2022-2023學(xué)年河南省伊川實驗高中高一聯(lián)盟下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考生注意：
1. 本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.
2. 答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.
3. 考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.
4. 本卷命題范圍：人教版必修第二冊第六章~第十章
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 若復(fù)數(shù)z滿足z（1＋i）＝2（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于（）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算，求得，再求其對應(yīng)點(diǎn)即可判斷.
【詳解】∵，∴，
∴在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．
故選：D．
2. 在某中學(xué)高一年級的300名學(xué)生中，男生有120名，女生有180名.學(xué)校想了解學(xué)生對選修課程的看法，以便開設(shè)有關(guān)課程，現(xiàn)準(zhǔn)備從高一學(xué)生中按性別用分層隨機(jī)抽樣的方法選取60人，則應(yīng)抽取的女生人數(shù)為（）
A. 24B. 36C. 40D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)分層抽樣的定義，計算男女比例為，再計算出應(yīng)抽取的女生人數(shù)即可.
【詳解】由題意得，男、女生的比例為,故用分層隨機(jī)抽樣的方法選取60人,
則應(yīng)抽取的女生人數(shù)為.
故選：B.
3. （理科）在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱BC和棱中點(diǎn)，則異面直線AC和EF所成的角為（）
A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】E，F(xiàn)分別為棱BC和棱的中點(diǎn)，則，為異面直線AC和EF所成的角或其補(bǔ)角，在三角形中求解即可．
【詳解】如圖，連接，因為E，F(xiàn)分別為棱BC和棱的中點(diǎn)，∴，又正方體中，∴，∴為異面直線AC和EF所成的角或其補(bǔ)角，
而是正三角形，即，
所以異面直線AC和EF所成的角是．
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，解題關(guān)鍵是作出異面直線所成的角．
4. “雙減”政策實施后，學(xué)生的課外閱讀增多，某班50名學(xué)生到圖書館借書數(shù)量統(tǒng)計如下表.
則這50名學(xué)生的借書數(shù)量的第25百分位數(shù)是（）
A. 5B. 5.5C. 6D. 6.5
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計算即可.
【詳解】由,故第25百分位數(shù)在借書數(shù)量從小到大排序后的第13人,
又，故第25百分位數(shù)是6.
故選：C.
5. 在中，，，若平面，，則點(diǎn)到的距離是（）
A. B. 5C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取的中點(diǎn)，連接、，即可得到，再由線面垂直，得到，從而得到面，即可得到，再由勾股定理求出即可；
【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接、，
因為，所以，又平面，平面，所以，，面，所以面，面，所以，在中，，，所以，在中，，，所以
故選：B
6. 設(shè)l，m是不同的直線，，是不同的平面，則下列命題正確的是（）
A. 若，，，則B. 若，，，則
C. 若，，，則D. 若，，，則
【答案】B
【解析】
【分析】對于A，C與D，可通過舉反例的方式說明其錯誤性，B選項可以直接證明其正確性.
【詳解】對于A，若，，，此時與可能相交，如下圖所示：

對于C與D，若，，，則與均可能發(fā)生，如下圖所示：

對于B，若，，則，
又因為，故.
故選：B.
7. 紫金山位于江蘇省南京市玄武區(qū)境內(nèi)，是江南四大名山之一，三峰相連形如巨龍，山、水、城渾然一體，古有“鐘山龍蟠，石城虎踞”之稱.建筑師在高度接近200米的峰頂測得一建筑物頂部的仰角為，底部的俯角為，那么該建筑的高度接近（）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】作出示意圖,過點(diǎn)作，利用三角函數(shù)即可求出，則得到長.
【詳解】作出示意圖,過點(diǎn)作,其中,

可得，在直角中,因為,則,
在直角中,因為,可得,
則米,
所以建筑的高度接近米.
故選：A.
8. 已知是單位向量，且的夾角為，若，則的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】，結(jié)合題意得，結(jié)合即得解.
【詳解】，
因為，所以，
又，所以．
故選：B．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 在中，角，，所對的邊分別為，，，且，.若有唯一解，則的值可以是（）
A. 1B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理三角形有唯一解，得到或，即可求出參數(shù)的取值范圍，從而得解；
【詳解】解：因為，，因為有唯一解，所以或，即，
故選：BD
10. 某學(xué)校為了了解本校學(xué)生的上學(xué)方式，在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽查部分學(xué)生，了解到上學(xué)方式主要有：結(jié)伴步行，自行乘車，家人接送，其他方式.并將收集的數(shù)據(jù)整理繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.根據(jù)圖中信息，下列說法正確的是（）

A. 扇形統(tǒng)計圖中D的占比最小B. 條形統(tǒng)計圖中A和C一樣高
C. 無法計算扇形統(tǒng)計圖中A的占比D. 估計該校一半的學(xué)生選擇結(jié)伴步行或家人接送
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)方式上學(xué)的學(xué)生占比即可求出總?cè)藬?shù)，則得到方式出行的人數(shù)，選項一一分析即可.
【詳解】由條形統(tǒng)計圖知，自行乘車上學(xué)的有42人,家人接送上學(xué)的有30人,
其他方式上學(xué)的有18人,采用三種方式上學(xué)的共90人,
由扇形統(tǒng)計圖知, 其他方式上學(xué)的學(xué)生占,
所以人，則結(jié)伴步行上學(xué)的有人，
故條形圖中一樣高，故B正確，
扇形圖中類占比與一樣都，和共占,故C錯誤，D正確.
因為其他方式上學(xué)的人數(shù)最少，故扇形統(tǒng)計圖中D的的占比最小，故A正確.
故選：ABD
11. 從裝有2個紅球和2個黑球的口袋中任取2個小球，則下列結(jié)論正確的是（）
A. “至少有一個紅球”和“至少有一個黑球”是互斥事件
B. “恰有一個黑球”和“都是黑球”是互斥事件
C. “恰有一個紅球”和“都是紅球”是對立事件
D. “至少一個黑球”和“都是紅球”是對立事件
【答案】BD
【解析】
【分析】利用對立事件、互斥事件的定義直接求解．
【詳解】解：從裝有2個紅球和2個黑球的口袋中任取2個小球，可能結(jié)果有：二個紅球，一個紅球一個黑球，二個黑球；
對于，“至少一個紅球”和“至少有一個黑球”能同時發(fā)生，不是互斥事件，故錯誤；
對于，“恰有一個黑球”和“都是黑球”不能同時發(fā)生，是互斥事件，故正確；
對于，“恰有一個紅球”和“都是紅球”不能同時發(fā)生，但是可以同時都不發(fā)生，是互斥事件，但不是對立事件，故錯誤；
對于，“至少一個黑球”和“都是紅球”不能同時發(fā)生，但是一定有一個要發(fā)生，是對立事件，故正確．
故選：．
12. 如圖所示，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，，，為線段上的點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則（）

A. B. 平面
C. 二面角的大小為定值D. 的最小值為
【答案】CD
【解析】
【分析】對于A，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可得出；對于B，利用線面平行的性質(zhì)定理即可得出；對于C，由二面角的定義即可判斷；對于D，將側(cè)面和展開在一個平面內(nèi)，結(jié)合余弦定理即可得出.
【詳解】對于A，平面，平面，，假設(shè)，
又平面PAD，平面，
又平面，，而四邊形為正方形，與矛盾，
所以假設(shè)錯誤，故不正確，故A不正確；
對于B，設(shè)，連接，假設(shè)平面，

又平面平面，則，
在中，因為為的中點(diǎn)，則必為的中點(diǎn)，這與為線段上的動點(diǎn)矛盾，
所以假設(shè)錯誤，故B不正確；
對于C，為線段上的動點(diǎn)，二面角的大小即為二面角的大小，
因為二面角的大小為定值，所以二面角的大小為定值，
故C正確；
對于D，平面，平面，，為等腰直角三角形，
平面，平面，，即，
又四邊形為正方形，，
平面PAD，平面，平面，，為直角三角形，
如圖，將側(cè)面和展開在一個平面內(nèi)，，
連接，當(dāng)處在與的交點(diǎn)處時，取得最小值，
此時，在中，由余弦定理，得，
所以的最小值為，故D正確.

故選：CD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 在中，，若，則______.
【答案】##1.5
【解析】
【分析】根據(jù)共線向量關(guān)系即可得到，則得到值.
【詳解】因為在中,，則，
所以，即.
故答案為：.
14. 某廠有A，B兩條生產(chǎn)線制造同一型號可充電電池.現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣，從某天兩條生產(chǎn)線上的成品中隨機(jī)抽取20件成品，測試產(chǎn)品可充電次數(shù)的均值及方差，結(jié)果如下表：
則20個產(chǎn)品組成的總樣本的方差為______.
【答案】25
【解析】
【分析】首先計算出樣本平均數(shù)，再利用方差公式即可.
【詳解】依題意得,總樣本平均數(shù)
，
故答案為：25.
15. 在某次國際圍棋比賽中，中國派出包含甲、乙在內(nèi)的5位棋手參加比賽，他們分成兩個小組，其中一個小組有3位，另外一個小組有2位，則甲和乙分在不同小組的概率為______.
【答案】##
【解析】
【分析】寫出所有的樣本空間以及滿足題意得情況數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計算公式即可得到答案.
【詳解】這5名棋手分別記為:甲,乙,,,,
則樣本空間(甲乙，)，(甲乙，)，(甲乙，)，(甲，乙),
(甲，乙),(甲，乙),(乙，甲),(乙，甲),(乙，甲),(，甲乙)
共含有10個樣本點(diǎn)，
設(shè)事件表示“甲和乙分在不同小組”,則,
所以甲和乙分在不同小組的概率為.
故答案為：.
16. 已知等腰直角三角形ABC的三個頂點(diǎn)都在球O的球面上，，若球O上的點(diǎn)到平面ABC的最大距離為4，則球O的體積為______.
【答案】
【解析】
【分析】過的中點(diǎn)作平面的垂線，設(shè)，球的半徑為，根據(jù)題意得，根據(jù)列出方程即可解出半徑，再根據(jù)球的體積即可求出答案.
【詳解】因為是等腰直角三角形且,
所以且.
如圖，過的中點(diǎn)作平面的垂線，則球心在直線上.
設(shè)，球的半徑為，不妨設(shè)點(diǎn)是球上的一點(diǎn),
則球上的點(diǎn)到平面的最大距離為.所以.
由勾股定理得,
即，得+8，解得.
所以球的體積為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵作出球心位置，即：過的中點(diǎn)作平面的垂線，分析找到球心位于直線上，設(shè)，球的半徑為，則球O上的點(diǎn)到平面ABC的最大距離為，再利用勾股定理得到方程即可解出.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知向量，．
（1）求向量；
（2）若向量與互相垂直，求k的值．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及向量的模的坐標(biāo)表示，利用兩向量垂直的條件及數(shù)量積的運(yùn)算即可求解.
【小問1詳解】
因為，，
所以.
【小問2詳解】
因，，
所以，
又因為向量與互相垂直，且，
所以，解得，
所以的值為．
18. 已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且．
（1）求A；
（2）若，且的面積為，求b，c．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用正弦定理結(jié)合兩角和差公式計算求解即可；
（2）應(yīng)用余弦定理及三角形面積公式，列方程求邊即得.
【小問1詳解】
在中，由正弦定理及得
，
又，代入上式，
得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【小問2詳解】
由（1）知，又，
∴由余弦定理得，即，①
又∵面積為，
∴有，即，
∴，②
解由①②組成的方程組得，．
19. 學(xué)校對甲、乙兩人的學(xué)習(xí)態(tài)度、考試成績及活動參與三個方面做了一個初步的評估，成績（單位：分）如下表所示.
（1）如果以學(xué)習(xí)態(tài)度、考試成績及活動參與三個方面的平均分來計算他們的成績，并以此作為評優(yōu)的依據(jù)，你認(rèn)為誰會被評為優(yōu)秀？
（2）如果以20%，60%，20%依次作為三項成績的比例來計算他們的成績，結(jié)果又會如何？
【答案】（1）甲被評為優(yōu)秀.
（2）乙被評為優(yōu)秀.
【解析】
【分析】（1）直接計算甲乙各自的平均分，再比較大小即可；
（2）按比例計算成績，再比較大小即可.
【小問1詳解】
甲的平均分:(分).
乙的平均分:(分).
甲的平均分較高,甲被評為優(yōu)秀.
【小問2詳解】
甲的平均分:(分).
乙的平均分:(分).
乙的平均分較高,乙被評為優(yōu)秀.
20. 如圖，三角形PCD所在的平面與等腰梯形ABCD所在的平面垂直，AB＝AD＝CD，AB∥CD，CP⊥CD，M為PD的中點(diǎn)．
（1）求證：AM∥平面PBC；
（2）求證：BD⊥平面PBC．
【答案】（1）見解析（2）見解析
【解析】
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連，，可證得四邊形為平行四邊形，于是，然后根據(jù)線面平行的判定定理可得結(jié)論成立．（2）在等腰中梯形中，取的中點(diǎn)，連，，證得四邊形為菱形，進(jìn)而得．同理四邊形為菱形，可得．再由平面平面得到平面，于是得，最后根據(jù)線面垂直的判定可得平面．
【詳解】證明：（1）如圖，取的中點(diǎn)，連，，
∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
∴，．
又，，
∴，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴．
又平面，平面，
∴平面
（2）如圖，在等腰中梯形中，取的中點(diǎn)，連，．
∵，，
∴，，
∴四邊形為平行四邊形．
又，
∴四邊形為菱形，
∴．
同理，四邊形為菱形，
∴．
∵，
∴．
∵平面平面，平面平面，，平面，
∴平面，
又平面，
∴．
∵，，
∴平面．
【點(diǎn)睛】本題考查線面關(guān)系的證明，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所證的結(jié)論并結(jié)合三種平行（垂直）間的關(guān)系進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，以得到證題所需的條件，考查轉(zhuǎn)化能力的運(yùn)用和對基本判定方法、性質(zhì)的掌握程度，屬于基礎(chǔ)題．
21. 《青年大學(xué)習(xí)》是共青團(tuán)中央組織的，以“學(xué)習(xí)新思想，爭做新青年”為主題的黨史團(tuán)課學(xué)習(xí)行動，2023年已開展到第7期.某市團(tuán)市委為了解全市青年每周利用“青年大學(xué)習(xí)”了解國家動態(tài)的情況，從全市隨機(jī)抽取1000名青年進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計他們每周利用“青年大學(xué)習(xí)”進(jìn)行學(xué)習(xí)的時長（單位：分鐘），根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖如圖所示：

（1）求被抽取的青年每周利用“青年大學(xué)習(xí)”進(jìn)行學(xué)習(xí)的時長的中位數(shù)；
（2）市宣傳部門擬從被抽取青年中選出部分青年參加座談會.辦法是：采用分層抽樣的方法從學(xué)習(xí)時長在和的青年中共抽取5人，且從參會的5人中又隨機(jī)抽取2人發(fā)言，求學(xué)習(xí)時長在中至少有1人被抽中發(fā)言的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）頻率直方圖下的面積之和為1，解出m，知道中位數(shù)是處于最中間的數(shù)，中位數(shù)左邊的頻率為0. 5.
（2）分層抽樣是按比例抽取的，在算概率時，可以從對立事件出發(fā).
【小問1詳解】
,解得.
設(shè)中位數(shù)為,則,解得
【小問2詳解】
學(xué)習(xí)時長在和的青年人數(shù)分別是200、300人.
從中抽取5人，則學(xué)習(xí)時長在的抽取2人，學(xué)習(xí)時長在的抽取3人.
學(xué)習(xí)時長在中至少有1人被抽中發(fā)言的概率可用1減去“發(fā)言的都是學(xué)習(xí)時長在的人的概率”，
即.故學(xué)習(xí)時長在中至少有1人被抽中發(fā)言的概率為.
22. 如圖，四棱錐中，底面ABCD，為等邊三角形，，，M是PB上一點(diǎn)，且，N是PC的中點(diǎn).

（1）求證：；
（2）若二面角的大小為，求三棱錐的體積.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）首先證明，再利用線面垂直的定義得，再利用線面垂直的判定定理證得面，則；
（2）首先證明，再求出相關(guān)三角形面積和棱錐的高，最后利用等體積法和棱錐體積公式即可得到答案.
【小問1詳解】
因為為正三角形,所以,又,所以.
又底面，底面，所以，
又，平面，所以平面，
又因為平面，所以.
【小問2詳解】
因為底面，底面，所以，由已知，
又，且平面，所以平面，
又平面，所以，又，
所以就是二面角的平面角，所以
因為，則,
在中，因為是正三角形，則易知，
所以在中，，
因為底面,平面,
所以.知,
所以的面積.
因為,所以,
又因為為中點(diǎn),所以.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,由,得,
解得,即點(diǎn)到平面的距離為,
又,所以三棱錐的體積.
借書數(shù)量（單位：本）
5
6
7
8
9
10
頻數(shù)（單位：人）
5
8
13
11
9
4
項目
抽取成品數(shù)
樣本均值
樣本方差
A生產(chǎn)線產(chǎn)品
8
210
1
B生產(chǎn)線產(chǎn)品
12
200
1
學(xué)習(xí)態(tài)度
考試成績
活動參與
甲
98
96
95
乙
90
99
98

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