1.答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息
2.請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上
第I卷（選擇題）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，令，解不等式即可得答案.
【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以，
令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
故選：C.
2. 若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由在有2個(gè)不同的零點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求．
【詳解】解：因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的極值點(diǎn)，
所以在有2個(gè)不同的零點(diǎn)，
所以在有2個(gè)不同的零點(diǎn)，
所以，
解可得，．
故選：．
3. 函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算出和的值，可得出所求切線的點(diǎn)斜式方程，化簡(jiǎn)即可.
【詳解】，，，，
因此，所求切線的方程為，即.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題
4. 記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本量法可求公比,從而可求的值.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，
故，從而，
故選：B.
5. 數(shù)列滿足 且，則 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，得到，等出是等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，可得?br>又因?yàn)椋傻?，所以是?為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
則，所以，所以.
故選：B.
6. 已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（ ）
A. 140B. 70C. 154D. 77
【答案】D
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，及等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.
【詳解】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，
故選D.
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法和等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
7. 設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】可先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令求出即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，所以，
所以，所以.
故選：B
8. 已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件構(gòu)造函數(shù)，再探討其單調(diào)性并借助單調(diào)性判斷作答.
詳解】令函數(shù)，求導(dǎo)得，令，則，故，單調(diào)遞減，又，故，即，而，則，即，所以，
故選：A
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 函數(shù)的極值點(diǎn)是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】先求導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)區(qū)間，根據(jù)增減性求出極值點(diǎn)．
【詳解】由題意，，
所以，令，得，即，即，
解得或或，
所以當(dāng)或時(shí)，；
當(dāng)或時(shí)，，
所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，
所以與為極小值點(diǎn)，為極大值點(diǎn)，
綜上，函數(shù)的極值點(diǎn)為或或．
故選：ABC．
10. 下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】首先構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求出最值，即可判斷A，B正確，利用特殊值即可判斷C，D錯(cuò)誤.
【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，
所以，即，故A正確.
對(duì)選項(xiàng)B，設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，
所以，即，故B正確.
對(duì)選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故C錯(cuò)誤.
對(duì)選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.
故選：AB
11. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若，則是等差數(shù)列
B. 若，則是等比數(shù)列
C. 若，則數(shù)列為遞增數(shù)列
D. 若數(shù)列為等差數(shù)列，，則最小
【答案】BC
【解析】
【分析】借助等差數(shù)列、等比數(shù)列概念、數(shù)列的遞推關(guān)系逐項(xiàng)計(jì)算即可得.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，，，
，不滿足是等差數(shù)列，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)闀r(shí)也滿足上式，所以，則，
所以是等比數(shù)列，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋裕?br>因此數(shù)列為以為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，也是遞增數(shù)列，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以?br>即，當(dāng)時(shí)，沒(méi)有最小值，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：BC．
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)極值點(diǎn)，根據(jù)極值點(diǎn)的位置列不等式求解.
【詳解】由已知，
令，得，在上單調(diào)遞增，
令，得，在上單調(diào)遞減，
所以在時(shí)取最大值，所以
解得.
故答案為：
13. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】由求得，求出，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.
【詳解】由題意得，又，則，
故數(shù)列是以6為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 __．
【答案】,
【解析】
【分析】將在上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為恒成立即可，設(shè)，求導(dǎo)確定單調(diào)性即可得最值，從而可得實(shí)數(shù)的取值范圍．
【詳解】，，
若在上單調(diào)遞增，則只需在上恒成立，
即在上恒成立，令，，
在上單調(diào)遞增，
，則，解得，
則實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故答案為：．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，四棱柱為長(zhǎng)方體，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
（1）求直線與平面的夾角的正弦值；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出直線的方向向量和平面的法向量后可求線面角的正弦值.
（2）求出平面的法向量后可求面面角的余弦值.
【小問(wèn)1詳解】
不妨設(shè)，則，
，故，
故，，
設(shè)平面法向量為，
則由可得，取，則，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則.
【小問(wèn)2詳解】
由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得平面,
又，故，
故平面與平面夾角的余弦值為.
16. 已知等差數(shù)列中的前n項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列為遞增數(shù)列，記，求數(shù)列的前n項(xiàng)的和．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為d，已知條件列方程組求出和d，可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)的和．
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)等差數(shù)列公差為d，則，即
解得或，所以或；
【小問(wèn)2詳解】
由數(shù)列為遞增數(shù)列，則，
所以，
則
有
兩式相減，有
，
即．
17. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知易得，進(jìn)而易求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求得，進(jìn)而可得，可求.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，（），
兩式相減得，即，
所以數(shù)列是以4為公比的等比數(shù)列，
又，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋?br>，
所以.
18. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值和最小值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）最大值為，最小值為
（2）
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定最值；（2）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定極值點(diǎn)，注意討論與的大小關(guān)系.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，則函數(shù)，，
令，解得或，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
∴在時(shí)取得極小值為，且，
故在上的最大值為，最小值為.
【小問(wèn)2詳解】
∵，則
①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，無(wú)極值，不合題意，舍去；
②當(dāng)時(shí)，令，得或，
∴在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故函數(shù)在時(shí)取得極大值，在時(shí)取得極小值，
∴；
③當(dāng)時(shí)，令，得或，
∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故函數(shù)在時(shí)取得極大值，在時(shí)取得極小值，
∴，解得.
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.
19. 已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求整數(shù)k的最大值.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；
（2）1.
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)后，分三種情況討論，即可求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
（2）分離參數(shù)可得對(duì)于恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)，分析出，即可求出整數(shù)k的最大值.
【小問(wèn)1詳解】
由得.
當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，解得.
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減.
【小問(wèn)2詳解】
原不等式等價(jià)于對(duì)于恒成立.
令，則.
令，則，所以在上單調(diào)遞增.
又，，
所以存在，使得，
且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
又，所以，
所以，所以，
經(jīng)驗(yàn)證時(shí)，恒成立，所以整數(shù)k的最大值為1.

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