解法二:將數(shù)列的前項按照分組,不妨設這樣的分組共有組不滿足此特點的單獨為一組,則,從而數(shù)列的前項的和為:
所以若使數(shù)列的前項和為的整數(shù)冪,則必存在正整數(shù),使得,即
又,所以,所以,所以,所以
當時,,此時,所以的可能值為,經(jīng)驗證均不符合題意,當負結(jié)合選項也可知道不合題意,直接排除掉的可能性
當時,,此時,結(jié)合選項特點可知:,故選A．
事實上驗證:或或或或或
只有成立．
點評:此題就是分組和以及和與結(jié)論中隱藏的整除性問題,通過構(gòu)建的不等式限定的可能值,進而求出最小值,還好選項提供的數(shù)據(jù)減少,很好驗證操作．
解法三:檢驗法
由于這是選擇題,為求最小值,從最小的開始檢驗
選項D:若,由,知第項排在第14行,第19個

由是奇數(shù)知不能寫成整數(shù)冪;
選項C:若,由知,第項排在第21行,第10個
是大于1的奇數(shù),不能寫成整數(shù)冪;
選項B,若,由知第項排在第26行,第個
,同理,不能寫成整數(shù)冪;
選項A時,當時,由,可解出
所以這前和為:,符合題意,故選A．
解法四:直接法
由能寫成的整數(shù)冪可知,,,且由知,故滿足條件的的最小值為,得,此時．
解法五:二進制轉(zhuǎn)化法
按照上面形式重新排列后,第層:,的和為
把每一層的和的二時制數(shù)重新排列(低位對齊)
第1層: 1
第2層: 11
第3層: 111

第層: 1111
由于的數(shù)冪的二進制數(shù)為:,前層的和再加多少可以寫成的整數(shù)冪?
為方便相加,首先,每層都加,則總共加了,得:
第1層: 10
第2層: 100
第3層: 1000

第層: 1000
此時層總的和為:,仍然不是的整數(shù)冪,再加上即可!
所以在前層總和的基礎上,再加上可使和成為的整數(shù)冪
設第層的前個數(shù)的和為,即
后面的方法同“解法四”．
【考點】等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和．
【點評】本題非常巧妙的將實際問題和數(shù)列融合在一起,首先需要讀懂題目所表達的具體含義,以及觀察所給定數(shù)列的特征,進而判斷出該數(shù)列的通項和求和．另外,本題的難點在于數(shù)列里面套數(shù)列,第一個數(shù)列的和又作為下一個數(shù)列的通項,而且最后幾項并不能放在一個數(shù)列中,需要進行判斷．
4．(2016高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科·第12題)定義“規(guī)范01數(shù)列”如下:共有項,其中項為項為1,且對任意,中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有( )
A．18個B．16個C．14個D．12個
【答案】C
【解析】由題意,得必有,,則具體的排法列表如圖所示,共14個,故選C.
5．(2021年高考浙江卷·第10題)已知數(shù)列滿足．記數(shù)列的前n項和為，則( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析:因為，所以，．
由
，即
根據(jù)累加法可得，，當且僅當時取等號，
，當且僅當時取等號，
所以，即．
故選A．
二、填空題
1．(2022高考北京卷·第15題) 己知數(shù)列各項均為正數(shù)，其前n項和滿足．給出下列四個結(jié)論：
①的第2項小于3； ②為等比數(shù)列；
③為遞減數(shù)列； ④中存在小于的項．
其中所有正確結(jié)論的序號是__________．
【答案】①③④
解析:由題意可知，，，
當時，，可得；
當時，由可得，兩式作差可得，
所以，，則，整理可得，
因為，解得，①對；
假設數(shù)列為等比數(shù)列，設其公比為，則，即，
所以，，可得，解得，不合乎題意，
故數(shù)列不等比數(shù)列，②錯；
當時，，可得，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，③對；
假設對任意，，則，
所以，，與假設矛盾，假設不成立，④對．
故答案為：①③④．
2．(2015高考數(shù)學新課標2理科·第16題) 設是數(shù)列的前項和，且，，則________．
【答案】
解析：由已知得，兩邊同時除以，得，故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，所以．
考點：等差數(shù)列和遞推關(guān)系．
3．(2017年高考數(shù)學上海（文理科）·第14題) 已知數(shù)列和,其中,,的項是互不相等的正整數(shù),若對于任意,的第項等于的第項,則________．
【答案】2
【解析】．
4．(2016高考數(shù)學浙江理科·第13題) 設數(shù)列的前項和為．若，則 ， ．
【答案】
【命題意圖】本題主要考查等比數(shù)列的概念、通項公式，通項與前項和之間的關(guān)系等知識，意在考查學生的運算求解能力、分析問題和解決問題的能力．
解析：由于，解得，由得，所以，
所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，即，所以．
題型二：等差數(shù)列
一、選擇題
1．(2020北京高考·第8題)在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列( )．
A．有最大項，有最小項B．有最大項，無最小項
C．無最大項，有最小項D．無最大項，無最小項
【答案】B
【解析】由題意可知，等差數(shù)列的公差，
則其通項公式為：，
注意到，且由可知，
由可知數(shù)列不存在最小項，
由于，
故數(shù)列中的正項只有有限項：，．故數(shù)列中存在最大項，且最大項為．
故選：B．
2．(2019·全國Ⅰ·理·第9題)記為等差數(shù)列的前項和．已知，，則( )
【答案】A
解析：，
所以，故選A．
3．(2018年高考數(shù)學課標卷Ⅰ(理)·第4題)記為等差數(shù)列的前項和，,．則( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：∵為等差數(shù)列的前項和，，，∴，把，代入得∴，故選B．
4．設是等差數(shù)列，，，則這個數(shù)列的前6項和等于( )
Ａ．12 Ｂ．24 Ｃ．36 Ｄ．48
【答案】B
解：是等差數(shù)列， ∴ ，則這個數(shù)列的前6項和等于，選B．
5．(2016高考數(shù)學課標Ⅰ卷理科·第3題)已知等差數(shù)列前9項的和為27，，則( )
A100 B99 C98 D97
【答案】C【解析】由等差數(shù)列性質(zhì)可知：，故，而，因此公差∴．故選C．
6．(2014高考數(shù)學福建理科·第3題)等差數(shù)列的前n項和為，若，則等于( )
A．8B．10C．12D．14
【答案】解析：由題意可得，解得，∴公差，
，故選：C．
7．(2015高考數(shù)學重慶理科·第2題)在等差數(shù)列中，若，，則( )
A．B．0C．1D．6
【答案】B
解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)得，選B．
8．(2015高考數(shù)學北京理科·第6題)設是等差數(shù)列．下列結(jié)論中正確的是( )
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】C
解析：先分析四個答案支，A舉一反例，而，A錯誤，B舉同樣反例，，而，B錯誤，下面針對C進行研究，是等差數(shù)列，若，則設公差為，則，數(shù)列各項均為正，由于，則，故選C．
9．(2017年高考數(shù)學新課標Ⅰ卷理科·第4題)記為等差數(shù)列的前項和．若,,則的公差為( )
A．B．C．D．
【答案】 C
【解析】設公差為,,,聯(lián)立解得,故選C．
秒殺解析:因為,即,則,即,解得,故選C．
【考點】等差數(shù)列的基本量求解
【點評】求解等差數(shù)列基本量問題時,要多多使用等差數(shù)列的性質(zhì),如為等差數(shù)列,若,則．
10．(2014高考數(shù)學遼寧理科·第8題)設等差數(shù)列的公差為d，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：根據(jù)題意可得
∵數(shù)列為遞減數(shù)列,∴，．
解析2 ：由數(shù)列為遞減數(shù)列,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，知，得，或，當時，，所以，，當時，，所以，綜上：．
二、填空題
1．(2019·全國Ⅲ·理·第14題) 記為等差數(shù)列{an}的前n項和，，則___________．
【答案】4．
【解析】因，所以，即，所以．
【點評】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、基本量的計算．滲透了數(shù)學運算素養(yǎng)．使用轉(zhuǎn)化思想得出答案．
2．(2019·江蘇·第8題) 已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項和.若，則的值是 .
【答案】16
【解析】由，得，從而，即，解得，所以.
3．(2019·北京·理·第10題) 設等差數(shù)列的前n項和為，若a2=?3，S5=?10，則a5=__________，Sn的最小值為__________．
【答案】 (1) 0； (2) -10．
【解析】等差數(shù)列中，，得，則公差，
∴，
由等差數(shù)列的性質(zhì)得時，，當時，大于0，所以的最小值為或，值為．
4．(2018年高考數(shù)學上?！さ?題) 記等差數(shù)列的前項和為．若，，則 ．
【答案】14
解析：，，，，．
5．(2018年高考數(shù)學北京（理）·第9題) 設是等差數(shù)列，且，，則的通項公式為__________．
【答案】
解析：，∴，
∴．
6．(2014高考數(shù)學北京理科·第12題) 若等差數(shù)列滿足 , , 則當= 時, 的前項和最大．
【答案】8
解析：，，，
∴時，數(shù)列的前n項和最大．
7．(2015高考數(shù)學陜西理科·第13題) 中位數(shù)1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項為2015，則該數(shù)列的首項為 ．
【答案】
解析：設數(shù)列的首項為，則，所以，故該數(shù)列的首項為，所以答案應填：．
8．(2015高考數(shù)學廣東理科·第10題) 在等差數(shù)列{}中，若，則= ．
【答案】10
解析：因為是等差數(shù)列，所以，
，即，故應填入10
9．(2016高考數(shù)學江蘇文理科·第8題) 已知是等差數(shù)列，是其前項和．若，，則的值是 ．
【答案】．
解析：設公差為，則由題意可得，，解得，，則．
10．(2016高考數(shù)學北京理科·第12題) 已知為等差數(shù)列， 為其前項和，若，則=__________．
【答案】
解析：∵∴，∵，∴，∴．
題型三：等比數(shù)列
一、選擇題
1．(2023年天津卷·第6題)已知為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和，，則的值為( )
A．3B．18C．54D．152
【答案】C
解析：由題意可得：當時，，即， ①
當時，，即， ②
聯(lián)立①②可得，則．
故選：C．
2．(2023年新課標全國Ⅱ卷·第8題)記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則( )．
A．120B．85C．D．
【答案】C
解析：方法一：設等比數(shù)列的公比為，首項為，
若，則，與題意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故選：C．
方法二：設等比數(shù)列的公比為，
因為，，所以，否則，
從而，成等比數(shù)列，
所以有，，解得：或，
當時，，即為，
易知，，即；
當時，，
與矛盾，舍去．
故選：C．
3．(2023年全國甲卷理科·第5題)設等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則( )
A．B．C．15D．40
【答案】C
解析：由題知,
即,即,即．
由題知,所以．
所以．
故選:C．
4．(2022年高考全國乙卷數(shù)學(理)·第8題)已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則( )
A．14B．12C．6D．3
【答案】D
解析：設等比數(shù)列的公比為，
若，則，與題意矛盾，
所以，
則，解得，
所以．故選：D．
5．(2019·全國Ⅲ·理·第5題)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項和為15，且，則( )
A．16B．8C．4D．2
【答案】C
【解析】設正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，則，解得，，故選C．
另解：數(shù)感好的話由，立即會想到數(shù)列：，檢驗是否滿足，可以迅速得出．
【點評】在數(shù)列相關(guān)問題中，用基本量的通性通法是最重要的，當然適當積累一些常見數(shù)列，對解題大有裨益．
6．(2018年高考數(shù)學浙江卷·第10題)已知成等比數(shù)列，且，若，則( )
A．B．
C．D．
【答案】B
解析：由的結(jié)構(gòu)，想到對數(shù)放縮最常用公式，
所以，得到，于是公比．
若，則，
而，即，矛盾，
所以，于是，故選B．
7．(2014高考數(shù)學重慶理科·第2題)對任意等比數(shù)列,下列說法一定正確的是( )
A．成等比數(shù)列B．成等比數(shù)列
C．成等比數(shù)列D．成等比數(shù)列
【答案】D
解析：根據(jù)等比數(shù)列中等比中項的性質(zhì)可得，如果數(shù)列為等比數(shù)列，即若則有
8．(2015高考數(shù)學新課標2理科·第4題)已知等比數(shù)列滿足，，則( )
A．21B．42C．63D．84
【答案】B
解析：設等比數(shù)列公比為，則，又因為，所以，解得，所以，故選B．
9．(2015高考數(shù)學湖北理科·第5題)設，．若：成等比數(shù)列；：，則( )
A．是的充分條件，但不是的必要條件
B．是的必要條件，但不是的充分條件
C．是的充分必要條件
D．既不是的充分條件，也不是的必要條件
【答案】A
解析：對命題p：成等比數(shù)列，則公比且；
對命題， = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①當時，成立；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②當時，根據(jù)柯西不等式，等式成立，
則，所以成等比數(shù)列，
所以是的充分條件，但不是的必要條件．
二、填空題
1．(2023年全國乙卷理科·第15題) 已知為等比數(shù)列，，，則______．
【答案】
解析：設的公比為，則，顯然，
則，即，則，因為，則，
則，則，則，
故答案為：．
2．(2019·全國Ⅰ·理·第14題) 記為等比數(shù)列的前項和．若，，則 ．
【答案】
解析：由，得，所以，又因為，所以，．
3．(2014高考數(shù)學廣東理科·第13題) 若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則

【答案】．
解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)得，．依題意有，運用對數(shù)的運算可得所求等式左邊
4．(2014高考數(shù)學江蘇·第7題) 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則的值是 ．
【答案】4
解析：設公比為，因為，則由得，，解得或(舍)，所以．
5．(2015高考數(shù)學安徽理科·第14題) 已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，，則數(shù)列的前項和等于 ．
【答案】
解析：由題意，，解得或者，而數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，即，所以，因而數(shù)列的前項和
．
6．(2017年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科·第14題) 設等比數(shù)列滿足,，則 ．
【答案】
【解析】設等比數(shù)列的公比為，則依題意有，解得
所以．
7．(2017年高考數(shù)學江蘇文理科·第9題) 等比數(shù)列的各項均為實數(shù),其前項的和為,已知,則=____．
【答案】 32
解析:當時,顯然不符合題意;
當時,,解得,則．
【考點】等比數(shù)列通項
【點評】在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時,有兩個處理思路,一是利用基本量,將多元問題簡化為一元問題,雖有一定量的運算,但思路簡潔,目標明確;二是利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì),性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn),是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具,應有意識地去應用．但在應用性質(zhì)時要注意性質(zhì)的前提條件,有時需要進行適當變形． 在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時,經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運算量”的方法．
8．(2016高考數(shù)學課標Ⅰ卷理科·第15題) 設等比數(shù)列滿足，，則的最大值為 ．
【答案】64
【解析】由于是等比數(shù)列，設，其中是首項，是公比．
∴，解得：．
故，∴
當或時，取到最小值，此時取到最大值．
所以的最大值為64．
題型四：等差與等比數(shù)列綜合
一、選擇題
1．(2015高考數(shù)學浙江理科·第3題)已知是等差數(shù)列，公差不為零，前項和是，若，，成等比數(shù)列，則( )
A．B．
C．D．
【答案】B．
解析：∵等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，∴，
∴，∴，，故選B．
2．(2017年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科·第9題)等差數(shù)列的首項為，公差不為．若成等比數(shù)列，則前項的和為( )
A．B．C．D．
【答案】 A
【解析】數(shù)列的首項，設公差為，則由成等比數(shù)列可得，所以，即，整理可得，因為，所以，所以，故選A．
【考點】等差數(shù)列求和公式；等差數(shù)列基本量的計算
【點評】(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題．(2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法．
二、填空題
3．(2014高考數(shù)學天津理科·第11題) 設是首項為,公差為的等差數(shù)列,為其前項和．若成等比數(shù)列,則的值為_________．
【答案】
解析:由已知得,即,解得．
4．(2014高考數(shù)學安徽理科·第12題) 數(shù)列是等差數(shù)列，若構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，則 ．
【答案】1
解析：設數(shù)列的公差為，由題意可得，
即，所以，所以．
5．(2015高考數(shù)學湖南理科·第14題)設為等比數(shù)列的前項和．若，且，，成等差數(shù)列，則 ．
【答案】．
分析：∵，，成等差數(shù)列，∴，
又∵等比數(shù)列，∴．
考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)．
【名師點睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于容易題，在解題過程中，需要建立關(guān)于等比數(shù)列基本量的方程即可求解，考查學生等價轉(zhuǎn)化的思想與方程思想．
6．(2017年高考數(shù)學北京理科·第10題)若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足,,則_______．
【答案】
【解析】設等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比為和,,求得,那么．
【考點】等差數(shù)列和等比數(shù)列
【點評】在等差、等比數(shù)列中,各有五個基本量,兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運算問題轉(zhuǎn)化解關(guān)于基本量的方程(組),因此數(shù)列中的絕大部分運算題可看作方程應用題,用方程思想解決數(shù)列問題是一種行之有效的方法．
7．(2020江蘇高考·第11題)設是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列．已知數(shù)列的前項和，則的值是_______．
【答案】
【解析】設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意．
等差數(shù)列的前項和公式為，
等比數(shù)列的前項和公式為，
依題意，即，
通過對比系數(shù)可知，故．故答案為：
題型五：數(shù)列的求和
一、選擇題
1．(2014高考數(shù)學大綱理科·第10題)等比數(shù)列中，，則數(shù)列的前8項和等于( )
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
解析：依題意可得，所以，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，從而所求的前8項和為，故選C．
2．(2020年高考課標Ⅱ卷理科·第6題)數(shù)列中，，，若，則( )
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
解析：在等式中，令，可得，，
所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，
，
，則，解得．
故選：C．
【點睛】本題考查利用等比數(shù)列求和求參數(shù)的值，解答的關(guān)鍵就是求出數(shù)列的通項公式，考查計算能力，屬于中等題．
二、填空題
1．(2020年浙江省高考數(shù)學試卷·第11題) 已知數(shù)列{an}滿足，則S3=________．
【答案】10
解析：因為，所以．
即．
2．(2020年新高考全國卷Ⅱ數(shù)學（海南）·第15題) 將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為________．
【答案】
解析：因為數(shù)列是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，
數(shù)列是以1首項，以3為公差的等差數(shù)列，
所以這兩個數(shù)列的公共項所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項，以6為公差的等差數(shù)列，
所以的前項和為，
故答案為：．
3．(2019·上?！さ?題)已知數(shù)列前n項和為，且滿足，則______.
【答案】
【解析】由得：()
【點評】本題主要考查數(shù)列求和，的遞推式．
∴ 為等比數(shù)列，且，，∴ .
4．(2018年高考數(shù)學課標卷Ⅰ(理)·第14題)記為數(shù)列的前項和．若,則 ．
【答案】
解析：為數(shù)列的前項和．若，①
當時，，解得，
當時，，②，
由①﹣②可得，
∴，
∴是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
∴．
5．(2015高考數(shù)學江蘇文理·第14題)設向量 ()，則的值為_______．
【答案】
解析： akak+1
因為的周期皆為，一個周期的和皆為零，
因此(akak+1)
6．(2015高考數(shù)學江蘇文理·第11題)設數(shù)列滿足，且(), 則數(shù)列前10項的和為_______．
【答案】
解析：由題意得：
所以
7．(2017年高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科·第15題)等差數(shù)列的前項和為，，，則 ．
【答案】
【解析】設等差數(shù)列的首項為，公差為，
由題意有： ，解得 ，
數(shù)列的前n項和，
裂項有：，據(jù)此：
。
8．(2016高考數(shù)學上海理科·第11題)無窮數(shù)列由個不同的數(shù)組成，為的前項和．若對任意，，則的最大值為________．
【答案】4
解析：要滿足，說明的最大值為，最小值為所以涉及最多的項的數(shù)列可以為，所以最多由4個不同的數(shù)組成．
題型六：數(shù)列與數(shù)學文化
一、選擇題
1．(2020年高考課標Ⅱ卷理科·第0題)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)( )
( )
A．3699塊B．3474塊C．3402塊D．3339塊
【答案】C
解析：設第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，
則是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，，
設為的前n項和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分
別為，因為下層比中層多729塊，
所以，
即
即，解得，
所以．
故選：C
【點晴】本題主要考查等差數(shù)列前n項和有關(guān)的計算問題，考查學生數(shù)學運算能力，是一道容易題．
2．(2022新高考全國II卷·第3題)圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0．1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0．725，則( )
( )
A．0．75B．0．8C．0．85D．0．9
【答案】D
解析：設，則，
依題意，有，且，
所以，故． 故選 D．
3．(2021高考北京·第6題)《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種．這五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，對應的寬為(單位:cm),且長與寬之比都相等，已知，，，則
A．64B．96C．128D．160
【答案】C
解析：由題意，五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，設公差為，
因為，，可得，
可得，
又由長與寬之比都相等，且，可得，所以．
故選：C．
4．(2018年高考數(shù)學北京(理)·第4題)“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻．十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于．若第一個單音的頻率為，則第八個單音的頻率為( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：單音的頻率構(gòu)成以為首項，為公比的等比數(shù)列，則．
5．(2017年高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科·第3題)我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈( )
A．1盞B．3盞C．5盞D．9盞
【答案】 B
【解析】解法一：常規(guī)解法
一座7層塔共掛了381盞燈，即；相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，即
，塔的頂層為；由等比前項和可知：，解得
．
解法二：邊界效應
等比數(shù)列為遞增數(shù)列，則有，∴，解得，∴ ．
二、填空題
1．(2023年北京卷·第14題) 我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量(單位：銖)從小到大構(gòu)成項數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且，則___________；數(shù)列所有項的和為____________．
【答案】①． 48 ②． 384
解析：方法一：設前3項的公差為，后7項公比為，
則，且，可得，
則，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因為為等比數(shù)列，則，
且，所以；
又因為，則；
空2：設后7項公比為，則，解得，
可得，
所以．
故答案為：48；384．
2．(2021年新高考Ⅰ卷·第16題)某校學生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對折次，那么______．
【答案】 5
解析:(1)對折次可得到如下規(guī)格：，，，，，共種；
(2)由題意可得，，，，，，
設，
則，
兩式作差得
，
因此，,故答案為 ；．
題型七：數(shù)列的綜合應用
一、選擇題
1．(2023年北京卷·第10題)已知數(shù)列滿足，則( )
A．當時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
B．當時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
C．當時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
D．當時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
【答案】B
解析：法1：因為，故，
對于A ，若，可用數(shù)學歸納法證明：即，
證明：當時，，此時不等關(guān)系成立；
設當時，成立，
則，故成立，
由數(shù)學歸納法可得成立．
而，
，，故，故，
故為減數(shù)列，注意
故，結(jié)合，
所以，故，故，
若存在常數(shù)，使得恒成立，則，
故，故，故恒成立僅對部分成立，
故A不成立．
對于B，若可用數(shù)學歸納法證明：即，
證明：當時，，此時不等關(guān)系成立；
設當時，成立，
則，故成立即
由數(shù)學歸納法可得成立．
而，
，，故，故，故為增數(shù)列，
若，則恒成立，故B正確．
對于C，當時， 可用數(shù)學歸納法證明：即，
證明：當時，，此時不等關(guān)系成立；
設當時，成立，
則，故成立即
由數(shù)學歸納法可得成立．
而，故，故為減數(shù)列，
又，結(jié)合可得：，所以，
若，若存在常數(shù)，使得恒成立，
則恒成立，故，的個數(shù)有限，矛盾，故C錯誤．
對于D，當時， 可用數(shù)學歸納法證明：即，
證明：當時，，此時不等關(guān)系成立；
設當時，成立，
則，故成立
由數(shù)學歸納法可得成立．
而，故，故為增數(shù)列，
又，結(jié)合可得：，所以，
若存在常數(shù)，使得恒成立，則，
故，故，這與n的個數(shù)有限矛盾，故D錯誤．
故選：B．
法2：因為，
令，則，
令，得或；
令，得；
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
令，則，即，解得或或，
注意到，，
所以結(jié)合的單調(diào)性可知在和上，在和上，
對于A，因為，則，
當時，，，則，
假設當時，，
當時，，則，
綜上：，即，
因為在上，所以，則為遞減數(shù)列，
因為，
令，則，
因為開口向上，對稱軸為，
所以在上單調(diào)遞減，故，
所以在上單調(diào)遞增，故，
故，即，
假設存常數(shù)，使得恒成立，
取，其中，且，
因為，所以，
上式相加得，，
則，與恒成立矛盾，故A錯誤；
對于B，因為，
當時，，，
假設當時，，
當時，因為，所以，則，
所以，
又當時，，即，
假設當時，，
當時，因為，所以，則，
所以，
綜上：，
因為在上，所以，所以為遞增數(shù)列，
此時，取，滿足題意，故B正確；
對于C，因為，則，
注意到當時，，，
猜想當時，，
當與時，與滿足，
假設當時，，
當時，所以，
綜上：，
易知，則，故，
所以，
因為在上，所以，則為遞減數(shù)列，
假設存在常數(shù)，使得恒成立，
記，取，其中，
則，
故，所以，即，
所以，故不恒成立，故C錯誤；
對于D，因為，
當時，，則，
假設當時，，
當時，，則，
綜上：，
因為在上，所以，所以為遞增數(shù)列，
因為，
令，則，
因為開口向上，對稱軸為，
所以在上單調(diào)遞增，故，
所以，
故，即，
假設存在常數(shù)，使得恒成立，
取，其中，且，
因為，所以，
上式相加得，，
則，與恒成立矛盾，故D錯誤．
故選：B．
2．(2020年浙江省高考數(shù)學試卷·第7題)已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=Sn+2–S2n，，下列等式不可能成立的是( )
A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．D．
【答案】D
解析：對于A，因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列的下標和性質(zhì)，由可得，，A正確；
對于B，由題意可知，，，
∴，，，．
∴，．
根據(jù)等差數(shù)列的下標和性質(zhì)，由可得，B正確；
對于C，，
當時，，C正確；
對于D，，，
．
當時，，∴即；
當時，，∴即，所以，D不正確． 故選：D
3．(2022高考北京卷·第6題)設是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當時，”的( )
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
解析:設等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過的最大整數(shù)．
若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，
若，則當時，；若，則，
由可得，取，則當時，，
所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當時，”；
若存在正整數(shù)，當時，，取且，，
假設，令可得，且，
當時，，與題設矛盾，假設不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列．
所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當時，”．
所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當時，”的充分必要條件．
故選,C．
4．(2020年高考課標Ⅱ卷理科·第11題)0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應用．若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個序列的周期．對于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：由知，序列的周期為m，由已知，，
對于選項A，
，不滿足；
對于選項B，
，不滿足；
對于選項D，
，不滿足；
故選：C
【點晴】本題考查數(shù)列的新定義問題，涉及到周期數(shù)列，考查學生對新定義的理解能力以及數(shù)學運算能力，是一道中檔題．
5．(2023年全國乙卷理科·第10題)已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則( )
A．－1B．C．0D．
【答案】B
解析：依題意，等差數(shù)列中，，
顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，
則在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，．
故選：B
二、填空題
1．(2018年高考數(shù)學江蘇卷·第14題)已知集合，．將的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列．記為數(shù)列的前n項和，則使得成立的n的最小值為 ．
【答案】27
解析：設，則＝
＝＝
由得，，所以，即．
所以只需研究是否有滿足條件的解，此時，
＝＝，
，m為等差數(shù)列的項數(shù)，且m＞16．
由＞，＞0，所以，，
所以滿足條件的最小值為27．
A．
B．
C．
D．
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
A．
B．
C．
D．

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