一、單選題
1．“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，在數(shù)論?代數(shù)學(xué)?非歐幾何?復(fù)變函數(shù)和微分幾何等方面都作出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn).我們高中階段也學(xué)習(xí)過很多高斯的數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法等等.已知某數(shù)列的通項(xiàng)，則（ ）
A．B．C．D．
2．德國數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱，在歷史上有很大的影響.他幼年時就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天賦，10歲時，他在進(jìn)行的求和運(yùn)算時，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法.已知某數(shù)列通項(xiàng)，則（ ）
A．98B．99C．100D．101
3．已知函數(shù)，數(shù)列滿足，則（ ）
A．2022B．2023C．4044D．4046
4．已知函數(shù)，則的值為（ ）
A．1B．2C．2020D．2021
5．德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子.在其年幼時，對的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成;因此，此方法也稱之為高斯算法.現(xiàn)有函數(shù)，則等于（ ）
A．B．C．D．
6．德國數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱，在歷史上有很大的影響．他幼年時就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天才，10歲時，他在進(jìn)行的求和運(yùn)算時，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法．已知數(shù)列，則（ ）
A．96B．97C．98D．99
7．已知函數(shù), 則的值等于（ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前20項(xiàng)的和為（ ）
A．230B．115C．110D．100
二、多選題
9．設(shè)，若，，，下列說法正確的是（ ）
A．B．無極值點(diǎn)C．的對稱中心是D．
10．已知正項(xiàng)數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，且滿足，，則（ ）
A．是等比數(shù)列B．是等比數(shù)列
C．當(dāng)時，D．當(dāng)時，
三、填空題
11．已知函數(shù)，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則
12．“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，并且高斯研究出很多數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法?每一個階代數(shù)方程必有個復(fù)數(shù)解等.若函數(shù)，設(shè)，則 .
13．已知函數(shù)，則 ；設(shè)數(shù)列滿足，則此數(shù)列的前2023項(xiàng)的和為 .
14．已知等差數(shù)列滿足（，），則 ．
15．設(shè)函數(shù)，，．則數(shù)列的前n項(xiàng)和 ．
16．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，設(shè)函數(shù)，則 ．
17．已知函數(shù)，等差數(shù)列滿足，則 ．
18．已知函數(shù)，若公比為等比數(shù)列滿足，，則 .
四、解答題
19．已知函數(shù).
(1)求證：圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱；
(2)定義，其中且，求；
(3)對于（2）中的，求證：對于任意都有.
20．已知數(shù)列滿足,且對任意,都有
成立.
（1）求的值;
（2）證明:數(shù)列是等差數(shù)列.
參考答案：
1．D
【分析】分離常數(shù)后可得，再利用倒序相加法，即可求解．
【詳解】當(dāng)時，，
，
，
，
，
，即.
故選：D．
2．C
【分析】觀察要求解的式子，根據(jù)給的數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算是否為定值，然后利用倒序相加的方法求解即可.
【詳解】由已知，數(shù)列通項(xiàng)，所以，
所以，
所以.
故選：C.
3．A
【分析】先求得，然后利用倒序相加法求得正確答案.
【詳解】∵，
∴．
∵，
∴．令，
則，兩式相加得，
∴．
故選:A
4．C
【分析】設(shè)，得到，再利用倒序相加求和得解.
【詳解】解：函數(shù)，設(shè)，則有，
所以，
所以當(dāng)時，，
令，
所以，
故．
故選：C
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）錯位相減法；（3）裂項(xiàng)相消法；（4）分組求和法；（5）倒序相加法. 要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.
5．B
【分析】根據(jù)，利用倒序相加法求解.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>且，
令,
又
，
兩式相加得：，
解得，
故選：B
6．C
【分析】令，利用倒序相加原理計(jì)算即可得出結(jié)果.
【詳解】令，
，
兩式相加得：
，
∴，
故選:C．
7．D
【分析】由題意，化簡函數(shù)，再利用倒序相加法，即可求解，得到答案.
【詳解】由題意，函數(shù)
設(shè)，
則，
所以，
所以，故選D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的化簡求值，以及利用倒序相加求和，其中解答中化簡函數(shù)，再利用倒序相加法求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
8．B
【分析】利用倒序相加法即可求得前20項(xiàng)的和.
【詳解】，①
，②
兩式相加，又因?yàn)?br>故，所以
所以的前20項(xiàng)的和為
故選：B
9．BCD
【分析】根據(jù)題意，建立三元方程組，結(jié)合函數(shù)解析式，利用代入法，求導(dǎo)研究單調(diào)性、函數(shù)對稱性判斷、倒序相加法，可得答案.
【詳解】由題意可得，解得，
則，
對于A，，故A錯誤；
對于B，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；
對于C，由，故C正確；
對于D，由，
則與關(guān)于對稱，
所以，
設(shè)，
，兩式相加可得：
，解得，故D正確.
故選：BCD.
10．ACD
【分析】由，得到，化簡得到，結(jié)合，可判定A正確；由，得到，化簡得到，可判定B不正確；由，得到，證得，得到是遞增數(shù)列，同理得到是遞減數(shù)列，進(jìn)而判定C正確；由，得到，由，得到，結(jié)合，得到，，可判定D正確．
【詳解】對于A中，由，則當(dāng)時，，
兩式相減得，，
即，化簡得，
又由，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，所以A正確；
對于B中，由，則當(dāng)時，，
兩式相減得，
等式兩邊同乘，可得，
等式兩邊同時加，得，可得不是等比數(shù)列，
所以B不正確．
對于C中，由數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，，得，
所以，所以，所以，所以是遞增數(shù)列，
同理可證是遞減數(shù)列，當(dāng)時，，故，所以C正確；
對于D中，由，可得，故，
所以，所以，
因?yàn)?，所以?br>由，可得，可得，
又由，可得，
因?yàn)椋?br>可得
，
所以，，
因?yàn)椋?，所以?br>所以，所以D正確．
故選：ACD
11．
【分析】利用倒序相加法，結(jié)合函數(shù)的對稱性以及等比數(shù)列的性質(zhì)即可求得正確答案.
【詳解】函數(shù)，可看成向左平移1個單位，向上平移1個單位得到,
因?yàn)榈膶ΨQ中心為，所以的對稱中心為，
所以，
因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列滿足，所以，
所以，
所以，
①，
②，
則①②相加得：
即，
所以.
故答案為：.
12．46
【分析】先證，由倒序相加法可得通項(xiàng)，然后可解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?br>設(shè)是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，其中，且，則有，
從而當(dāng)時，有：，當(dāng)時，，
，
相加得
所以，又，
所以對一切正整數(shù)，有；
故有.
故答案為：46.
13．
【分析】由題意可知，即可根據(jù)此關(guān)系求出，因?yàn)?，則，利用倒序相加法求和即可，
【詳解】解：已知，
則，
，
所以，
則，
已知數(shù)列，
，，
數(shù)列的前2023項(xiàng)的和，
且，
兩式相加，得，
故答案為：；
14．
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合已知條件即可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，故，解得；
令，
則，
故
解得.
故答案為：.
15．
【分析】由題設(shè)，討論n的奇偶性求的通項(xiàng)公式，再求.
【詳解】由題設(shè)，，
所以，
即且n ≥ 2，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以，
故答案為：.
16．/
【分析】根據(jù)可求，從而可求.易驗(yàn)證，故可采用倒序相加法求題設(shè)式子的值．
【詳解】∵①，
∴當(dāng)時，②，
①－②得，∴；
當(dāng)時，，∴，此時仍然成立，
∴．
∴當(dāng)n=1時，；
當(dāng)時，，
當(dāng)n=1時，上式也成立，故．
由于，
設(shè)
則，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是熟練掌握利用前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系求得，觀察猜測并發(fā)現(xiàn)為定值，從而利用倒序相加法即可求和．
17．/
【分析】利用倒序相加法求得正確答案.
【詳解】.
依題意是等差數(shù)列，
令，
，
結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，兩式相加得.
故答案為：.
18．1010
【分析】求得為定值2，再根據(jù)，用倒序相加法即可求得結(jié)果.
【詳解】，
∵，
設(shè)
即
故，解得.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，涉及倒序相加法求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬綜合基礎(chǔ)題.
19．(1)證明見解析
(2)且
(3)證明見解析
【分析】（1）證明：，即可證明圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱；
（2）利用倒序相加法，求；
（3）等價于，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可證明.
【詳解】（1）證明：
所以圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱.
（2）由（1）知
則
∵…①
∴…②
①+②，得，∴且.
（3）證明：當(dāng)時，由（2）知
于是等價于
令，則
∴當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，又
于是，當(dāng)時，恒有，即恒成立
故當(dāng)時，有成立
取，則有成立
所以，對于任意都有.
20．（1）（2）答案見解析
【解析】（1）根據(jù),令時,即可求出;
（2）假設(shè)是公差為的等差數(shù)列,則,利用數(shù)學(xué)歸納法證明,即可求得答案.
【詳解】（1）
令,則
由,則
解得:
（2）若是等差數(shù)列,則公差為,即
①當(dāng)時,由（1）知,此時結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)時,結(jié)論成立,即是等差數(shù)列,則公差為.
由
對該式倒序相加,得
,即
當(dāng)時,結(jié)論成立．
根據(jù)①②,可知數(shù)列是等差數(shù)列．
【點(diǎn)睛】本題考查了求數(shù)列中的項(xiàng)和證明數(shù)列是等差數(shù)列,解題關(guān)鍵是掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明方法和等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.

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