1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.
2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5 毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.
3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.
4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊第一章~第二章第3節(jié).
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知直線的斜率為，且經(jīng)過點(diǎn)，則直線的方程為（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.
【詳解】由題意，直線的斜率為，且經(jīng)過點(diǎn)，
根據(jù)直線點(diǎn)斜式方程，可得，即.
故選：D.
2. 已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，空間向量，，，若線段的中點(diǎn)為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)模長的坐標(biāo)計(jì)算公式直接計(jì)算.
【詳解】由題意，則，所以，
所以，
故選：C.
3. 已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，，則下列不在直線l上的點(diǎn)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知的兩點(diǎn)求出直線l的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程即可求解.
【詳解】由直線的兩點(diǎn)式方程，得直線l的方程為，即，
將各個選項(xiàng)中的坐標(biāo)代入直線方程，
可知點(diǎn)，，都在直線l上，點(diǎn)不在直線l上．
故選：D．
4. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知平行四邊形的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形對角線交點(diǎn)為中點(diǎn)可得答案.
【詳解】設(shè)，
因?yàn)榕c的中點(diǎn)相同，所以，
解得，所以.
故選：A.
5. 已知點(diǎn)A，B分別是直線與直線上的點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. 0B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由兩平行直線間的距離定義和公式可求.
【詳解】由題意可知直線，所以當(dāng)，且時，有最小值，
其最小值為平行直線 與的距離，
直線的方程可化為，
所以
故選：C.
6. 已知點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與線段相交，則的斜率的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得直線和直線的斜率，再利用數(shù)形結(jié)合法求解.
【詳解】解：如圖所示：

，
由圖象知：當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，直線與線段相交，
故的斜率的取值范圍為.
故選：D.
7. 在四面體中，點(diǎn)E滿足F為BE的中點(diǎn)，且則實(shí)數(shù)λ=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由空間向量線性和基本定理運(yùn)算可解.
【詳解】由F為BE 的中點(diǎn)，得
又
所以，由
得
即所以
故選：D
8. 已知點(diǎn)在線段上，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】將問題化為求原點(diǎn)到線段上點(diǎn)距離的平方的范圍，進(jìn)而求目標(biāo)式的距離.
【詳解】由圖象如下，

又是上圖線段上的一點(diǎn)，且為原點(diǎn)到該線段上點(diǎn)距離的平方，
上述線段端點(diǎn)分別為，到原點(diǎn)距離的平方分別為，
由圖知：原點(diǎn)到線段的距離，則，
綜上，，故.
故選：B
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 已知是空間中三個向量，則下列說法錯誤的是（ ）
A. 對于空間中的任意一個向量，總存在實(shí)數(shù)，使得
B. 若是空間的一個基底，則也是空間的一個基底
C. 若，，則
D. 若所在直線兩兩共面，則共面
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量基本定理分別判斷.
【詳解】由空間向量基本定理.可知只有當(dāng)不共面時. 才能作為基底，
才能得到，故A錯誤：
若是空間的一個基底，則不共面. 也不共面，
所以也是空間的一個基底，故B正確；
若，，則不一定平行，故C錯誤；
若所在直線兩兩共面，則不一定共面，故D錯誤.
故選：ACD.
10. 已知直線的傾斜角分別為，斜率分別是，若，則的大小關(guān)系可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由在分別單調(diào)遞增，且時，；時，，分類討論分析即得解.
【詳解】由在分別單調(diào)遞增，
且時，；時，，
若，或，則，故A正確；
若， 則，故C 正確；
若，則，故 D正確，
無論哪種條件下，B 都不成立.
故選：ACD.
11. 已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰直角三角形，則直線l的方程為（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用直線的斜截式方程，結(jié)合待定系數(shù)法求解即得.
【詳解】依題意，直線l的截距存在且不為零，設(shè)直線l的方程為 ，
又直線 l過點(diǎn)，于是 ，又l與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰直角三角形，
則，當(dāng)時， ，解得，此時直線 的方程為；
當(dāng)時，，解得，此時直線l的方程為.
所以直線的方程為或.
故選：AC
12. 如圖，在長方體中，分別為棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A. 平面
B. ⊥平面
C. 異面直線CN和AB所成角的余弦值為
D. 若P為線段上的動點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面CMN的距離不是定值
【答案】AD
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面平行的判定定理，利用空間平面向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、夾角公式逐一判斷即可.
【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則

，
對于 A，因?yàn)?
所以，又平面，平面，
所以平面，故 A 正確；
對于B： ，
設(shè)平面的法向量為，則即
令，則所以平面的一個法向量為因?yàn)榕c不平行，所以 ⊥平面不成立，故 B錯誤；
對于C：
設(shè)異面直線CN和AB 所成的角為，則，故C錯誤；
對于 D，設(shè)，
所以，
又平面的一個法向量為所以點(diǎn) P到平面的距離不是定值.故 D正確.
故選 ：AD
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知向量，若，則m=______.
【答案】
【解析】
【分析】由空間向量垂直的條件求解.
【詳解】由，得 解得
故答案為：
14. 若直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)______.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線垂直列方程，解方程即可.
【詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直，
所以，解得，
故答案為：.
15. 2023年暑期檔動畫電影《長安三萬里》重新點(diǎn)燃了人們對唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強(qiáng)的一部分.唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”.詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題———“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是A（2，4），軍營所在位置為B（6，2），河岸線所在直線的方程為x+y-3=0，則將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊飲馬，再回到軍營（“將軍飲馬”）的總路程的最小值為______.
【答案】
【解析】
【分析】求出點(diǎn)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合分析得，“將軍飲馬”的總路程的最小值為.
【詳解】
由題可知A，B 在的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為 ，
則，解得，即，
所以“將軍飲馬”總路程的最小值為.
故答案為：.
16. 如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是矩形，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則線段上的動點(diǎn)到直線的距離的最小值為______.
【答案】
【解析】
【分析】利用空間線面位置關(guān)系、空間向量、向量法求空間中點(diǎn)到直線距離的公式、二次函數(shù)分析運(yùn)算即可得解.
【詳解】解：
如上圖，取的中點(diǎn)為.連接 、、.
∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴.
又∵平面平面，平面平面，平面，
∴ 平面.又∵平面∴.
又∵底面是矩形，、是、中點(diǎn)，∴.
∴以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸
建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，由，，，
得，.
∴，，，則，，
設(shè)，則，，
，
∵，
∴向量單位方向向量，
則，
因此點(diǎn)到直線的距離，
當(dāng)時，取最小值，
∴線段上的動點(diǎn)到直線的距離的最小值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】向量法求點(diǎn)到直線距離的步驟：
1.根據(jù)圖形求出直線（或向量）的單位方向向量.
2.在直線上任取一點(diǎn)（可選擇特殊便于計(jì)算的點(diǎn)），計(jì)算點(diǎn)與直線外的點(diǎn)的方向向量點(diǎn).
3.點(diǎn)到直線的距離.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知三條直線，和.
（1）若，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若三條直線相交于一點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由兩條直線平行的條件求解即可；
（2）先由兩條確定的直線求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后帶入含參直線求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)?，?
所以.解得.經(jīng)檢驗(yàn)，時，.
【小問2詳解】
由，解得 即與的交點(diǎn)為，
因?yàn)槿龡l直線相交于一點(diǎn)，所以點(diǎn)在上，
所以.解得.
18. 已知的三個頂點(diǎn)分別為，，.
（1）求邊上的高所在直線的方程；
（2）求邊上的中線所在直線的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式求得邊上的高所在直線的方程.
（2）先求得點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)式求得邊上的中線所在直線的方程.
【小問1詳解】
，所以直線的斜率為，
所以直線的方程為
【小問2詳解】
線段的中點(diǎn)，
所以直線所在直線方程為.

19. 如圖，在四面體中，，，，，點(diǎn)，分別在棱，上，且，.

（1）用，，表示，；
（2）求異面直線，所成角的余弦值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算直接表示各向量；
（2）利用轉(zhuǎn)化法求向量數(shù)量積及夾角.
【小問1詳解】
因?yàn)辄c(diǎn)，分別在棱，上，且，，
所以，，
所以，
；
【小問2詳解】
因?yàn)?，，，?br>所以，，
所以，
，
，
所以，
即異面直線，所成角的余弦值為.
20. 如圖，在直三棱柱中，，，D，E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中點(diǎn)G，連接，，利用線線平行證明線面平行；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面夾角正弦值.
【小問1詳解】
證明：取的中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)镕，G分別為，的中點(diǎn)，
所以，，
又E為的中點(diǎn)，，，
所以，，
所以四邊形是平行四邊形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
【小問2詳解】
解：在直三棱柱中，平面，
又平面，平面，
所以，，又，
故以B為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，
所以，， ，
設(shè)平面的法向量為，
則令得，，
所以平面的一個法向量為，
設(shè)直線與平面所成的角為，則，
即直線與平面所成的角的正弦值為.
21. 已知直線恒過點(diǎn)，且與軸，軸分別交于 兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時，求直線的方程；
（3）當(dāng)取得最小值時，求的面積.
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）把直線的方程可化為，聯(lián)立方程組，即可求解；
（2）當(dāng)時，點(diǎn)到直線的距離最大，結(jié)合，求得，即可求得直線的方程；
（3）分別求得和，得到，結(jié)合基本不等式，得到，分類討論，即可求得的面積.
【小問1詳解】
解：直線的方程可化為，
令，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.
【小問2詳解】
解：當(dāng)時，點(diǎn)到直線的距離最大，
此時直線的斜率與直線的斜率滿足，
因?yàn)?，所以，即?br>所以直線的方程為，即.
【小問3詳解】
解：令，可得，所以；
令，可得，所以，且，
可得，
所以
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
當(dāng)時，直線的方程為，此時，
可得的面積為；
當(dāng)時，直線的方程為，此時，
可得的面積為，
綜上可得，的面積為或
22. 如圖，在三棱臺中，是等邊三角形，，側(cè)棱平面，點(diǎn)D是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)E是棱上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)B）.
（1）證明:平面平面；
（2）求平面與平面的夾角的余弦值的最小值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先分別證明、，由此即可證明平面，從而由面面垂直的判定定理即可得證.
（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求出求平面與平面的法向量（含有參數(shù)），由公式即可表示出（它可以看成是關(guān)于的函數(shù)），從而將問題轉(zhuǎn)換為了求函數(shù)的最小值，從而即可求解.
【小問1詳解】
因?yàn)槭堑冗吶切?，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，
所以，
又平面，平面，
所以，
又，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
【小問2詳解】
在平面中，過點(diǎn)作,
由（1）可知，，
所以，，
又平面，平面，所以，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：
因?yàn)槭堑冗吶切?，?br>所以，，，
因?yàn)?，所以
設(shè)所以，
所以
設(shè)平面的法向量為，
又
所以，即 ，
令，得所以平面的一個法向量為
設(shè)平面的法向量為 ，
又
所以 ，即 ，
令，得
所以平面的一個法向量為，
設(shè)平面與平面的夾角為，
所以，
設(shè)，因?yàn)椋?br>所以，所以，
所以，
設(shè)，則由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知
在時單調(diào)遞增，
所以當(dāng) 時，即時，取到最小值.

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