一、單選題
1．若直線的一個(gè)方向向量是，平面的一個(gè)法向量是，則直線與平面所成的角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由直線與平面所成角的向量計(jì)算公式計(jì)算可得.
【詳解】已知直線的方向向量是，平面的一個(gè)法向量是，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
所以，
所以，故直線與平面所成角為.
故選：.
2．過(guò)圓的圓心且與直線垂直的直線的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出圓的圓心，直線斜率，通過(guò)點(diǎn)斜式求直線方程
【詳解】因?yàn)閳A，即，
所以圓心為，又直線的斜率為，所以所求直線的斜率為，
∴所求直線的方程為，即.
故選：C
3．已知直線方程為，則該直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出直線的斜率，進(jìn)而可求出傾斜角.
【詳解】直線的斜率，
所以該直線的傾斜角為.
故選：D.
4．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)，且與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．雙曲線的方程為
B．雙曲線的離心率為
C．雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為
D．雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為
【答案】A
【分析】根據(jù)直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)可知漸近線方程，再根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可得雙曲線方程，進(jìn)而判斷各選項(xiàng).
【詳解】由直線過(guò)點(diǎn)，
得，，
所以，
又直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，
當(dāng)直線與雙曲線漸近線平行時(shí)，，
可得，雙曲線方程為，
當(dāng)直線與雙曲線漸近線不平行時(shí)，
聯(lián)立直線與雙曲線，得，，即，
又，則，無(wú)解，
所以雙曲線方程為，A選項(xiàng)正確；
離心率，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
頂點(diǎn)坐標(biāo)為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
實(shí)軸長(zhǎng)為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：A.
5．加斯帕爾蒙日是世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”（如圖所示）.當(dāng)橢圓方程為時(shí)，蒙日?qǐng)A方程為.已知長(zhǎng)方形的四邊均與橢圓相切，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．橢圓的離心率為
B．若為正方形，則的邊長(zhǎng)為
C．橢圓的蒙日?qǐng)A方程為
D．長(zhǎng)方形的面積的最大值為
【答案】B
【分析】根據(jù)橢圓方程可求得離心率，知A正確；根據(jù)蒙日?qǐng)A方程定義可知C正確；結(jié)合長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)和基本不等式可求得BD錯(cuò)誤.
【詳解】對(duì)于A，由橢圓方程知：，，則，
橢圓的離心率，A正確；
對(duì)于BC，由A知：橢圓對(duì)應(yīng)的蒙日?qǐng)A方程為：，
正方形是圓的內(nèi)接正方形，正方形對(duì)角線長(zhǎng)為圓的直徑，
正方形的邊長(zhǎng)為，B錯(cuò)誤，C正確；
對(duì)于D，設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為，
長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)為圓的直徑，，
長(zhǎng)方形的面積（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
即長(zhǎng)方形的面積的最大值為，D正確.
故選：B.
6．已知橢圓C:的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，則的內(nèi)切圓半徑的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】尋找的內(nèi)切圓半徑與三角形面積之間的關(guān)系，根據(jù)面積的取值范圍可以得到的內(nèi)切圓半徑的取值范圍.
【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，橢圓方程為，
則，，，即，
又，
所以，
由于，
所以.
故選：D
7．定義：設(shè)是空間的一個(gè)基底，若向量，則稱實(shí)數(shù)組為向量在基底下的坐標(biāo).已知是空間的單位正交基底，是空間的另一個(gè)基底.若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的模長(zhǎng)為（ ）
A．3B．C．9D．6
【答案】A
【分析】根據(jù)基底的定義結(jié)合題意直接求解即可
【詳解】由題意得向量在基底下的坐標(biāo)為：，
則，
所以向量在下的坐標(biāo)為：，
所以模長(zhǎng)為，故A項(xiàng)正確.
故選：A.
8．下列命題中，是假命題的是（ ）
①若直線與直線平行，則的值為或0；
②若為雙曲線上兩點(diǎn)，則可以是線段的中點(diǎn)；
③經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線都可以用方程表示；
④向量的夾角為鈍角時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
A．①④B．③④C．①②④D．②④
【答案】C
【分析】時(shí)，兩直線重合，①錯(cuò)誤，利用點(diǎn)差法計(jì)算直線方程，與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，②錯(cuò)誤，考慮和兩種情況得到③正確，時(shí)不成立，④錯(cuò)誤，得到答案.
【詳解】對(duì)①：當(dāng)時(shí)，直線與直線重合，錯(cuò)誤；
對(duì)②：若成立，設(shè)，，直線斜率存在設(shè)為，
則，，相減得到，
即，解得，
直線：，，整理得到，無(wú)解，錯(cuò)誤；
對(duì)③：當(dāng)時(shí)，直線方程為；
當(dāng)時(shí)，直線方程為，
兩種情況可以合并為：，正確；
對(duì)④：當(dāng)時(shí)，，，夾角為，錯(cuò)誤；
故選：C
二、多選題
9．下列命題中是假命題的是（ ）
A．若為空間的一個(gè)基底，則不能構(gòu)成空間的另一個(gè)基底
B．若非零向量與平面內(nèi)一個(gè)非零向量平行，則所在直線與平面也平行
C．若平面的法向量分別為，則
D．已知為直線的方向向量，為平面的法向量，則
【答案】BCD
【分析】由可判斷選項(xiàng)A；利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷B，C，D.
【詳解】選項(xiàng)A. 設(shè),即
由為空間的一個(gè)基底，即不共面，則，解得
即，所以共面，即不能構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，故選項(xiàng)A正確.
選項(xiàng)B. 若非零向量與平面平行，則所在直線可能與平面平行，也可能在平面內(nèi)，選項(xiàng)B不正確；
選項(xiàng)C. 顯然向量不共線，因此平面不平行，選項(xiàng)C不正確；
選項(xiàng)D. 由，得直線與平面平行，也可能直線在平面內(nèi)，選項(xiàng)D不正確；
故選：BCD
10．若點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離可以為（ ）
A．0B．C．3D．5
【答案】ABC
【分析】根據(jù)圓上動(dòng)點(diǎn)到過(guò)定點(diǎn)直線的距離最大為：圓心到定點(diǎn)的距離加上半徑；當(dāng)直線與圓相交時(shí)有最小距離，從而可判斷求解.
【詳解】由題意得：圓心，半徑：，直線過(guò)定點(diǎn)：，
當(dāng)圓心與定點(diǎn)的連線垂直直線時(shí)，到直線有最大的距離且為：，
當(dāng)直線與圓相交時(shí)有最小距離，故到直線的距離范圍為：，
故選項(xiàng)ABC符合題意，D項(xiàng)不符合題意.
故選：ABC.
11．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以下說(shuō)法正確的是（ ）
A．若過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為12
B．橢圓上存在點(diǎn)，使得
C．若為橢圓上一點(diǎn)，且與的夾角為，則的面積為
D．若為橢圓上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)之間的最大距離是9
【答案】BC
【分析】根據(jù)的周長(zhǎng)為即可判斷A；設(shè)，根據(jù)求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可判斷B；根據(jù)橢圓的定義結(jié)合余弦定理求出即可判斷C；求出的最大值，再根據(jù)即可判斷D.
【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為，
則，所以，
對(duì)于A，過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，可取，設(shè)，
則，所以，
則，
所以，
解得，
所以橢圓上存在點(diǎn)，使得，故B正確；
對(duì)于C，由題意可得，
在中，由余弦定理得，
即，所以，
所以的面積為，故C正確；
對(duì)于D，設(shè)，
則，所以，
則，
因?yàn)椋?，所以?br>所以，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.

12．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，為正三角形，為的中點(diǎn)，且平面平面是線段上的一點(diǎn)，則以下說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．
C．若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則直線平面
D．若，則直線與平面所成角的余弦值為
【答案】BCD
【分析】根據(jù)題意，由線面垂直的判斷定理即可判斷AB，由線面平行的判定定理即可判斷C，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可判斷D.
【詳解】連接，
因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的菱形，，又為正三角形，為的中點(diǎn)，所以，，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，所以，故B正確；
當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接，則，且，又為的中點(diǎn)，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，故C正確；
因?yàn)槠矫嫫矫?，為正三角形，為中點(diǎn)，所以，平面平面，平面，所以平面，且平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，顯然與平面不垂直，故當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)位置時(shí)，才有，故A錯(cuò)誤；
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，
又，所以，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)直線與平面的夾角為，則，則，所以直線與平面所成角的余弦值為，故D正確；
故選：BCD
三、填空題
13．在空間直角坐標(biāo)系中，，則點(diǎn)到直線的距離為 .
【答案】
【分析】先求出在上的投影向量的模長(zhǎng)，然后利用勾股定理求解即可
【詳解】在上的投影向量的模長(zhǎng).
則點(diǎn)到直線的距離為
故答案為：
14．已知雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為 .
【答案】
【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再表示出漸近線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑即可得到，即可求出離心率.
【詳解】圓即，圓心為，半徑，
雙曲線的漸近線方程為，
依題意，即，又，所以，
所以離心率.
故答案為：
15．如圖，已知一個(gè)二面角的平面角為，它的棱上有兩個(gè)點(diǎn)、，線段、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱，，，，則線段的長(zhǎng)為 .
【答案】
【分析】過(guò)點(diǎn)作，且，在利用余弦定理可得，再在中利用勾股定理求解.
【詳解】
過(guò)點(diǎn)作，且，
則四邊形為平行四邊形，
，
又，
，
，
即為二面角的平面角，即，
在中，，
即，
又，，平面，
平面，
平面,
，，
在中，，
即，
故答案為：.
16．某地發(fā)生地震，呈曲線形狀的公路上任意一點(diǎn)到村的距離比到村的距離遠(yuǎn)，村在村的正東方向處，村在村的北偏東方向處，為了救援災(zāi)民，救援隊(duì)在曲線上的處收到了一批救災(zāi)藥品，現(xiàn)要向兩村轉(zhuǎn)運(yùn)藥品，那么從處到、兩村的路程之和的最小值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合雙曲線定義可知曲線的軌跡為雙曲線的右支，從而求得其軌跡方程，結(jié)合圖像得到，由此得解.
【詳解】如圖，以所在的直線為軸，的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系，
由題意得，根據(jù)雙曲線定義知，軌跡為雙曲線的右支，
故，
所以曲線的軌跡方程為，
因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)，等號(hào)成立，
所以從處到、兩村的路程之和的最小值為.
故答案為：.
四、解答題
17．已知，動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離是它與點(diǎn)的距離的倍.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)如果把倍改成倍，求點(diǎn)的軌跡.
【答案】(1)
(2)答案見(jiàn)解析
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式列出等式化簡(jiǎn)即可；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式列出等式化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)過(guò)程中注意二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況.
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，
得，化簡(jiǎn)得，
即.
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，得，
化簡(jiǎn)得，
當(dāng)時(shí)，方程為，可知點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線；
當(dāng)且時(shí)，方程可化為，
點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓.
18．已知橢圓上的任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，且離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且滿足，若為直線上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.
【答案】.
【分析】先求出橢圓方程，再利用點(diǎn)差法得到直線的方程，利用點(diǎn)到直線距離公式求出答案.
【詳解】由題意得，解得，
所以橢圓方程為，
因?yàn)椋?br>所以在橢圓內(nèi)，所以直線與橢圓總有兩個(gè)交點(diǎn)，
因?yàn)椋渣c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
設(shè)，則，
，所以，
所以，
所以，即，
所以，
所以直線為，即，
因?yàn)闉橹本€上任意一點(diǎn)，
所以的最小值為點(diǎn)到直線的距離.
19．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，是的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求點(diǎn)到平面的距離；
(3)求平面和底面夾角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明線線垂直，再由線面垂直的判定定理得證；
（2）利用向量法求點(diǎn)面距離；
（3）利用向量法求兩個(gè)平面的夾角.
【詳解】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
，故，
所以，所以，
又，平面，因此平面.
（2）平面的法向量為，
，則
取，可得，
又，則點(diǎn)到平面的距離為.
（3）設(shè)平面和底面夾角為，
因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，
所以，
故，
所以平面和底面夾角的正弦值為.
20．瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中，滿足，頂點(diǎn)、，且其“歐拉線”與圓相切.
(1)求的“歐拉線”方程；
(2)若圓M與圓有公共點(diǎn)，求a的范圍；
(3)若點(diǎn)在的“歐拉線”上，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意，得出等腰三角形歐拉線為底邊上的垂直平分線，利用點(diǎn)斜式求出直線方程；
（2）因兩圓有公共點(diǎn)，利用兩圓的圓心距與半徑的關(guān)系求出的范圍
（3）依題意，轉(zhuǎn)化為直線上的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和的最小值，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱求出對(duì)稱點(diǎn)即可得結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)椋允堑妊切危?br>由三線合一得：的外心、重心、垂心均在邊的垂直平分線上，
設(shè)的歐拉線為，則過(guò)的中點(diǎn)，且與直線垂直，
由可得：的中點(diǎn)，即，所以，
故的方程為.
（2）因?yàn)榕c圓相切，故，
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，
則要想圓與圓有公共點(diǎn)，
只需兩圓圓心的距離小于等于半徑之和，大于等于半徑之差的絕對(duì)值，
故，所以.
（3）因?yàn)椋?br>所以該式子是表示點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和，
又，
所以上述式子表示直線上的點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和的最小值.
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
則有解得，即.
所以，所以直線上的點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和的最小值為.
21．已知圓與直線相切，圓心在直線上，且直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.
(1)求圓的方程；
(2)若直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，且，求直線的斜率；
(3)若點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求四邊形面積的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)條件可知圓心坐標(biāo)為，結(jié)合圓與直線相切得到 半徑，再利用弦長(zhǎng)公式求解即可；
（2）由（1）可知點(diǎn)P即為原點(diǎn)，根據(jù)條件得到原點(diǎn)O到直線l的距離，利用點(diǎn)到直線距離公式求解即可；
（3）根據(jù)當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)四邊形的面積最小進(jìn)行求解.
【詳解】（1）設(shè)圓的圓心為，半徑為，
因?yàn)閳A與直線相切，所以.
又直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，
所以，解得
即圓心坐標(biāo)為，所以圓的方程為.
（2）依題意，即為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則點(diǎn)到的距離為1，于是，
解得，所以直線的斜率為.
（3）由切線長(zhǎng)定理可得，又因?yàn)椋?br>所以，
所以四邊形的面積，
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取最小值，且，
所以四邊形的面積的最小值為.
22．已知點(diǎn)在曲線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.
(1)求的方程；
(2)設(shè)的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若與軸垂直，且是與在第一象限的交點(diǎn)，記直線與直線的斜率分別為，當(dāng)時(shí)，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)，把點(diǎn)的坐標(biāo)用點(diǎn)的坐標(biāo)表示，再代入曲線即可得解；
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再結(jié)合可求出，即可得直線的方程，進(jìn)而可求出三角形的面積.
【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，
所以，
因?yàn)椋裕?br>代入可得，
即，即的方程為；
（2）由（1）知，的右焦點(diǎn)為，
令，則，解得，所以，
據(jù)題意設(shè)直線的方程為，
則，
于是由得，
化簡(jiǎn)得，
由，消去整理，得，
，
由根與系數(shù)的關(guān)系得，
代入式得：，解得，
所以直線的方程為，
方法一：，
所以，
點(diǎn)到直線的距離，
所以.
方法二：由題意可知，
代入消去，
得，
所以，
所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程有如下幾種方法：
（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（2）定義法：如果能確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫(xiě)出方程；
（3）相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，整理化簡(jiǎn)可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（4）參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)、之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（5）交軌法：將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程.

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