一、單選題（共8題，每題5分，共40分）
1．設(shè)集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．等于（ ）
A．B．C．D．
3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是（ ）
A．B．
C．D．
4．關(guān)于的方程的兩根都大于2，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知，則（ ）
A．B．C．D．
6．已知函數(shù)（且）的圖像如圖所示，則以下說法正確的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函數(shù)，若在上有且只有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
8．已知為上的奇函數(shù)，，若對(duì)，，當(dāng)時(shí)，都有，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題（共4題，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分，共20分）
9．已知，則（ ）
A．B．
C．D．
10．常見的《標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表》中有兩列數(shù)據(jù)，分別表示五分記錄數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄數(shù)據(jù)，把小數(shù)記錄數(shù)據(jù)記為，對(duì)應(yīng)的五分記錄數(shù)據(jù)記為，現(xiàn)有兩個(gè)函數(shù)模型：①；②．根據(jù)如圖所示的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表中的數(shù)據(jù),下列結(jié)論中正確的是（ ）
(參考數(shù)據(jù):10-0.2≈0.6,10-0.15≈0.7,10-0.1≈0.8,10-0.05≈0.9)
A．選擇函數(shù)模型①
B．選擇函數(shù)模型②
C．小明去檢查視力，醫(yī)生告訴他視力為，則小明視力的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)為
D．小明去檢查視力，醫(yī)生告訴他視力為，則小明視力的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)為
11．若，且，則下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
12．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足，函數(shù)，若函數(shù)為奇函數(shù)，則的值可以為（ ）
A．B．C．D．
三、填空題（共4題，每題5分，共20分）
13． ．
14．已知，則 ．
15．已知是上的奇函數(shù)，且對(duì)，有，當(dāng)時(shí)，，則 ．
16．已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù).滿足，且，則 ，的取值范圍是 .
四、解答題（共6題，17題10分，其余各題12分，共70分）
17．已知集合，集合
(1)若，求；
(2)若，求的取值范圍.
18．已知．
(1)若的終邊位于第三象限角，求的值；
(2)求的值．
19．已知，角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，且.求
(1)；
(2).
20．已知函數(shù)，．
(1)求的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間；
(2)求在閉區(qū)間上的最大值和最小值．
21．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)．
(1)求實(shí)數(shù)，的值；
(2)若對(duì)任意恒成立，求的取值范圍．
22．對(duì)于函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使得成立，則稱有“漂移點(diǎn)”．
（1）判斷函數(shù)在上是否有“漂移點(diǎn)”，并說明理由；
（2）若函數(shù)在上有“漂移點(diǎn)”，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．
參考答案與解析
1．A
【解析】解不等式確定后，由交集定義計(jì)算．
【解答】，∴，
，，，
∴．
故選：A．
2．D
【分析】利用誘導(dǎo)公式及兩角和的正切公式即可求解.
【解答】.
故選：D.
3．C
【分析】利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義以及導(dǎo)數(shù)分別判斷四個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.
【解答】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故A不符合題意；
對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，
由冪函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減，故B不符合題意；
對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，又，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C符合題意；
對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且，
所以是奇函數(shù)，又，
令，令，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D不符合題意.
故選：C.
4．B
【解析】由題意利用一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，求出的范圍.
【解答】解：∵關(guān)于的方程的兩根都大于2，
令，
可得，
即，
求得，
故選：B.
5．D
【解析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式即可求解.
【解答】
，
故選：D.
6．C
【分析】結(jié)合函數(shù)的圖象可得和，然后逐項(xiàng)分析即可求出結(jié)果.
【解答】由圖象可知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，
令，即，所以函數(shù)的零點(diǎn)為，結(jié)合函數(shù)圖象可知，所以，
因此，故A錯(cuò)誤；
，又因?yàn)?，所以，因此不一定成立，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，即，且，所以，故C正確；
因?yàn)椋?，即，故D錯(cuò)誤，
故選：C.
7．A
【分析】，取得到，故，解得答案.
【解答】.
令，得，
函數(shù)的零點(diǎn)為…，，，，，，…
若在上有且只有3個(gè)零點(diǎn)，需滿足，解得.
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)三角函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.
8．B
【分析】設(shè)，由題意得到為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，由將原不等式轉(zhuǎn)化為和，函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.
【解答】由，得，
因?yàn)?，所以?br>即，設(shè)，
則在上單調(diào)遞減，
而，
則，解得：；
因?yàn)闉镽上的奇函數(shù)，所以，
則為R上的偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，
，
則，解得：；
綜上，原不等式的解集為.
故選：B.
9．ACD
【分析】先通過條件求出，再利用誘導(dǎo)公式逐一判斷選項(xiàng)即可.
【解答】由已知，
得
對(duì)于A：，A正確；
對(duì)于B：，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：，C正確；
對(duì)于D：，D正確.
故選：ACD.
10．BD
【分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算可確定對(duì)應(yīng)函數(shù)模型②，再根據(jù)自變量的值求函數(shù)值，或者函數(shù)值求出自變量的值即可求解.
【解答】將代入①；②，
分別可得，
所以標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表對(duì)應(yīng)函數(shù)模型②，故A錯(cuò)誤，B正確；
令，解得，所以小明視力的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)為，故C錯(cuò)誤；
代入，故D正確，
故選；BD.
11．ABC
【解析】由且，利用基本不等式，對(duì)選項(xiàng)中的不等式逐一驗(yàn)證即可.
【解答】由，故D錯(cuò)誤；
,故A正確；
又前面可知，故B正確；
由，故C正確，
故選ABC.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要基本不等式應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題. 在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號(hào)取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.
12．BD
【分析】首先可得關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，從而得到關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱為奇函數(shù)，依題意只需使為偶函數(shù)即可，從而求出的取值，即可得解；
【解答】解：因?yàn)?，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
要使為奇函數(shù)，因?yàn)殛P(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，為奇函數(shù)，
所以只需使為偶函數(shù)即可，所以，
故符合題意的有B、D；
故選：BD
13．
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得.
【解答】
.
故答案為：
14．
【分析】由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系，并分析三角函數(shù)值的正負(fù)即可求解.
【解答】解：已知①，則，
，
，，則，，
②，
聯(lián)立①②，得，
，
故答案為：.
15．
【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的周期，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)、指對(duì)數(shù)運(yùn)算及奇函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即得.
【解答】由，，得，即函數(shù)的周期為4，
由，得，則，即，
又是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，，
所以
.
故答案為：
16． 1
【分析】作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可知之間的關(guān)系，利用此關(guān)系直接求出，再將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)求范圍即可.
【解答】作出函數(shù)的圖象，如圖，

因?yàn)椋?br>所以由圖可知，，即，，且，
，
在上單調(diào)遞增，
，
即的取值范圍是.
故答案為：1；
17．(1)；
(2)
【分析】（1）先求出集合中元素范圍，再根據(jù)得到是方程的一個(gè)根，代入求解即可；
（2）由得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式求解.
【解答】（1）,,
,
是方程的一個(gè)根，
；此時(shí)，滿足題意.
（2），則，
，解得，則的取值范圍為.
18．(1)
(2)
【分析】（1）先利用兩角差的正切公式計(jì)算的值，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系求得的值，最后求出的值；
（2）利用二倍角的余弦、正弦公式，整理所求式子，并利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系化為用的表達(dá)形式，代入（1）中所求得的的值計(jì)算.
【解答】（1），
∴，∴，∴，
又∵的終邊位于第三象限角，∴，∴，
∴；
（2）
.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意利用三角函數(shù)定義即可求得，再由誘導(dǎo)公式代入計(jì)算即可得出結(jié)果；
（2）利用（1）中的三角函數(shù)值以及角的范圍可求出，即可得.
【解答】（1）由，可得，
根據(jù)三角函數(shù)定義可知，
所以，
即；
（2）由且可知，
又，可得；
所以，
可得.
20．(1)最小正周期,減區(qū)間為，．
(2)最大值為，最小值為
【分析】（1）利用兩角和差的正弦公式及降冪公式，結(jié)合輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（2）根據(jù)已知條件求出的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【解答】（1）函數(shù)
，
的最小正周期；
令，，得，，
所以的減區(qū)間為，．
（2）由（1）知，，
，
，
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值為，
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值為．
21．(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意可得，求解即可；
（2）由函數(shù)單調(diào)性可得在上單調(diào)遞減，再將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，再設(shè)，根據(jù)二次不等式恒成立問題列式即可.
【解答】（1）在上為奇函數(shù)，故，即，解得，故.
又，；解得.
故，.
（2）；
增大時(shí)，增大，減小，減??；
在上單調(diào)遞減；
為奇函數(shù)，由得，；
又在上單調(diào)遞減；
，該不等式對(duì)于任意恒成立；
對(duì)任意恒成立；
設(shè)，則對(duì)于任意恒成立；
設(shè)，△；
應(yīng)滿足：；
解得；
的取值范圍為．
22．（1）函數(shù)在上有“漂移點(diǎn)”，理由見解析；（2）.
【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理以及“漂移點(diǎn)”的定義可得答案；
（2）轉(zhuǎn)化為在上有解，分類討論，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)可求出結(jié)果.
【解答】（1）函數(shù)在上有“漂移點(diǎn)”，理由如下
設(shè)，
因?yàn)?，，所以?br>由零點(diǎn)存在定理可知，在上至少有1個(gè)零點(diǎn)，并設(shè)零點(diǎn)為，
即至少有1個(gè)實(shí)根，
所以函數(shù)在上有“漂移點(diǎn)”．
（2）若函數(shù)在上有“漂移點(diǎn)”，
則存在實(shí)數(shù)，使得成立，
即，即，
因?yàn)?，所以，?br>當(dāng)時(shí)，，不合題意
當(dāng)時(shí)，令，則在上有零點(diǎn)
當(dāng)時(shí)，開口向下，對(duì)稱軸，
在上單調(diào)遞減，，
所以在上恒小于零，不合題意，
當(dāng)時(shí)，開口向上，對(duì)稱軸，
由題意只要，即，
解得．
因?yàn)?，所以?br>綜上所述：正實(shí)數(shù)的取值范圍為．
【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：第（1）問，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理以及“漂移點(diǎn)”的定義求解是解題關(guān)鍵；第（2）問，構(gòu)造函數(shù)，利用二次函數(shù)知識(shí)求解是解題關(guān)鍵.

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