一、單選題
1．數(shù)列1，，，…的通項公式可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】代入即可結(jié)合選項逐一排除.
【詳解】當時，對于B中，
當時，對于C中，對于D中，
四個選項中只有同時滿足，，.
故選：A
2．魚腹式吊車梁中間截面大，逐步向梁的兩端減小，形狀像魚腹.如圖，魚腹式吊車梁的魚腹部分是拋物線的一部分，其寬為，高為，根據(jù)圖中的坐標系，則該拋物線的焦點坐標為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)待定系數(shù)法，代入坐標即可求解拋物線方程，進而可得焦點.
【詳解】由題意得，設(shè)該拋物線的方程為，
則，得，所以該拋物線的焦點為.
故選：C
3．已知直線與圓交于，兩點，，則（ ）
A．2B．3C．4D．9
【答案】B
【分析】直接由點到直線的距離公式結(jié)合幾何法的弦長公式運算即可得解.
【詳解】由題意得圓心到直線的距離為，
則，得.
故選：B.
4．虢仲盨，青銅器，西周文物，1991年河南省三門峽虢國墓地出土，河南省三門峽虢國博物館藏.該文物的腹部橫截面的形狀是一個長軸長為30厘米，短軸長為20厘米的橢圓，則該橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意先把算出來，再根據(jù)平方關(guān)系、離心率公式即可得解.
【詳解】由題意得該橢圓的半長軸長為厘米，半短軸長為厘米，
所以該橢圓的離心率為.
故選：C.
5．在正項等比數(shù)列中，，則的公比為（ ）
A．或3B．3C．2或D．2
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得，再利用等比數(shù)列的基本量計算求出公比.
【詳解】由題意得，得，
由，得，得或（舍去）.
故選：D.
6．已知，是雙曲線的左、右焦點，過點的直線與的兩條漸近線從左到右依次交于，兩點，且，，則的漸近線的傾斜角為（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【分析】由題意通過幾何關(guān)系得到，進一步由可得，再結(jié)合余弦定理即可得出的關(guān)系，進一步即可得解.
【詳解】
設(shè)為坐標原點.由題意得的漸近線方程為，得，.
由，即是的中位線，得，
則，所以.
由，
得，所以，
所以在中，由余弦定理，得，即，
所以的漸近線的傾斜角為或.
故選：C.
7．已知等差數(shù)列的前項和為，若，且，則滿足的的最大值為（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),結(jié)合求和公式即可求解.
【詳解】由題意得，即，
，即，因為，所以公差，
所以，…，均為正數(shù)，，，…均為負數(shù).
由，
所以的取得最大值，且最大值為12.
故選：B
8．如圖，在三棱錐中，，，，，為的中點，為的中點，為的重心，與相交于點，則的長為（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的線性運算，結(jié)合三點共線可得，即可根據(jù)模長公式求解.
【詳解】設(shè)，由題意得，
則.
設(shè)，
則,故.
由得，
得，
所以
，
故選：D
二、多選題
9．已知從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長減等寸（減等寸：以相等的尺寸減少）.若雨水的日影長為95寸，冬至、小寒、大寒、立春的日影長之和為480寸，則（ ）
A．冬至的日影長為135寸B．芒種的日影長為25寸
C．冬至的日影長為125寸D．芒種的日影長為15寸
【答案】AB
【分析】根據(jù)等差數(shù)列基本量的計算即可求解.
【詳解】由題意得十二個節(jié)氣的日影長成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列的公差為，由題意可得
則得則，所以冬至的日影長為135寸，芒種的日影長為25寸.
故選：AB
10．已知，分別是橢圓的左、右焦點，點在上，且，，則的值可能為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)橢圓的焦點三角形的性質(zhì)，結(jié)合余弦定理即可求解.
【詳解】由，，得.
,
由，得.
在中，由余弦定理得，
得或，所以或.
故選：AC
11．已知為拋物線的焦點，直線與交于，兩點，弦中點的橫坐標為4，，則（ ）
A．的斜率為1B．在軸上的截距為
C．弦中點的縱坐標為D．
【答案】ACD
【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程得韋達定理，即可根據(jù)中點關(guān)系求解，進而由弦長公式求解，利用拋物線焦半徑公式即可求解.
【詳解】易得的斜率存在，設(shè)，，，
由得，則由，得.
由，得，
所以，弦中點的縱坐標為，.
故ACD正確，B錯誤，
故選：ACD
12．已知第一象限內(nèi)的點在雙曲線上，，分別為的左、右焦點，的內(nèi)切圓是半徑為的圓，若直線的斜率小于，則的離心率可能為（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)結(jié)合雙曲線的定義，結(jié)合直線的斜率小于，建立方程，求出雙曲線的離心率.
【詳解】
如圖，設(shè)圓與軸相切于點，與和分別相切于，兩點.
由內(nèi)切圓的性質(zhì)得，，，
則.
因為，所以，則為的右頂點.
因為直線的斜率小于，所以.又平分，
所以.易得，則，，
所以，解得.
在中，，則，解得.
故選：ABC.
三、填空題
13．在空間直角坐標系中，平行四邊形的三個頂點分別為，，，則點的坐標為 .
【答案】
【分析】由題意首先設(shè)，結(jié)合進行運算即可得解.
【詳解】設(shè)，由題意得，，
因為，所以,得，即.
故答案為：.
14．已知,分別是橢圓的左、右頂點，是的上頂點，若，則的面積為 .
【答案】
【分析】設(shè)為坐標原點，由題意可得，，解出值，再利用的面積為，求解即可.
【詳解】
設(shè)為坐標原點.由題意得，，則，得，
又，所以，
所以的面積為.
故答案為：.
15．已知直線，，一條光線從點射出，經(jīng)反射后，射到上，再經(jīng)反射后，回到，則該光線經(jīng)過的路程長度為 .
【答案】
【分析】分別求出關(guān)于對稱的點，關(guān)于對稱的點，求出即可求解.
【詳解】如圖，設(shè)關(guān)于對稱的點為，
由得即.
設(shè)關(guān)于對稱的點為，由
得即.
易得該光線經(jīng)過的路程長度為.
故答案為：.
16．將一組數(shù)據(jù)1，2，3，…，按順序相加，但是少加了一個數(shù)，所得的和為290，則少加的那個數(shù)是 .
【答案】10
【分析】設(shè)少加的那個數(shù)是為，由等差數(shù)列求和公式結(jié)合已知得出，即可由的范圍得出的值，即可代入解出答案.
【詳解】設(shè)少加的那個數(shù)是為，
則，
，
由，
得，解得，
所以，得.
故答案為：10.
四、問答題
17．已知圓的圓心在直線上，且圓經(jīng)過，兩點.
(1)求圓的圓心坐標和半徑；
(2)若圓心為的圓與圓外離，求圓的半徑的取值范圍.
【答案】(1)，2
(2)
【分析】（1）首先求出的中垂線方程，將其與直線的方程聯(lián)立可得圓心坐標，進一步可得半徑.
（2）求出圓心距，再結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系列出不等式即可得解.
【詳解】（1）由題意得，的中點坐標為，
，則的中垂線的斜率為，
所以的中垂線方程為，即.
由得,
所以圓的圓心坐標為，半徑為.
（2）設(shè)圓的半徑為，由題意得，
因為圓與圓外離，所以，得，
又，所以圓的半徑的取值范圍為.
五、證明題
18．已知數(shù)列的前項和為，，.
(1)求的通項公式；
(2)若數(shù)列的前項和為，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）直接由的關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得解.
（2）直接用錯位相減法求和即可，進一步即可得證.
【詳解】（1）由題意得，得，
則是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以的通項公式為.
（2）由題意得，
，
兩式相減，得
，
所以，
因為，所以.
六、解答題
19．如圖，在棱長為4的正方體中，點在棱上，且.
(1)求平面與平面夾角的余弦值；
(2)若點在棱上，且到平面的距離為，求到直線的距離.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空間空間直角坐標系，利用空間向量法求出面面夾角，從而求解；
（2）由點到平面的距離為，求得的坐標，然后利用空間點到直線距離的向量法即可求解.
【詳解】（1）以為原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，.
設(shè)平面的一個法向量為，則
取，則，，得，
因為平面，所以平面的一個法向量為，
則平面與平面的夾角的余弦值為.
（2）設(shè)，，則.
由（1）可知平面的法向量為，
則到平面的距離為，解得或（舍去），
即.
因為，，
所以到直線的距離為.
七、證明題
20．已知數(shù)列，滿足，，.
(1)證明：為等差數(shù)列.
(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知代入化簡得出，即可證明；
（2）根據(jù)（1）得出數(shù)列的通項，當為偶數(shù)時，利用并項求和法得出，當為奇數(shù)時，為偶數(shù)，由得出，即可綜合得出答案.
【詳解】（1）由題意得，，
則，
所以是首項，公差為1的等差數(shù)列.
（2）由（1）得，則，
當為偶數(shù)時，
.
當為奇數(shù)時，為偶數(shù)，
則.
綜上，.
八、解答題
21．已知直線與拋物線交于，兩點（的橫坐標大于的橫坐標）.
(1)求，的坐標；
(2)點，是拋物線上不同于，的兩點，直線，的傾斜角互補，直線與直線相交于點，求.
【答案】(1)，.
(2)
【分析】（1）直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出交點坐標即可.
（2）根據(jù)直線，的傾斜角互補，分直線斜率存在和斜率不存在兩種情況，討論為直線的傾斜角的關(guān)系，求解即可.
【詳解】（1）聯(lián)立方程解得或
由的橫坐標大于的橫坐標，得，.
（2）
設(shè)，.
①當直線，的斜率不存在時，，，
此時為直線的傾斜角的2倍，由，得直線的斜率為，
所以.
②當直線，的斜率存在時，直線的斜率為，
直線的斜率為，
由直線，的傾斜角互補，得，解得，
則直線的斜率為.
又直線的斜率為，此時為直線的傾斜角的2倍或其補角，
則，
綜上，.
22．已知圓，圓，動圓與這兩個圓中的一個內(nèi)切，另一個外切.
(1)求動圓圓心的軌跡方程.
(2)若動圓圓心的軌跡為曲線，，斜率不為0的直線與曲線交于不同于的，兩點，，垂足為點，若以為直徑的圓經(jīng)過點，試問是否存在定點，使為定值？若存在，求出該定值及的坐標；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，定值為6，
【分析】（1）由題意根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系可得，進一步由雙曲線的定義即可得解.
（2）由題意以為直徑的圓經(jīng)過點，所以，即，聯(lián)立直線方程與橢圓方程結(jié)合韋達定理可得直線過定點，而，即點在中點為圓心，的一半為半徑的圓上，由此即可得解.
【詳解】（1）設(shè)動圓的半徑為，由題意圓、的半徑均為2，圓心.
因為動圓與圓，圓一個外切，另一個內(nèi)切，所以或，得，
所以圓心的軌跡是以，為焦點，實軸長為4的雙曲線，
即，得動圓圓心的軌跡方程為.
（2）如圖所示：
存在定點，使得為定值6，理由如下：
直線的斜率不為0，設(shè)直線，，，
則，.
由得，
由，得，
由韋達定理得，
因為以為直徑的圓經(jīng)過點，所以，
則.
因為
，
所以，
得.
因為直線不經(jīng)過，所以，，滿足.
直線經(jīng)過定點.
取，，當，不重合時，，
則由斜邊上的中線等于斜邊的一半可知，
當，重合時，.
故存在定點，使得為定值6.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第一問的關(guān)鍵是充分利用圓與圓之間的位置關(guān)系以及雙曲線的定義即可，第二問關(guān)鍵是數(shù)學結(jié)合，首先求出直線過頂點，進一步根據(jù)平面幾何知識確定點在定圓上運動，從而即可順利得解.

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