2022-2023學(xué)年河南省洛陽強(qiáng)基聯(lián)盟高二下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知隨機(jī)變量的分布列如表：則實(shí)數(shù)（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)求解即可.【詳解】由題知，解得．故選：A2．五一期間，人民商場推出促銷活動：將購買商品的顧客分成10人一組，在每組10名顧客中隨機(jī)選出3名贈送紀(jì)念品，則顧客甲得到紀(jì)念品的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由古典概型的計(jì)算公式計(jì)算概率即可.【詳解】從10名顧客中隨機(jī)選出3名顧客有（種）方法，其中甲被選中有（種）方法，所以顧客甲得到紀(jì)念品的概率是．故選：C．3．已知，則（    ）A．0.75 B．0.6 C．0.48 D．0.2【答案】A【分析】由條件概率的公式即可求出答案.【詳解】由條件概率的公式，得，解得．故選：A．4．根據(jù)分類變量X與Y的抽樣數(shù)據(jù)，計(jì)算得到依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)（）則下面說法正確的是（    ）A．變量X與Y不獨(dú)立，該推斷犯錯誤的概率不超過0.1B．變量X與Y不獨(dú)立，該推斷犯錯誤的概率不低于0.1C．變量X與Y獨(dú)立，該推斷犯錯誤的概率不超過0.1D．變量X與Y獨(dú)立，該推斷犯錯誤的概率不低于0.1【答案】A【分析】由獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體檢驗(yàn)規(guī)則判斷即可得出答案.【詳解】由獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體檢驗(yàn)規(guī)則及，得變量X與Y不獨(dú)立，該推斷犯錯誤的概率不超過0.1．故選：A5．已知某地市場上供應(yīng)的洗衣機(jī)中，甲廠產(chǎn)品占80%，乙廠產(chǎn)品占20%，甲廠產(chǎn)品的合格率是90%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，則從該地市場上買到一臺合格洗衣機(jī)的概率是（    ）A．0.16 B．0.72 C．0.76 D．0.88【答案】D【分析】利用全概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】從某地市場上購買一臺洗衣機(jī)，設(shè)“買到的洗衣機(jī)是甲廠產(chǎn)品”為事件，“買到的洗衣機(jī)是乙廠產(chǎn)品”為事件，“買到的洗衣機(jī)是合格品”為事件B，所以，即從該地市場上買到一臺合格洗衣機(jī)的概率是0.88．故選：D6．已知直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程組，求解方程組可得答案.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由求導(dǎo)，得,所以，即解得．故選：C．7．6名研究人員在3個(gè)無菌研究艙同時(shí)進(jìn)行工作，由于空間限制，每個(gè)艙至少1人，至多3人，則不同的安排方案共有（    ）A．360種 B．180種 C．720種 D．450種【答案】D【分析】方案一：每個(gè)艙各安排2人，共有（種）不同的方案；方案二：分別安排3人，2人，1人，共有（種）不同的方案，共有（種）不同的安排方案.【詳解】方案一：每個(gè)艙各安排2人，共有（種）不同的方案；方案二：分別安排3人，2人，1人，共有（種）不同的方案.所以共有（種）不同的安排方案.故選：D.8．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，為的導(dǎo)函數(shù)，且，則不等式的解集是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造，由導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，從而由單調(diào)性解不等式求出答案.【詳解】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又，即，所以，即，解得.故選：D. 二、多選題9．已知兩個(gè)變量X，Y的數(shù)據(jù)如下表：其中數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，并且計(jì)算得相關(guān)系數(shù)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（    ）A．變量X，Y負(fù)相關(guān) B．C．一定成立 D．一定成立【答案】BC【分析】對于A，由相關(guān)系數(shù)的正負(fù)可判斷正負(fù)相關(guān)，對于B，由相關(guān)系數(shù)與的關(guān)系進(jìn)行判斷，對于CD由回歸方程的性質(zhì)判斷.【詳解】因?yàn)?/span>，所以變量X，Y正相關(guān)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程中斜率，故A錯誤，B正確；因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程一定經(jīng)過點(diǎn)，所以一定成立，故C正確；因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程求出的函數(shù)值是估計(jì)值，所以不一定等于，故D錯誤．故選：BC．10．若一個(gè)三位數(shù)中十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字都大，則稱這個(gè)數(shù)為“凸數(shù)”，如231、354等都是“凸數(shù)”，用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則（    ）A．組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為60 B．在組成的三位數(shù)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為30C．在組成的三位數(shù)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為30 D．在組成的三位數(shù)中，“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為20【答案】AD【分析】將個(gè)數(shù)字選個(gè)排列即可判斷A，確定個(gè)位，即可計(jì)算出奇數(shù)，從而判斷B、D，計(jì)算“凸數(shù)”時(shí)對十位分三種情況討論，即可判斷D.【詳解】依題意，組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為，故A正確；個(gè)位為，或時(shí)，三位數(shù)是奇數(shù)，則奇數(shù)的個(gè)數(shù)為，故B錯誤；則偶數(shù)有（個(gè)），故C錯誤；將這些“凸數(shù)”分為三類：①十位為，則有（種），②十位為，則有（種），③十位為，則有（種），所以在組成的三位數(shù)中，“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為，故D正確．故選：AD．11．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為a為常數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】由分布列的性質(zhì)即可求出的值，由此即可求出，，則可求出，的值.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量的分布列為由分布列的性質(zhì)可知，解得，A正確；，，B錯誤；，C正確；，D正確．故選：ACD12．有一座高度是10級（第1級~第10級）臺階的樓梯，小明在樓梯底部（第0級）從下往上走，每跨一步只能向上1級或者向上2級，且每步向上1級與向上2級的概率相同，設(shè)第n步后小明所在臺階級數(shù)為隨機(jī)變量，則（    ）A． B．C． D．中最大【答案】ABD【分析】每步向上1級與向上2級的概率都是，求出第n步后小明所在臺階級數(shù)隨機(jī)變量的概率，即可判斷A、C、D的正誤，再計(jì)算，可得B正確.【詳解】小明每步向上1級與向上2級的概率都是，表示跨2步到達(dá)第2級臺階，所以每步向上1個(gè)臺階，，故A正確；的所有可能取值為2，3，4，，，，所以，故B正確；表示跨4步到達(dá)第6級臺階，所以有2步每步向上1個(gè)臺階，有2步每步向上2個(gè)臺階，；表示跨4步到達(dá)第7級臺階，所以有1步向上1個(gè)臺階，有3步每步向上2個(gè)臺階，，故C錯誤；由題意，表示跨5步到達(dá)第10級臺階，所以每步向上2個(gè)臺階，，表示跨6步到達(dá)第10級臺階，所以有2步每步向上1個(gè)臺階，有4步每步向上2個(gè)臺階，，以此類推可得，，，，其中最大，故D正確．故選：ABD． 三、填空題13．已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且，則      ．【答案】/0.6【分析】根據(jù)隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，得到，再結(jié)合條件求解.【詳解】解：由隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，得，又因?yàn)?/span>，所以．故答案為：14．已知隨機(jī)變量，若，則      ．【答案】【分析】根據(jù)隨機(jī)變量，由求解.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以．故答案為：0.6315．某校排球隊(duì)假期集訓(xùn)，集訓(xùn)前共有5個(gè)排球，其中3個(gè)是新球（即沒有用過的球），2個(gè)是舊球（即至少用過一次的球）．每次訓(xùn)練，都從中任意取出1個(gè)球，用完后放回，則第二次訓(xùn)練時(shí)恰好取到一個(gè)新球的概率為        ．【答案】/【分析】利用全概率公式求解即可.【詳解】記A，B分別為第一次，第二次訓(xùn)練取到新球，由全概率公式，得．故答案為：.16．一個(gè)筆袋內(nèi)裝有10支同型號簽字筆，其中黑色簽字筆有7支，藍(lán)色簽字筆有3支，若從筆袋內(nèi)每次隨機(jī)取出1支筆，取后不放回，取到藍(lán)色簽字筆就停止，最多取5次，記取出的簽字筆個(gè)數(shù)為X，則      ．【答案】【分析】根據(jù)X的可能取值是1，2，3，4，5，求得其相應(yīng)的概率，再利用期望公式求解.【詳解】解：X的可能取值是1，2，3，4，5，則，，，，，所以．故答案為： 四、解答題17．某醫(yī)藥研究小組在研究治療某疾病的藥品A的臨床實(shí)驗(yàn)中得到了如下數(shù)據(jù)：服用藥品A的患者有200名，其中治愈140名；服用安慰劑的患者有200名，其中未治愈90名．(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成以下2×2列聯(lián)表（單位：人）： 未治愈治愈合計(jì)服用藥品A   服用安慰劑   合計(jì)   (2)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為藥品A對治療此疾病有效？參考公式其中0.10.050.012.7063.8416.635【答案】(1)列聯(lián)表見解析(2)認(rèn)為藥品A對治療此疾病有效 【分析】（1）根據(jù)服用藥品A的患者有200名，其中治愈140名；服用安慰劑的患者有200名，其中未治愈90名，完成列聯(lián)表；（2）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得的值，再與臨界值表對照下結(jié)論；【詳解】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，得到2×2列聯(lián)表如下： 未治愈治愈合計(jì)服用藥品A60140200服用安慰劑90110200合計(jì)150250400（2）零假設(shè)為：藥品A對治療此疾病無效，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為藥品A對治療此疾病有效，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01．18．在的展開式中，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的4倍．(1)求n的值；(2)求的展開式中的常數(shù)項(xiàng)．【答案】(1)9(2) 【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式及二項(xiàng)式系數(shù)的概念求解；（2）由二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式，令求解即可.【詳解】（1）由二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式可知，，所以由題意知，解得.（2）由（1）知二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.19．盲盒，是指消費(fèi)者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的玩具盒子，具有隨機(jī)屬性，只有打開才會知道自己抽到了什么.但有些經(jīng)營者用盲盒清庫存，損害消費(fèi)者合法權(quán)益，擾亂市場.2022年7月26日，《上海市消費(fèi)者權(quán)益保護(hù)條例》對盲盒等隨機(jī)銷售經(jīng)營行為作出規(guī)范，明確經(jīng)營者采取隨機(jī)抽取的方式向消費(fèi)者銷售特定范圍內(nèi)商品或者提供服務(wù)的，應(yīng)當(dāng)按照規(guī)定以顯著方式公示抽取規(guī)則、商品或者服務(wù)分布、提供數(shù)量、抽取概率等關(guān)鍵信息.現(xiàn)有一款盲盒套裝，有5個(gè)不同的盲盒，其中有男孩卡通人物2個(gè)，女孩卡通人物3個(gè)，現(xiàn)從盲盒套裝中隨機(jī)取2個(gè)不同的盲盒.(1)求取出的2個(gè)盲盒中，至少有1個(gè)男孩卡通人物的概率；(2)在取出的2個(gè)盲盒中，女孩卡通人物的個(gè)數(shù)設(shè)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用古典概率求出沒有男孩卡通人物的概率，再利用對立事件概率公式求解作答.（2）求出X的可能值，并求出各個(gè)值對應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望作答.【詳解】（1）從盲盒套裝中隨機(jī)取2個(gè)不同的盲盒的試驗(yàn)有個(gè)基本事件，其中至少有1個(gè)男孩卡通人物的事件，其對立事件有個(gè)基本事件，所以至少有1個(gè)男孩卡通人物的概率.（2）依題意，X的可能值為0，1，2，，所以隨機(jī)變量X的分布列為012數(shù)學(xué)期望為.20．在政策的扶持下，小華計(jì)劃在某鄉(xiāng)開快遞站，為了解市場行情，在該市調(diào)查了家農(nóng)村快遞站，統(tǒng)計(jì)得到了它們的營業(yè)面積（單位：）和日均客流量（單位：人）的數(shù)據(jù)，初步判斷x與y線性相關(guān)，并計(jì)算得， ，，，.(1)求與的樣本相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到）；(2)現(xiàn)有營業(yè)面積為的商鋪正在出租，小華準(zhǔn)備租用此商鋪開快遞站，請預(yù)估小華的快遞站的日均客流量（結(jié)果精確到個(gè)位數(shù)）．參考公式：樣本相關(guān)系數(shù)，回歸直線方程中，， ；參考數(shù)據(jù).【答案】(1)(2)預(yù)估小華的快遞站的日均客流量為人 【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出和，代入相關(guān)系數(shù)公式求解即可.（2）利用公式求出線性回歸方程，代入數(shù)據(jù)即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，，所以．（2），．所以關(guān)于的回歸直線方程為．當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)估小華的快遞站的日均客流量為人．21．2023年4月23日第二屆全民閱讀大會在杭州舉辦，目的是為了弘揚(yáng)全民閱讀風(fēng)尚，共建共享書香中國．某市響應(yīng)號召，推進(jìn)全體學(xué)生閱讀，在全市100000名學(xué)生中抽取1000名學(xué)生調(diào)查每周閱讀時(shí)間，得到頻率分布直方圖如下圖：  由頻率分布直方圖可以認(rèn)為該市學(xué)生每周閱讀時(shí)間X服從正態(tài)分布，其中可以近似為1000名學(xué)生的每周閱讀時(shí)間的平均值（同組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示），．(1)試估計(jì)全市學(xué)生中每周閱讀時(shí)間不高于6.8小時(shí)的人數(shù)；(2)若從全市學(xué)生中隨機(jī)抽取5名學(xué)生進(jìn)行座談，設(shè)選出的5人中每周閱讀時(shí)間在10.6小時(shí)以上的學(xué)生人數(shù)為Y，求隨機(jī)變量Y的分布列，均值與方差．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則P，，．【答案】(1)（人）(2)分布列見解析，均值為，方差為 【分析】（1）由正態(tài)分布求出概率，估計(jì)人數(shù)即可；（2）由題意可知每周閱讀時(shí)間在10.6小時(shí)以上的學(xué)生人數(shù)為Y服從二項(xiàng)分布，然后由二項(xiàng)分布求概率分布列及均值與方差即可.【詳解】（1）由題意知樣本中1000名學(xué)生每周閱讀時(shí)間的平均值為，所以，又，所以，所以，所以．所以全市學(xué)生中每周閱讀時(shí)間不高于6.8小時(shí)的人數(shù)估計(jì)為（人）．（2）因?yàn)?/span>，所以，結(jié)合題意可得，故，，，，，．故隨機(jī)變量Y的分布列如下：Y012345P故，．22．已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)若，求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析. 【分析】（1）對求導(dǎo)后，問題轉(zhuǎn)化為在[1,4]上恒成立，進(jìn)而求得的最小值即可求解；（2）由可得只需證明，令，求導(dǎo)后求得；令，求導(dǎo)后求得，從而可得，問題得證.【詳解】（1），因?yàn)楹瘮?shù)在[1,4]上單調(diào)遞增，所以在[1,4]上恒成立，又在[1,4]上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，所以的取值范圍是.（2）因?yàn)?/span>，所以要證，只需證，令，則.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增.所以，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.所以時(shí)，取最小值, 則, 所以時(shí)，，因此.所以. 

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