說明：本試卷滿分150分，分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，試題答案請(qǐng)用2B鉛筆或0.5mm簽字筆填涂到答題卡規(guī)定位置上，書寫在試題上的答案無效.考試時(shí)間120分鐘.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.若，則（ ）
A. B. C. D.
2.化簡的值是（ ）
A. B. C. D.
3.命題“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
4.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（ ）
A. B. C. D.
5.已知，則（ ）
A. B.
C. D.
6.已知，且，則的值為（ ）
A. B. C. D.
7.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
8.《周髀算經(jīng)》中給出的弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示，直角三角形中最小的一個(gè)角為，且小正方形與大正方形的面積之比為，則（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9.如果冪函數(shù)的圖象不過原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值為（ ）
A.0 B.2 C.1 D.無解
10.若，則下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函數(shù)則以下判斷正確的是（ ）
A.若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
B.函數(shù)在上單調(diào)遞增
C.直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)
D.函數(shù)的圖象與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
12.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（ ）
A.函數(shù)在上為減函數(shù)
B.函數(shù)為偶函數(shù)
C.由可得是的整數(shù)倍
D.函數(shù)在區(qū)間上有19個(gè)零點(diǎn)
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.當(dāng)且時(shí)，函數(shù)的圖象一定經(jīng)過定點(diǎn)__________.
14.__________.
15.已知扇形的半徑為2，面積為，則扇形的圓心角的弧度數(shù)為__________.
16.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是__________.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17.（10分）（1）計(jì)算：；
（2）已知，求的值.
18.（12分）已知，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
19.已知關(guān)于的不等式的解集為.
（1）求集合；
（2）若，求函數(shù)的最值
20.（12分）已知函數(shù).
（1），求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)的解集.
21.（12分）某創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)擬生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，產(chǎn)品的利潤與投資額成正比（如圖1），產(chǎn)品的利潤與投資額的算術(shù)平方根成正比（如圖2），（注：利潤與投資額的單位均為萬元）
（1）分別將兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資額的函數(shù)；
（2）該團(tuán)隊(duì)已籌集到10萬元資金，并打算全部投入兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：當(dāng)產(chǎn)品的投資額為多少萬元時(shí)，生產(chǎn)兩種產(chǎn)品能獲得最大利潤，最大利潤為多少？
22.（12分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)且
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性；并利用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)，當(dāng)，使得成立，試求實(shí)數(shù)的所有可能取值.
2022-2023學(xué)年第一學(xué)期
濟(jì)南西城實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022級(jí)數(shù)學(xué)科期末考試
說明：本試卷滿分150分，分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，試題答案請(qǐng)用2B鉛筆或0.5mm簽字筆填涂到答題卡規(guī)定位置上，書寫在試題上的答案無效.考試時(shí)間120分鐘.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.【詳解】由，得，所以，又
所以
故選.
2.【詳解】
故選：D
3.【詳解】因?yàn)槿Q量詞命題的否定是存在量詞命題，
所以命題“”的否定為：“”.
故選：B.
4.【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
則，
即函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.
故選：B.
5.【詳解】因?yàn)椋?br>所以
所以.
故選：D
6.【詳解】，
.
故選：A.
7.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，
所以，解得，故的取值范圍為.
故選：A.
8.【詳解】設(shè)大正方形的邊長為，則小正方形的邊長為，
故，故，即
，解得或.
因?yàn)?，則，故.
故選：C
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9.【詳解】由已知可得，解得或2.
故選：BC.
10.【詳解】ABC [解析]對(duì)于，根據(jù)基本不等式可知時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故恒成立；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B恒成立；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C恒成立；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D不恒成立.故選.
11.【分析】作出的圖像如圖所示，B可直接由圖像或二次函數(shù)單調(diào)性判斷；零點(diǎn)及交點(diǎn)問題均可以通過與交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷；通過圖像或者聯(lián)立方程求解即可判斷.
【詳解】當(dāng)，
故的圖像如圖所示，
對(duì)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，相當(dāng)于與有3個(gè)交點(diǎn)，
故的取值范圍是，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，AC對(duì)；
對(duì)B，函數(shù)在上先增后減，B錯(cuò)；
對(duì)，如圖所示，聯(lián)立可得解得或，由圖右側(cè)一定有一個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)的圖象與直線不止一個(gè)公共點(diǎn)，錯(cuò).
故選：AC
12.ABD
【分析】由函數(shù)的對(duì)稱性求出的值，從而可得的解析式.對(duì)于，由三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于，化簡即可判斷；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，即可得出判斷；對(duì)于，令，則，由題意解得，由此即可判斷.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，可得，
又，所以，
所以.
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)性質(zhì)知是減函數(shù)，故正確；
對(duì)于是偶函數(shù)，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，但不是的整數(shù)倍，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于，令，則，即，
由，解得，
因?yàn)椋?，因此在區(qū)間上有20個(gè)零點(diǎn)，故D正確，
故選：ABD.
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.【詳解】令，可得當(dāng)時(shí)，，所以圖象一定經(jīng)過定點(diǎn).
故答案為：.
14.【詳解】
15.【詳解】設(shè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為
，解得
故答案為
16.[解析]令為增函數(shù)，的圖像的對(duì)稱軸為直線.若函數(shù)
在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在上恒成立，所以
且，解得，所以的取值范圍是.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17.【解析】（1）原式
（2）因?yàn)椋遥?br>所以分子分母同除以有：
，
即，
解得.
18.【解析】解：（1），則，
又.
，
.
（2）），則，
又，
.
19.【詳解】（1）由，得，解的，
因此，；
（2），
，則，二次函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
因此，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為0，最小值為.
20.【解析】（1）.
令，得，
令，得，
故函數(shù)的遞調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.
單增區(qū)間是，單減區(qū)間是，
（2）不等式的解集是
21.【解析】（1）因?yàn)楫a(chǎn)品的利潤與投資額成正比，故設(shè)，
將代入，解得：，
故，
因?yàn)楫a(chǎn)品的利潤與投資額的算術(shù)平方根成正比，故設(shè)，
將代入，解得：，解得：，
故；
（2）設(shè)產(chǎn)品的投資額為萬元，則產(chǎn)品的投資額為萬元，創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)獲得的利潤為萬元，
則.
令，可得，
即.
當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.
答：當(dāng)產(chǎn)品的投資額為萬元時(shí)，生產(chǎn)兩種產(chǎn)品能獲得最大利潤.獲得的最大利潤為萬元.
22.（1）由在上的奇函數(shù)，
所以，則，則
由，得，所以.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；
（2）函數(shù)在上增函數(shù)，證明如下：
設(shè)，且，
則，
又，所以，因?yàn)椋裕?br>所以，則，
故函數(shù)在上增函數(shù)；
（3），使得成立，
即，使得成立，
即，
∵，即，
使得成立，
，使得，
即，且，
即且，
當(dāng)時(shí)，，
即且，解得：.

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