考生注意：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊至選擇性必修第一冊第一章．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 在空間直角坐標系中，點在坐標平面內(nèi)的射影為點B，則B的坐標為（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空間直角坐標系定義即可求得點在坐標平面內(nèi)的射影點的坐標.
【詳解】在空間直角坐標系中，點在坐標平面內(nèi)的射影為點
故選：B
2. 某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200件、300件、400件．為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從以上所有的產(chǎn)品中抽取了45件進行檢驗，則抽取的甲、乙種型號產(chǎn)品的數(shù)量之和為（ ）．
A. 30B. 15C. 20D. 25
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)分層抽樣的方法分別求出甲、乙種型號產(chǎn)品的數(shù)量.
【詳解】由題意得，根據(jù)分層抽樣的方法抽取的甲型號產(chǎn)品的數(shù)量為，
乙種型號產(chǎn)品的數(shù)量為，
抽取的甲、乙種型號產(chǎn)品的數(shù)量之和為．
故選：D
3. 若，則（ ）．
A. B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算求出復(fù)數(shù)，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的意義及復(fù)數(shù)加法求解作答.
【詳解】依題意，，，所以.
故選：C
4. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子1次，事件A表示“擲出的點數(shù)大于2”，則與A互斥且不對立的事件是（ ）．
A. 擲出的點數(shù)為偶數(shù)B. 擲出的點數(shù)為奇數(shù)
C. 擲出的點數(shù)小于2D. 擲出的點數(shù)小于3
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)已知寫出對應(yīng)事件的基本事件，根據(jù)互斥、對立概念判斷各項與事件A的關(guān)系.
【詳解】由題意，，而事件，
“擲出的點數(shù)為偶數(shù)”對應(yīng)基本事件有，與A不互斥，
“擲出的點數(shù)為奇數(shù)”對應(yīng)基本事件有，與A不互斥，
“擲出的點數(shù)小于2”對應(yīng)基本事件有，與A互斥且不對立，
“擲出的點數(shù)小于3”對應(yīng)基本事件有，與A對立．
故選：C
5. 已知圓錐的底面半徑為4，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由圓錐的軸截面、側(cè)面展開圖性質(zhì)求體高，應(yīng)用圓錐體積公式求體積即可.
【詳解】設(shè)該圓錐的母線長為l，高為h，
由，得，則，
所以該圓錐的體積為．
故選：C
6. 如圖，在三棱柱中，，，，，與的交點為M，則（ ）．

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的線性運算可得，進而結(jié)合空間向量的數(shù)量積公式運算即可求解.
【詳解】由題意得，
所以
.
故選：C.
7. 在正三棱柱中，，點D在棱BC上運動，若的最小值為，則三棱柱的外接球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用展開圖結(jié)合余弦定理求得，取的中心分別為M，N，則MN的中點O為三棱柱的外接球的球心，利用正弦定理求出的外接圓的半徑，進而利用勾股定理求得外接球的半徑，進而可得答案.
【詳解】如圖，將與矩形展開至同一平面，易知.
設(shè)，由題意知的最小值為，即.
由余弦定理可得，
即，解得或（舍去）.
取的中心分別為M，N，連接MN，
則MN的中點O為三棱柱的外接球的球心，
設(shè)的外接圓的半徑為r，則，即，
設(shè)三棱柱的外接球的半徑為R，
在中，,則，
故三棱柱的外接球的表面積為.
故選：A.
8. 已知樣本數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)為16，方差為9，則另一組數(shù)據(jù)，，，，，，12的方差為（ ）．
A. B. C. D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】由均值、方差性質(zhì)求數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)、方差，應(yīng)用平均數(shù)、方差公式求新數(shù)據(jù)方差.
【詳解】設(shè)數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)為，方差為，
由，，得，，
則，，，，，，12的平均數(shù)為，
方差為
．
故選：C
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 已知是直線l的一個方向向量，是平面的一個法向量，則下列說法正確的是（ ）．
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)直線的方向向量與平面的法向量的關(guān)系逐一判斷即可.
【詳解】若，則，得，得，A正確，B錯誤．
若，則，得，得，C錯誤，D正確．
故選：AD
10. 河南省地理條件優(yōu)越，是我國的糧食主要產(chǎn)區(qū)之g ，素有“中原糧倉”之稱．2018～2022年河南省糧食產(chǎn)量如圖所示，則（ ）．
2018～2022年河南省糧食產(chǎn)量圖

A. 2018～2022年河南省糧食產(chǎn)量的極差為282萬噸
B. 在2019～2022年這4年中，2022年河南省糧食產(chǎn)量的增長速度最大
C. 2018～2022年河南省糧食產(chǎn)量的30％分位數(shù)為6695萬噸
D. 2018～2022年河南省糧食產(chǎn)量的60％分位數(shù)為6742萬噸
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)極差、百分位數(shù)的定義，結(jié)合糧食產(chǎn)量圖逐一判斷即可.
【詳解】A：由圖可知2018～2022年河南省糧食產(chǎn)量的極差為萬噸，本選項正確；
B：由圖可知2022年河南省糧食產(chǎn)量的增長速度最大，本選項正確；
CD ：2018～2022年河南省糧食產(chǎn)量從小到大依次為6544萬噸，6649萬噸，6695萬噸，6789萬噸，6826萬噸，
因為，，所以2018～2022年河南省糧食產(chǎn)量的30％分位數(shù)為6649萬噸，60％分位數(shù)為萬噸．選項C不正確，選項D正確，
故選：ABD
11. 如圖1，某同學(xué)在一張矩形卡片上繪制了函數(shù)部分圖象，A，B分別是圖象的一個最高點和最低點，M是圖象與y軸的交點，，現(xiàn)將該卡片沿x軸折成如圖2所示的直二面角，在圖2中，則（ ）．

A.
B. 點D到直線的距離為
C. 點D到平面的距離為
D. 平面與平面夾角的余弦值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出圖1中點的坐標，建立空間直角坐標系，求出圖2中點的坐標，再逐項判斷作答.
【詳解】在圖1中，由，得，，，，
在圖2中，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，
則，得，A正確．
取，，
則，，所以點D到直線的距離為，B錯誤．
設(shè)平面的法向量為，，
則，即，取，則，，
所以平面的一個法向量，
所以點D到平面的距離為，C正確．
平面的一個法向量為，
則平面與平面夾角的余弦值為，D正確.
故選：ACD
12. 如圖，在棱長為2的正方體中，點P滿足，，E，F(xiàn)分別為，的中點，則下列結(jié)論正確的是（ ）．

A. 當時，過E，F(xiàn)且與直線平行的平面截該正方體所得的截面為五邊形
B. 當時，過E，F(xiàn)且與直線平行的平面截該正方體所得的截面面積為
C. 當時，的最小值為
D. 當時，最大值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】取的中點，并與點順次連接得正方體的截面，證明平行于此截面即可判斷AB；當時，求出點的軌跡求解判斷CD作答.
【詳解】如圖，連接，，，

當時，，分別取的中點，
連接，過點的截面為六邊形，正方體對角面是矩形，
則，于是，，
同理，，，則六邊形為正六邊形，
設(shè)與的交點為M，設(shè)與的交點為N，連接，，由，
得，，則四邊形為平行四邊形，于是，
又平面，平面，因此平面，
當時，過E，F(xiàn)且與直線平行的截面為六邊形，
該截面面積為，A錯誤，B正確；
由，得，點P在底面上的軌跡是以A為圓心、圓心角為、半徑為1的圓弧，如圖，

當三點共線時，取最小值，顯然的最大值為，CD正確.
故選：BCD
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知向量，，，若，則__________．
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量線性運算的坐標表示公式，結(jié)合共線向量的坐標表示公式進行求解即可.
【詳解】由題意得，因為，
所以，得．
故答案為：2
14. 現(xiàn)有張分別標有、、的卡片，采取有放回的方式從中依次隨機取出張卡片，則抽到的張卡片的數(shù)字之和不小于的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】列舉出所有的基本事件，確定所求事件所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【詳解】設(shè)事件為“抽到的張卡片的數(shù)字之和不小于”，
則這個試驗的樣本空間可記為，共包含個樣本點，
事件包含的樣本點有：、、，包含個樣本點，所以．
故答案為：.
15. 已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合降冪公式、兩角和的正弦公式進行求解即可.
【詳解】由正弦定理得，則，
得，
所以，即．
因為
所以，因此．
又，所以．
故答案為：
16. 在三棱錐中，底面為正三角形，平面，，G為的外心，D為直線上的一動點，設(shè)直線與所成的角為，則的取值范圍為__________．
【答案】
【解析】
【分析】建立空間直角坐標系，設(shè)，則，求出的范圍，從而得到的取值范圍.
【詳解】不妨設(shè)，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，
由題意得G為的中點，所以．
設(shè)，，得，
則，
因為，
所以．
當時，．
當時，，
得．
綜上，，由得．
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知是空間的一個單位正交基底，向量，是空間的另一個基底，用基底表示向量．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，又，根據(jù)對應(yīng)系數(shù)相等列方程組求解即可.
【詳解】設(shè)，
則，
所以，得．
故．
故答案為：
18. 小晟統(tǒng)計了他6月份的手機通話明細清單，發(fā)現(xiàn)自己該月共通話100次，小晟將這100次通話的通話時間（單位：分鐘）按照，，，，，分成6組，畫出的頻率分布直方圖如圖所示．

（1）求a的值；
（2）求通話時間在區(qū)間內(nèi)的通話次數(shù)；
（3）試估計小晟這100次通話的平均時間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）．
【答案】（1）
（2）40 （3）7.28分鐘
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率之和為列方程來求得.
（2）先求得通話時間在區(qū)間內(nèi)的頻率，從而求得通話時間在區(qū)間內(nèi)的通話次數(shù).
（3）根據(jù)頻率分布直方圖求得平均數(shù)的求法求得正確答案.
【小問1詳解】
由，
得．
【小問2詳解】
因為通話時間在區(qū)間內(nèi)的頻率為，
所以通話時間在區(qū)間內(nèi)的通話次數(shù)為．
【小問3詳解】
這100次通話的平均時間的估計值為:
分鐘．
19. 如圖，在中，，，.

（1）求的值；
（2）過點A作，D在邊BC上，記與的面積分別為，，求的值.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）由余弦定理可得，由正弦定理可得；
（2）求出，由可求得，進而得，由求得結(jié)果.
小問1詳解】
在中，由余弦定理可得，
則，故
由正弦定理可得，則
【小問2詳解】
因為，所以，
因為，所以.
因為，所以，所以，
則.
設(shè)點A到直線BC的距離為d，
因為，，所以.
20. 如圖，在多面體ABCDE中，平面BCD，平面平面BCD，其中是邊長為2的正三角形，是以為直角的等腰三角形，.

（1）證明：平面BCD.
（2）求平面ACE與平面BDE的夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先證明線面垂直，再由線面垂直的性質(zhì)得線線平行，利用線面平行判定定理求證即可；
（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求解.
【小問1詳解】
取CD的中點F，連接EF，BF.
因為是邊長為2的正三角形，所以，且.
因為平面平面BCD，且平面平面，平面ECD，
所以平面BCD.
因為平面BCD，所以.
因為，所以四邊形ABFE為平行四邊形，
所以.
因為平面BCD，平面BCD，所以平面BCD.
【小問2詳解】
過點B作，以B為坐標原點，分別以，，的方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，
故，，，.
設(shè)平面ACE的法向量為，
則，
令，得.
設(shè)平面BDE的法向量為，
則，
令，得.
設(shè)平面ACE與平面BDE的夾角為，
則.
21. A，B，C，D四人參加雙淘汰賽制比賽．在第一輪的兩場比賽中，A對B，C對D，這兩場比賽的勝者進入優(yōu)勝組，負者進入奮斗組．第二輪的兩場比賽分別為優(yōu)勝組和奮斗組的組內(nèi)比賽，奮斗組中的勝者與優(yōu)勝組中的負者均進入超越組，奮斗組中的負者直接被淘汰，優(yōu)勝組中的勝者進入卓越組，第三輪比賽為超越組組內(nèi)比賽，勝者進入卓越組，負者為季軍．第四輪比賽為卓越組組內(nèi)比賽，勝者為冠軍，負者為亞軍，每輪比賽都相互獨立．
（1）設(shè)A，B，C，D四人每輪比賽的獲勝率均為．
①求A和B都進入卓越組的概率；
②求D參加了四輪比賽并獲得冠軍的概率．
（2）若B每輪比賽的獲勝率為，A，C，D三人水平相當，求A，C進入卓越組且A，C之前賽過一場的概率．
【答案】（1）①；②；
（2）.
【解析】
【分析】（1）①分析A和B在第二輪、三輪的比賽結(jié)果，再利用相互獨立事件的概率公式計算作答；②按照D在第一輪的勝負分類，利用互斥事件、相互獨立事件的概率公式計算作答.
（2）由題意可得A，C在第一輪比賽中均獲勝進入第二輪，按負者與B、D比賽并獲勝分類求解作答.
【小問1詳解】
①若A和B都進入卓越組，則勝者需要贏得優(yōu)勝組組內(nèi)比賽的勝利，負者需要贏得奮斗組組內(nèi)比賽和超越組組內(nèi)比賽的勝利，
則A和B都進入卓越組的概率為．
②D參加了四輪比賽并獲得冠軍的情況有兩種：
第一種情況：D在C，D組內(nèi)比賽獲勝，D進入優(yōu)勝組后進入超越組并獲勝，再進入卓越組并獲勝，其概率為；
第二種情況：D在C，D組內(nèi)比賽后進入奮斗組并獲勝，再進入超越組并獲勝，最后進入卓越組并獲勝，其概率為，
所以D參加了四輪比賽并獲得冠軍的概率為．
【小問2詳解】
A，C進入卓越組且A，C之前賽過一場的情況有兩種：
第一種情況：A，C在第一輪比賽中均獲勝并進入優(yōu)勝組，負者進入超越組與D比賽并獲勝，其概率為；
第二種情況：A，C在第一輪比賽中均獲勝并進入優(yōu)勝組，負者進入超越組與B比賽并獲勝，其概率為，
所以A，C進入卓越組且A，C之前賽過一場的概率為．
22. 如圖，在四棱錐中，平面平面，，，點M，N分別在線段，上．

（1）當M，N分別是，的中點時，證明：．
（2）當?shù)拈L度最小時，求直線與平面所成角的大?。?br>【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中點，連接，，證得，，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進而證得；
（2）證得平面，以為原點，建立空間直角坐標系，設(shè)，，根據(jù)的長度最小時，列出方程求得，進而求得平面的一個法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
【小問1詳解】
證明：如圖所示，取的中點，連接，，
因為分別是中點，所以，，
又因為，，所以，，
因為，且平面，所以平面，
又因為平面，所以．
【小問2詳解】
解：因為平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
以為坐標原點，以所在的直線分別為和軸，以過點垂直與平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，
則，，，，
所以，，．
設(shè)，，，
．
當?shù)拈L度最小時，即是直線，的公垂線，
則，解得，
此時，，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，則，，可得平面的一個法向量，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
因為，所以，即直線與平面所成的角為.

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