一、選擇題
1、集合,,則的真子集個數(shù)是( )
A.3B.4C.7D.15
2、函數(shù)在上有零點是的( )
A.充分必要條件B.充分不必要條件
C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件
3、從某城市里隨機抽取16臺自動售貨機,銷售額如圖所示.則下列說法正確的是( )
A.甲組平均數(shù)小,甲組中位數(shù)大B.甲組平均數(shù)小,甲組中位數(shù)小
C.甲組平均數(shù)大,甲組中位數(shù)大D.甲組平均數(shù)大,甲組中位數(shù)小
4、若函數(shù)為偶函數(shù),則b的值為( )
A.-1B.C.0D.
5、生物學上,J型增長是指在理想狀態(tài)下,物種迅速爆發(fā)的一種增長方式,其表達式為,其中為初始個體數(shù),N為最終個體數(shù).若某種群在該模型下,個體數(shù)由100增長至120消耗了10天,則個體數(shù)由120增長至160消耗的時間大約為( )
（參考數(shù)據(jù)：,）
A.14B.15C.16D.17
6、若,,則的最大值為( )
A.B.C.D.
7、已知函數(shù)在定義域上滿足,,函數(shù)的反函數(shù)為,則的最小值為( )
A.2B.4C.5D.8
8、高斯函數(shù)是數(shù)學中的一種函數(shù),在自然科學、社會科學、數(shù)學以及工程學等領(lǐng)域都能看到它的身影.設,用表示不超過x的最大整數(shù).則方程的解的個數(shù)是( )
A.0B.1C.2D.3
二、多項選擇題
9、若,則下列說法不一定正確的是( )
A.B.
C.D.若,則
10、若正方形ABCD,O為ABCD所在平面內(nèi)一點,且,x,則下列說法正確的是( )
A.可以表示平面內(nèi)任意一個向量
B.若,則O在直線BD上
C.若,,則
D.若,則
11、在信道內(nèi)傳輸0,1信號,信號的傳輸相互獨立,發(fā)送0時,收到1的概率為 ,收到0的概率為;發(fā)送1時,收到0的概率為,收到1的概率為.若在信道內(nèi)依次發(fā)送信號1,0,為了檢驗收到信號的一端將收到的信號發(fā)回到輸入端.下列說法正確的是( )
A.“收到的信號為1,0”是“傳回的信號為1,0”的充分條件.
B.“收到的信號為1,0”與“傳回的信號為1,0”不是相互獨立的
C.若,則事件“傳回的信號為1,0”的概率一定大于0.25
D.若,則事件“傳回的信號為1,0”的概率為
12、函數(shù),若,且,,則下列說法正確的是( )
A.
B.函數(shù)至少有4個零點
C.當函數(shù)有8個零點時,設最大零點為,則
D.函數(shù)所有零點之和為定值
三、填空題
13、一組數(shù)據(jù)1,2,3,3,4,5,x的平均數(shù)與眾數(shù)相等,則這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是_______________.
14、,若在上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是_______________.
15、已知函數(shù),其中.若方程有且只有一個解,則a的取值范圍是____________.
四、雙空題
16、現(xiàn)生產(chǎn)一款產(chǎn)品,其利潤y（單位：萬元）和投資x（單位：萬元）的關(guān)系可以近似用函數(shù)表示.若投資4萬元時,利潤為5萬元;投資9萬元時,利潤為7萬元,則時投資x的范圍是___________.隨機抽取6年的數(shù)據(jù),已知這六年的投資都不虧本,若利潤的平均數(shù)為3萬元,則利潤的方差的最大值為____________.（單位：萬元）
五、解答題
17、已知集合,.
(1)若,求.
(2)若,求a的取值范圍.
18、現(xiàn)隨機抽取1000名A校學生和1000名B校學生參加一場知識問答競賽,得到的競賽成績?nèi)课挥趨^(qū)間中,經(jīng)統(tǒng)計繪制成一組組距為10的頻率分布直方圖,對A校學生的成績經(jīng)分析后發(fā)現(xiàn)頻率分布直方圖中的Y（）滿足函數(shù)關(guān)系 ,關(guān)于B校學生成績的頻率分布直方圖如圖所示,假定每組組內(nèi)數(shù)據(jù)都是均勻分布的.
(1)求k的值.
(2)估計B校學生得分的中位數(shù)與眾數(shù)
(3)現(xiàn)在設置一個標準t來判定某一學生是屬于A校還是B校,將成績小于t的學生判為B校,大于t的學生判為A校,將A校學生誤判為B校學生的概率稱為誤判率A,將B校學生誤判為A校學生的概率稱為誤判率B,誤判率A與誤判率B之和稱作總誤判率.若,求總誤判率的最小值,以及此時t的值.
19、在三角形ABC中,,,,D為線段AC上任意一點,BD交AE于O.
(1)若.
①用,表示.
②若,求的值.
(2)若,則求的最小值.
20、在某游戲中,小明遇到了如圖的開關(guān)陣列,每個開關(guān)只有開和關(guān)兩個狀態(tài),摁下某個開關(guān)會導致自身及相鄰位置的開關(guān)狀態(tài)發(fā)生變化.例如摁下會導致,,,,發(fā)生狀態(tài)變化.開始時所有開關(guān)均關(guān)閉.
(1)如果隨機摁下一個開關(guān),求最終狀態(tài)為“打開”的的開關(guān)數(shù)目為4的概率.
(2)如果從上兩排六個開關(guān)中隨機選擇并摁下兩個不同的開關(guān),求摁下第一排和第二排各一個開關(guān)的概率.
(3)如果依次按下兩個開關(guān),求最終狀態(tài)為“打開”的開關(guān)數(shù)目為4的概率.
21、若函數(shù)在定義域R上滿足,且時,定義域為的為偶函數(shù).
(1)求證：函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增.
(2)若在區(qū)間上,;在上的圖象關(guān)于點對稱.
（i）求函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上的解析式.
（ii）若關(guān)于x的不等式,對任意定義域內(nèi)的恒成立,求實數(shù)t存在時,t的最大值關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系.
22、已知函數(shù),
(1)直接寫出時,的最小值.
(2)時,在是否存在零點？給出結(jié)論并證明.
(3)若,存在兩個零點,求a的取值范圍.
參考答案
1、答案：A
解析：,所以,
所以,共兩個元素,所以其真子集的個數(shù)為,
故選：A.
2、答案：D
解析：當在上有零點時,不一定有,如在有有零點,但,
時,在上也未必有零點,如,在上,,即,但在上無零點,
因此題中應是既不充分也不必要條件,
故選：D.
3、答案：B
解析：由圖知：甲數(shù)據(jù)為5,6,8,10,10,14,18,18,22,25,27,30,30,38,41,43,
乙數(shù)據(jù)為10,12,18,20,22,23,23,27,31,32,34,34,38,42,43,48,
所以甲的平均數(shù)為,
甲的中位數(shù)為,
乙的平均數(shù)為,
乙的中位數(shù)為,
所以甲組的平均數(shù)和中位數(shù)都比乙小.
故選：B.
4、答案：B
解析：由題設,
所以恒成立,則.
故選：B.
5、答案：B
解析：由題意可得,,
所以,即,
所以,
當,時,,
即,所以,
由給定數(shù)據(jù).
故選：B.
6、答案：D
解析：由題設,,而,,
所以,
所以且,
又,當且僅當時取等號,
所以,當且僅當,時取等號,
即目標式最大值為.
故選：D.
7、答案：C
解析：由題意,令,滿足上且,
此時且定義域為,
所以定義域為,且單調(diào)遞增,
所以.
故選：C.
8、答案：C
解析：由題意,則,
所以,即,
故,
由,則且,故,且,.
若,則,滿足;
若,則,滿足;
若,則,不滿足;
故其它情況均不滿足題設,
綜上,、為方程的解,共2個.
故選：C.
9、答案：AD
解析：A：當時;當時;不一定正確;
B：由,則,一定正確;
C：由,則,故一定正確;
D：當時;當,時;不一定正確.
故選：AD.
10、答案：ABD
解析：A：由題意,又,x,以為基底的坐標系中,
根據(jù)平面向量基本定理易知可以表示平面內(nèi)任意一個向量,對;
B：由向量共線的推論知：,則O在直線BD上,對;
C：由題設,則,
所以,錯;
D：由,則,
若E為BC中點,則,即且,如下圖示,
所以,對.
故選：ABD.
11、答案：BC
解析：收到信號為0,0概率為,則傳回信號為1,0概率為,
收到信號為1,0概率為,則傳回信號為1,0概率為,
收到信號為0,1概率為,則傳回信號為1,0概率為,
收到信號為1,1概率為,則傳回信號為1,0概率為,
所以傳回信號為1,0概率為,
顯然“收到的信號為1,0”不是“傳回的信號為1,0”的充分條件,A錯;
,B對;
由,則,
而,而,即不能取等號,故,
所以,C對;
由,則,D錯.
故選：BC.
12、答案：AC
解析：,解得或,又,所以,故A正確;
令,即,,
令,則原方程轉(zhuǎn)化為,
如圖,當時,方程有兩解,,
如圖當時,原函數(shù)零點個數(shù)最少,有6個,故B錯;
當有8個零點時,如圖,和是零界情況,
令或,
最大解為,所以,
令或,
最大解為,所以,故C正確;
如圖,易知所有零點都關(guān)于對稱,當函數(shù)有8個零點時,所有零點的和為,
當函數(shù)有7個零點時,所有零點的和為,當函數(shù)有6個零點時,所有零點的和為,故D錯;
故選：AC.
13、答案：4
解析：由題設,平均數(shù)為,
若,眾數(shù)有兩個,其中一個為3;
若,則眾數(shù)為3;
因為平均數(shù)與眾數(shù)相等,
當時,,滿足;
當時,,不滿足;
當時,,不滿足;
其它情況均不滿足;
所以,數(shù)據(jù)為1,2,3,3,4,5,則,
故這組數(shù)據(jù)的75%中位數(shù)是4.
故答案為：4.
14、答案：
解析：設,
設,則,,
所以,即,
所以在時,是增函數(shù),
由題意應是增函數(shù),所以,
從而,所以,
又,,
綜上,.
故答案為：.
15、答案：
解析：如圖,作出函數(shù),的圖象,
令,則,
當時,由,得或,
即或,
若方程只有一個解,
則,解得,
若方程只有一個解,
則,解得,
此時方程必有解,與題意矛盾,所以,
當時,由,得,即,
令,解得,
要使方程只有一個解,
則,解得,
綜上所述,a的取值范圍是.
故答案為：.
16、答案：;8
解析：由題得,所以,
即,
當時,顯然成立,當時,兩邊平方的,
所以,綜上,所以時投資x的范圍是;
由答空1得,要不虧本,,
則,
所以,,
所以方差為
,
所以利潤的方差的最大值為8萬元.
故答案為：;8.
17、答案：(1);
(2).
解析：（1）依題意,,
當時,,
則,,
所以.
（2）由（1）知,,由于,
當時,,解得,此時,因此,
當時,令,依題意,在區(qū)間上有兩個實根,
于是,解得,
所以a的取值范圍.
18、答案：(1);
(2)中位數(shù)50,眾數(shù)為45;
(3)總誤判率最小為,此時.
解析：（1）由頻率之和為1,故Y之和為0.1,則,得;
（2）根據(jù)B校學生成績的頻率分布直方圖,
設中位數(shù)為x,則x為平分條形面積的位置,易知,
設眾數(shù)為y,眾數(shù)為最高條形的中點位置,易知.
（3）設總誤判率為,又,
則時,,
時,,
由的單調(diào)性知,,最小,此時,
所以總誤判率最小為,此時.
19、答案：(1)①;②
(2).
解析：（1）①因為,所以,
故在中,
;
②因為B,O,D三點共線,設,
所以,
因為,
所以,
所以
又由①及已知,,
所以,解得.
（2）因為,又A,O,E三點共線,設,
所以,
又因為,所以,
所以,,
當且僅當,即時取得等號,
所以的最小值為.
20、答案：(1)
(2)
(3)
解析：（1）由題可知,設A:最終狀態(tài)為“打開”的的開關(guān)數(shù)目為4,這意味著按下了,,,中的一個,共有9個開關(guān),則
（2）用,,表示按下第一排三個開關(guān),用,,表示按下第二排三個開關(guān),從中分別選擇兩個開關(guān)按下,樣本空間為
,每個樣本點都是等可能發(fā)生的,
設“摁下第一排和第二排各一個開關(guān)”,”則,
所以.
（3）①先按下角位置的開關(guān),,不妨設按下,則第二次有,,三種情況,,,
②先按下邊位置的開關(guān),,不妨設按下,則第二次有,兩種情況,,,
③先按下中間位置的開關(guān),,按下,則第二次有,,,四種情況,,,
所以.
21、答案：(1)證明見解析;
(2)（i）,;（ii）.
解析：（1）任取,使,
則,
因為,所以,則,故
所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增.
（2）（i）令中,則,.
令,,即且函數(shù)定義域為R,
所以函數(shù)為奇函數(shù).
由,則,
聯(lián)立兩式,可得,
所以,且,而,
令,則,故;
令,則,故;
綜上,,
對在的部分,存在,其中,
則,所以對均成立.
（ii）,化簡得,
則在上單調(diào)遞減,,
若,即,此時在上遞減,故,
若,即,此時,,
即在定義域上單調(diào)遞減,所以.
綜上所述,.
22、答案：(1)2
(2)存在,證明見解析
(3)
解析：（1）因為,所以,
所以,
當且僅當,即時,等號成立,
所以當時,的最小值為2;
（2）時,在上存在零點,證明如下：
當時,,
令,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,又因為在上單調(diào)遞增,
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,
所以,而,
所以,
又,,,
則,
所以,
在區(qū)間上單調(diào)遞增,
所以在上存在零點.
（3）由,解得,
則.
存在兩個零點等價于在上存在一個零點或兩個零點為-2和2,
令,
則在上存在一個零點或兩個零點為-2和2,
（i）零點為-2和2,代入解得,
（ii）當,對稱軸,
則只需,
解得,
（iii）,,滿足題意,
（iv）,對稱軸,
則只需,
解得,
綜上所述,.

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