考試時(shí)間：120min 試卷總分150分
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）
1．集合，，則的子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A．2B．5C．6D．8
2．若是第一象限角，則下列各角中第四象限的角是（ ）
A．B．C．D．
3．已知扇形的面積為4，圓心角為2弧度，則此扇形的弧長為（ ）
A．4B．6C．8D．10
4．“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充要條件是（ ）
A．B．C．D．
5．若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則函數(shù)的最小值為（ ）
A．B．C．6D．
6．某種藥物作用在農(nóng)作物上的分解率為v，與時(shí)間t（小時(shí)）滿足函數(shù)關(guān)系式（其中a，b為非零常數(shù)），若經(jīng)過12小時(shí)該藥物的分解率為10%，經(jīng)過24小時(shí)該藥物的分解率為20%，那么這種藥物完全分解，至少需要經(jīng)過（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A．48小時(shí)B．52小時(shí)C．64小時(shí)D．120小時(shí)
7．已知定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則關(guān)于x的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)，，若，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．2B．4C．6D．8
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）
9．為調(diào)研某地空氣質(zhì)量，測(cè)得該地連續(xù)10天PM2.5（PM2.5是衡量空氣質(zhì)量的重要指標(biāo)，單位：）的日均值，依次為36，26，17，23，33，106，42，31，30，33，則（ ）
A．中位數(shù)為31或33B．第60百分位數(shù)與眾數(shù)相同
C．前4天的極差大于后4天的極差D．前4天的方差小于后4天的方差
10．下列說法正確的是（ ）
A．與的終邊相同
B．若為第二象限角，則為第一象限角
C．終邊經(jīng)過點(diǎn)的角的集合是
D．若一扇形的圓心角為2，圓心角所對(duì)應(yīng)的弦長為2，則此扇形的面積為
11．已知命題p：函數(shù)在上單調(diào)遞減，則下列是命題p的一個(gè)必要不充分條件是（ ）
A．B．C．D．
11．已知實(shí)數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上）
13．計(jì)算結(jié)果是_________．
14．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則在R上的解析式為_________．
15．已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為_________．
16．已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域?yàn)開________．
四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算）
17．（10分）已知函數(shù)的定義域?yàn)锳．
（1）求A；
（2）設(shè)集合，若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
18．（12分）已知a，b為正實(shí)數(shù)，函數(shù)
（1）若，求的最小值；
（2）若，求不等式的解集（用a表示）．
19．（12分）從某學(xué)校的800名男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高，被測(cè)學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，…，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人．
（1）求第七組的頻率；
（2）估計(jì)該校的800名男生的身高的平均數(shù)和中位數(shù)；
（3）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，記他們的身高分別為x，y，事件，求．
20．（12分）已知函數(shù)．
（1）若，求的取值范圍；
（2）若，且，求實(shí)數(shù)n的取值范圍．
21．（12分）某醫(yī)療器械公司為了進(jìn)一步增加市場競爭力，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為200萬元，最大產(chǎn)能為100臺(tái)．每生產(chǎn)x臺(tái)，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺(tái)的售價(jià)為200萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完．
（1）寫出年利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量x臺(tái)的函數(shù)解析式（利潤銷售收入成本）；
（2）當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？
22．（12分）已知函數(shù)（且）．
（1）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)在有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)?shù)亩x域?yàn)闀r(shí)，值域?yàn)?，若存在，求出?shí)數(shù)a的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．
豐城九中2023-2024年高一年級(jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷參考答案
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分；共60分）
1-8 DCAD CBDD 9-12 BC ACD CD ABC
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分；共20分）
13．414．15．16．
三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）
17、（1）由，得，函數(shù)的定義域?yàn)?，?
（2）集合，
又，，，即，實(shí)數(shù)a的取值范圍.
18、（1）因?yàn)?，所以，由于a，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)取“=”.
（2）由題，所以，所以
所以
①當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，
②當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，
③當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.
19、解：（1）第六組的頻率為，
∴第七組的頻率為．
（2）由直方圖得，由于，，
設(shè)這所學(xué)校的800名男生的身高中位數(shù)為m，則，
由得，
所以這所學(xué)校的800名男生的身高的中位數(shù)為174.5cm，平均數(shù)為
．
（3）第六組的抽取人數(shù)為4，設(shè)所抽取的人為a，b，c，d，
第八組的抽取人數(shù)為，設(shè)所抽取的人為A，B，
則從中隨機(jī)抽取兩名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15種情況，
因事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)抽取的兩名男生在同一組，所以事件E包含的基本事件為ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7種情況．所以．
20、（1）
當(dāng)，令，所以，
則在上單調(diào)遞減，所以，，故的取值范圍為；
（2）設(shè)，，因?yàn)?，所以，即?br>則的兩根為，，整理得，所以，，所以，則，所以，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
21、（1）由題意可得：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故．
（2）當(dāng)時(shí)，，
得時(shí)萬元；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)萬元.
綜上可知，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為70臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤最大，最大利潤是1760萬元.
22、（1）由，得或.的定義域?yàn)椋?br>令，任取，，，
則，
因?yàn)?，，，所以?br>即函數(shù)在上單調(diào)遞增；又，在上為單調(diào)遞減，且當(dāng)，，，，
函數(shù)在有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即在有且只有一個(gè)解，函數(shù)在的值域?yàn)?，b的取值范圍是.
（2）假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)?shù)亩x域?yàn)闀r(shí)，值域?yàn)椋汕?，可?
又由（1）在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).
則在上為減函數(shù)，得.
即在上有兩個(gè)互異實(shí)根，由得，，
即，有兩個(gè)大于1的相異零點(diǎn).
由，函數(shù)開口向上，且對(duì)稱軸為，
則，解得.故存在實(shí)數(shù)符合題意.

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