一、單選題
1．已知全集，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)槿?，所以根?jù)補(bǔ)集的定義得，故選C.
【點(diǎn)睛】若集合的元素已知，則求集合的交集、并集、補(bǔ)集時(shí)，可根據(jù)交集、并集、補(bǔ)集的定義求解．
2．命題“，”的否定為（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】直接根據(jù)全稱命題否定的定義，即可得答案；
【詳解】命題“，”的否定為：，，
故選：B.
3．已知集合，則的子集有（ ）
A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)
【答案】D
【分析】根據(jù)集合子集的個(gè)數(shù)計(jì)算公式求解.
【詳解】因?yàn)榧瞎灿袀€(gè)元素，所以子集個(gè)數(shù)為個(gè).
故選：D.
4．下列各題中，是的充要條件的是（ ）
A．
B．
C．：四邊形是正方形，：四邊形的對(duì)角線互相垂直且平分
D．：兩個(gè)三角形全等，：兩個(gè)三角形三邊對(duì)應(yīng)相等
【答案】D
【分析】根據(jù)充要條件的概念判斷.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，滿足，所以充分性不成立，
反之，當(dāng)時(shí)，可得，所以必要性成立，
所以是的必要不充分條件，不符合題意；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，可得，即充分性成立，
反之，當(dāng)時(shí)，可得，即必要性不成立，
所以是的充分不必要條件，不符合題意；
對(duì)于C，若四邊形是正方形，可得四邊形的對(duì)角線互相垂直且平分，即充分性成立；
反之，若四邊形的對(duì)角線互相垂直且平分，但四邊形不一定是正方形，即必要性不成立，
所以是的充分不必要條件，不符合題意；
對(duì)于D，若兩個(gè)三角形全等，可得兩個(gè)三角形三邊對(duì)應(yīng)相等，即充分性成立；
反之，若兩個(gè)三角形三邊對(duì)應(yīng)相等，可得兩個(gè)三角形全等，即必要性成立，
所以是的充分必要條件，符合題意．
故選：D．
5．下列命題正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若且，則D．若，則
【答案】A
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合特值法對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷.
【詳解】若，可得，則，故A正確；
若，取，可知沒有意義，故B錯(cuò)誤；
若且，取，則，故C錯(cuò)誤；
若，取，則，故D錯(cuò)誤.
故選：A.
6．下列關(guān)系中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
①；②?；③；④.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】由集合的概念、元素與集合間的關(guān)系、集合與集合間的關(guān)系，逐項(xiàng)判斷即可得解.
【詳解】對(duì)于①，因?yàn)槭侵械脑兀?，故①正確；
對(duì)于②，因?yàn)榭占侨魏畏强占系恼孀蛹?，所?，故②正確；
對(duì)于③，為數(shù)集，為點(diǎn)集，所以，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，集合、均為點(diǎn)集，但所含元素不同，故④錯(cuò)誤.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查了元素與集合、集合與集合間關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題.
7．玉溪某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元，若每批生產(chǎn)件，則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品
A．60件B．80件C．100件D．120件
【答案】B
【解析】確定生產(chǎn)件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和，可得平均每件的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和，利用基本不等式，即可求得最值．
【詳解】解：根據(jù)題意，該生產(chǎn)件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和是
這樣平均每件的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和為 （為正整數(shù)）
由基本不等式，得
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，
時(shí)，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小
故選：
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的構(gòu)建，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題，運(yùn)用基本不等式時(shí)應(yīng)該注意取等號(hào)的條件，才能準(zhǔn)確給出答案，屬于基礎(chǔ)題．
8．給定集合，若對(duì)于任意，有，且，則稱集合為閉集合，以下結(jié)論正確的是（ ）
A．集合不為閉集合；
B．集合為閉集合；
C．集合為閉集合；
D．若集合為閉集合，則為閉集合．
【答案】C
【分析】由閉集合的定義判斷AC；舉例判斷BD.
【詳解】對(duì)于A，，有，且，則集合為閉集合，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)?，但，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，設(shè)，，則，
，則集合為閉集合，故C正確；
對(duì)于D，設(shè)，
則，但，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
二、多選題
9．若，則下列不等式正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A、D，因?yàn)?，所以，則，所以，即，故A錯(cuò)誤，D正確；
對(duì)于B，因?yàn)椋?，即，故B正確；
對(duì)于C，若，則，，所以有，故C錯(cuò)誤.
故選：BD.
10．集合中有且僅有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的值可能為（ ）
A．1B．C．0D．2
【答案】AC
【分析】對(duì)方程進(jìn)行分類討論，結(jié)合一元一次方程、一元二次方程的解法作答．
【詳解】集合有且僅有一個(gè)元素，
即方程有且僅有一個(gè)解，
時(shí)，解為，符合，
時(shí)，方程為一元二次方程，由，得，
綜上，或，可知AC符合．
故選：AC．
11．在下列四個(gè)命題中，正確的是（ ）
A．命題“，使得”的否定是“，都有”
B．當(dāng)時(shí)，的最小值是5
C．若不等式的解集為，則
D．“”是“”的充要條件
【答案】ABC
【分析】利用特稱命題的否定為全稱命題可判斷A，利用基本不等式可判斷B，利用二次不等式的解法可判斷C，利用充分條件必要條件定義可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，命題“，使得”的否定是“，都有”故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；
對(duì)于C，由不等式的解集為，可知，∴，故C正確；
對(duì)于D，由“”可推出“”，由，可得或，推不出“”，故D錯(cuò)誤.
故答案為：ABC.
12．已知集合，，且有，則實(shí)數(shù)的值可能為（ ）
A．2B．C．D．2023
【答案】BCD
【分析】求出集合，根據(jù)，分類討論，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍，從而得出答案.
【詳解】集合，又集合，
因?yàn)椋瑒t，可分為以下幾種情況：
①當(dāng)時(shí)，即方程的解為或，
由韋達(dá)定理可得，解得；
②當(dāng)時(shí)，即方程的解為，
則有，解得或，
當(dāng)時(shí)，原方程為，此時(shí)，不符合題意，舍去，
所以；
③當(dāng)時(shí)，即方程的解為，
則有，解得，
此時(shí)，不符合題意，舍去；
④當(dāng)時(shí)，即方程沒有實(shí)數(shù)解，
則有，解得或，
綜上，若時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是：或或或，
又因?yàn)?，，都符合題意.
故選：BCD.
三、填空題
13．用列舉法表示為 .
【答案】
【分析】根據(jù)集合的元素特征一一列出即可；
【詳解】解：
故答案為：
14．不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據(jù)二次不等式的恒成立問題,先求解不等式左邊的最小值,再求解二次不等式即可.
【詳解】因?yàn)?故恒成立.
即,解得.實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次不等式恒成立的問題,需要求解二次函數(shù)的最值進(jìn)行分析,屬于基礎(chǔ)題.
15．某班有39名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外研究小組，每名同學(xué)至多參加兩個(gè)小組.已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26，15，13，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，同時(shí)參加物理和化學(xué)小組的有4人，則同時(shí)參見數(shù)學(xué)和化學(xué)小組有多少人 .
【答案】
【分析】設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的同學(xué)組成的集合分別為，、，根據(jù)容斥原理可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的同學(xué)組成的集合分別為，、，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的人數(shù)為，因?yàn)槊棵瑢W(xué)至多參加兩個(gè)小組，所以同時(shí)參加三個(gè)小組的同學(xué)的人數(shù)為，如圖所示：
由圖可知：，解得，
所以同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組有人.
故答案為：.
16．若y均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為 .
【答案】/ 1.8
【分析】令，則，由得,根據(jù)，得，再根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.
【詳解】令，則，
由得，即，
所以，
因?yàn)?，所以，?br>所以，
所以，
所以，
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立.
故答案為：.
四、解答題
17．解下列不等式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法求解；
（2）將分式不等式轉(zhuǎn)化為與其等價(jià)的不等式，結(jié)合一元二次不等式的解法求解.
【詳解】（1）由，可得，所以不等式的解集為：.
（2）由，可得，
即，解得或，
故不等式的解集為.
18．已知全集，集合，，
(1)求，；
(2)求，．
【答案】【小題1】， 【小題2】，或．
【分析】根據(jù)交集、并集、補(bǔ)集的定義一次計(jì)算即可.
【詳解】（1）利用數(shù)軸，分別表示出全集及集合，，如圖．
則，.
（2）依題意：
或，或，
所以，或．
19．已知非空集合，．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由交集，補(bǔ)集的概念求解.
（2）轉(zhuǎn)化為集合間關(guān)系后列式求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，
則，.
（2）由題意得是的真子集，而是非空集合，
則，且與不同時(shí)成立，解得，
故的取值范圍是.
20．（1）已知，求的最小值，并求取到最小值時(shí)的值；
（2）設(shè)且，求證：
【答案】（1）當(dāng)時(shí)，有最小值7 ；
（2）證明見解析 ．
【分析】（1）通過配湊，使得原式滿足積為定值，然后由基本不等式可得；
（2）巧用“1”，將不等式左邊乘以，展開后使用基本不等式可證.
【詳解】解：（1）因?yàn)椋?，由基本不等式，?br>，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)，等號(hào)成立．
所以當(dāng)時(shí)，有最小值7．
（2）因?yàn)?，由基本不等式，?br>，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．又
由解得，所以當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以成立．
21．為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度單位：毫克/立方米隨著時(shí)間單位：天變化的關(guān)系如下：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中凈化劑的濃度不低于毫克/立方米時(shí)，它才能起到凈化空氣的作用．
(1)若一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，則凈化時(shí)間可達(dá)幾天？
(2)若第一次噴灑2個(gè)單位的凈化劑，6天后再噴灑個(gè)單位的凈化劑，要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效凈化，求a的最小值．
【答案】(1)8天
(2)
【分析】（1）利用已知可得：一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，由濃度：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，分類討論解出的值即可；（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)天，可得濃，化簡(jiǎn)計(jì)算，再變形利用基本不等式即可得出．
【詳解】（1）因?yàn)橐淮螄姙?個(gè)單位的凈化劑，
所以濃度可表示為：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，由，解得，
所以得，
當(dāng)時(shí)，由，解得，
所以得，
綜合得，故若一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，
則有效凈化時(shí)間可達(dá)8天.
（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)天，
濃度
，
因?yàn)椋?br>所以，故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為，
令，解得，
所以a的最小值為
22．已知關(guān)于的不等式.
(1)若的解集為，求實(shí)數(shù)的值；
(2)求關(guān)于的不等式的解集.
【答案】(1)，；
(2)答案見解析．
【分析】（1）由不等式的解集得相應(yīng)方程的根，由韋達(dá)定理列方程組求解；
（2）先根據(jù)分類討論，在時(shí)，再根據(jù)兩根的大小分類討論得結(jié)論．
【詳解】（1）因?yàn)榈慕饧癁?，所以方程的兩個(gè)根為，由根與系數(shù)關(guān)系得:，解得；
（2），
當(dāng)a=0，不等式為，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式化為，不等式的解集為
當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)根分別為：.
當(dāng)時(shí)，兩根相等，故不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為或；
當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為或，.
綜上：
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為
當(dāng)a=0，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或.
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；

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