一、單選題
1．集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求得解.
【詳解】解：圖中陰影部分所表示的集合為.
故選：B
2．命題“都有”的否定是（ ）
A．不存在
B．存在
C．存在
D．對任意的
【答案】B
【分析】由全稱命題的否定：將任意改為存在并否定原結(jié)論，即可寫出原命題的否定.
【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題，
∴原命題的否定為：存在.
故選：B
3．下列圖象中，以為定義域，為值域的函數(shù)是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，依次分析選項中的圖象，結(jié)合定義域值域的范圍即可得答案．
【詳解】對于，其對應(yīng)函數(shù)的值域不是，錯誤；
對于，圖象中存在一部分與軸垂直，即此時對應(yīng)的值不唯一，該圖象不是函數(shù)的圖象，錯誤；
對于，其對應(yīng)函數(shù)的定義域為，值域是，正確；
對于，圖象不滿足一個對應(yīng)唯一的，該圖象不是函數(shù)的圖象，錯誤；
故選：．
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．
【詳解】時成立，時如，則，
因此只能是充分不必要條件，
故選：A．
5．已知函數(shù)，則的值等于（ ）
A．11B．2C．5D．
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，令求出x即可計算作答.
【詳解】函數(shù)，令，得，
所以.
故選：C
6．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出定義域，在利用二次函數(shù)單調(diào)性判斷出結(jié)果.
【詳解】函數(shù)的定義域需要滿足，解得定義域為，
因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
故選：D.
7．已知實數(shù)，函數(shù)，若，則的值為（ ）
A．1B．C．-1D．2
【答案】B
【分析】對進(jìn)行分類討論，分別確定與的范圍，代入相應(yīng)的函數(shù)解析式，再利用即可求解.
【詳解】當(dāng)時，有，，
又因為，
所以，解得：，
又，所以舍去；
當(dāng)時，有，，
又因為，
所以，解得：.
故選：B.
8．已知函數(shù)的定義域與值域均為，則實數(shù)的取值為（ ）
A．-4B．-2C．1D．1
【答案】A
【分析】依題意知的值域為，則方程的兩根為或，可得，，從而確定當(dāng)時，取得最大值為，進(jìn)而解得.
【詳解】依題意，的值域為，且的解集為，
故函數(shù)的開口向下，，
則方程的兩根為或，
則，，即，
則，
當(dāng)時，取得最大值為，
即，解得：.
故選：A.
二、多選題
9．若則以下結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】對于AB，可利用不等式的性質(zhì)直接判斷；對于CD，可賦值判斷.
【詳解】對于A，因為，所以，又因為，所以，故A正確；
對于B，因為，則有，所以，故B正確；
對于C，因為，若，，，則，，此時，故C錯誤；
對于D，因為，若，，，則，，此時，故D錯誤.
故選：AB.
10．設(shè)正實數(shù)、滿足，則（ ）
A．有最大值B．有最小值
C．有最小值D．有最大值
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式求出各選項中代數(shù)式的最值，由此可判斷各選項的正誤.
【詳解】設(shè)正實數(shù)、滿足.
對于A選項，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，A選項正確；
對于B選項，由基本不等式可得
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，B選項錯誤；
對于C選項，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，C選項正確；
對于D選項，，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，D選項正確.
故選：ACD.
【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.
11．若定義域為R的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，且對任意，，已知恒成立，則下列正確的是（ ）
A．的圖象關(guān)于點對稱
B．在R上是增函數(shù)
C．
D．關(guān)于x的不等式的解集為
【答案】BD
【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的對稱性及單調(diào)性，再逐項判斷即得答案．
【詳解】由為奇函數(shù)，得，即，
因此的圖象關(guān)于點對稱，
由任意，，恒成立，得函數(shù)在上單調(diào)遞增，
于是在R上單調(diào)遞增，B正確；
顯然，即的圖象關(guān)于點不對稱，A錯誤；
對C，由，得，C錯誤；
對D，由于在R上單調(diào)遞增，，則，
即不等式的解集為，D正確．
故選：BD
12．設(shè)函數(shù)的定義域為，對于任意給定的正數(shù)，定義函數(shù)，則稱為的“界函數(shù)”.若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．的值域為
C．在上單調(diào)遞減D．函數(shù)為偶函數(shù)
【答案】BCD
【分析】令求出不等式的解，即可求出的解析式，即可判斷A、B、C，再求出的解析式，畫出圖象，即可判斷D.
【詳解】根據(jù)題意，由，解得，
，
所以，故A錯誤；
當(dāng)時，
且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，
所以，即的值域為，故B、C正確；
因為，
則的圖象如下所示：
由圖可知的圖象關(guān)于軸對稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故D正確；
故選：BCD
三、填空題
13．已知集合，且，則m的值為 ．
【答案】或/3或1
【分析】根據(jù)題意得到，，解方程再驗證得到答案.
【詳解】，，
當(dāng)時，，此時，滿足條件；
當(dāng)時，，
時，不滿足互異性，排除；時，，滿足條件.
綜上所述：或.
故答案為：或.
14．函數(shù)的定義域為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)且分母不為零得到不等式組，解得即可.
【詳解】對于函數(shù)，則等價于，解得，
所以函數(shù)的定義域為.
故答案為：
15．函數(shù)是上的單調(diào)減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的定義，解不等式求實數(shù)的取值范圍.
【詳解】函數(shù)是上的單調(diào)減函數(shù)，
則，解得，
所以實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：．
16．設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意的，，，滿足：，若，則不等式的解集為 .
【答案】
【分析】令，可得函數(shù)利是定義在上的偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，原不等式等價于，分析可得答案.
【詳解】令，
由是定義在上的奇函數(shù)，
可得是定義在上的偶函數(shù)，
由對任意的，，，滿足：，
可得在上單調(diào)遞增，
由，可得，
所以在上單調(diào)遞減，且，
不等式，即為，即，
可得或，即或
解得或.
故答案為：.
四、解答題
17．已知集合，
(1)時，求；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入求集合，根據(jù)交集的定義即可得解；
（2），即，分和兩種情況討論，從而可得出答案.
【詳解】（1）解：若，則，
又，
所以；
（2）解：因為，所以，
當(dāng)時，
則，解得，
此時，符合題意，
當(dāng)時，
則，解得，
綜上所述，
所以若，m的取值范圍為.
18．已知冪函數(shù)，且函數(shù)在上單增
(1)函數(shù)的解析式；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）冪函數(shù)，有，再由函數(shù)在上單調(diào)遞增，解出的值，得函數(shù)的解析式；
（2）由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式.
【詳解】（1）為冪函數(shù)，則有，解得或，
時，，在上單調(diào)遞增，符合題意；
時，，在上單調(diào)遞減，不合題意；
所以.
（2），函數(shù)定義域為R，，
函數(shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
若，有，解得，
所以實數(shù)的取值范圍為.
19．已知函數(shù)，且，
(1)求解析式；
(2)判斷并證明函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性.
【答案】(1)
(2)單調(diào)遞增，證明見解析.
【分析】（1）依題意可得，，解方程即可得函數(shù)解析式；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義法判斷即可.
【詳解】（1）因為，，
所以，，解得：，，
所以函數(shù)解析式為：.
（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明如下：
由（1）知，
取任意、，令，
則
因為，所以，
又，則，，
所以，則，
所以，即，
所以，
即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
20．一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金，其中左臂長和右臂長之比為 ，一位顧客到店里購買克黃金，售貨員先將砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將砝碼放在天平右盤中，然后取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡，最后將兩次稱得的黃金交給顧客
(1)試分析顧客購得的黃金是小于，等于，還是大于？為什么？
(2)如果售貨員又將的砝碼放在天平左盤中，然后取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡，請問要使得三次黃金質(zhì)量總和最小，商家應(yīng)該將左臂長和右臂長之比，設(shè)置為多少？請說明理由.
【答案】(1)顧客購得的黃金是大于，理由見詳解
(2)三次黃金質(zhì)量總和要最小，則左臂長和右臂長之比,理由見詳解
【分析】（1）設(shè)天平的左臂長為，右臂長，則，售貨員現(xiàn)的砝碼放在左盤，
將黃金g放在右盤使之平衡；然后又將的砝碼放入右盤，將另一黃金g放在左盤使之平衡，
則顧客實際所得黃金為（g）利用杠桿原理和基本不等式的性質(zhì)即可得出結(jié)論.
（2）再一次將的砝碼放在天平左盤，再取黃金g放在右盤使之平衡，加上前兩次利用基本不等式進(jìn)行分析即可.
【詳解】（1）由于天平兩臂不等長，設(shè)天平左臂長為，右臂長為，且，
先稱得黃金為g，后稱得黃金為g，則
，則，所以
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，由，所以
顧客購得的黃金是大于
（2）由（1）再一次將的砝碼放在天平左盤，再取黃金g放在右盤使之平衡，則此時有
，此時有，所以三次黃金質(zhì)量總和為：
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即
所以三次黃金質(zhì)量總和要最小，則左臂長和右臂長之比.
21．已知命題：“，都有不等式成立”是真命題.
(1)求實數(shù)的取值集合；
(2)設(shè)不等式的解集為，若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析可知在時恒成立，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得實數(shù)的取值集合；
（2）分析可知，分、兩種情況討論，求出集合，結(jié)合可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，綜合可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）解：由，都有不等式成立，
得在時恒成立，所以，
因為二次函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，，
所以，當(dāng)時，，，所以，.
（2）解：由可得.
①當(dāng)時，可得或，
因為是的充分條件，則，則，此時，；
②當(dāng)時，可得或，
因為是的充分條件，則，則，解得，此時.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
22．已知函數(shù)是定義域在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的解析式；
(2)若函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù).且對任意的，恒成立，求實數(shù)的范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義和時的解析式，即可得出時的解析式，進(jìn)而得出答案；
（2）由的單調(diào)性和奇偶性解不等式，通過參變分離、換元法、構(gòu)造函數(shù)求單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，可求實數(shù)的范圍．
【詳解】（1）函數(shù)是定義域在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時，．
當(dāng)時，有，．
所以．
（2）因奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，
由在上單調(diào)遞減，故函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，
由，
可得，
故，即，
又注意到，結(jié)合，
知，得：．
令，其中，
任取，
故，
因，則，，，
故，即，
所以在上單調(diào)遞增，得．
又令，則轉(zhuǎn)化為，其中．
要使式子成立，需小于的最小值．
又注意到函數(shù)與函數(shù)均在上單調(diào)遞增，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增．
故，得，則的范圍為．

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