目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc1387" 【模型一】 斜面上物體靜摩擦力突變模型 PAGEREF _Tc1387 \h 1
\l "_Tc20416" 【模型二】斜面體靜摩擦力有無模型 PAGEREF _Tc20416 \h 5
\l "_Tc17333" 【模型三】 物體在斜面上自由運(yùn)動(dòng)的性質(zhì) PAGEREF _Tc17333 \h 13
\l "_Tc18795" 【模型四】斜面模型的衍生模型----“等時(shí)圓”模型 PAGEREF _Tc18795 \h 20
\l "_Tc17466" 1.“光滑斜面”模型常用結(jié)論 PAGEREF _Tc17466 \h 20
\l "_Tc24037" 2.“等時(shí)圓”模型及其等時(shí)性的證明 PAGEREF _Tc24037 \h 20
\l "_Tc10446" 【模型五】功能關(guān)系中的斜面模型 PAGEREF _Tc10446 \h 32
\l "_Tc7623" 1.物體在斜面上摩擦力做功的特點(diǎn) PAGEREF _Tc7623 \h 32
\l "_Tc9578" 2.動(dòng)能變化量與機(jī)械能變化量的區(qū)別 PAGEREF _Tc9578 \h 32
【模型一】 斜面上物體靜摩擦力突變模型
【模型構(gòu)建】1.如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m的物體靜止在傾角為θ的斜面上。
m
θ
1.試分析m受摩擦力的大小和方向
【解析】：假設(shè)斜面光滑，那么物體將在重力和斜面支持力的作用下沿斜面下滑。說明物體有沿斜面向下運(yùn)動(dòng)的趨勢，物體一定受到沿斜面向上的靜摩擦力作用。由平衡條件易得：
2.若斜面上放置的物體沿著斜面勻速下滑時(shí)，判斷地面對靜止斜面有無摩擦力。
【解析】：因地面對斜面的摩擦力只可能在水平方向，只需考查斜面體水平方向合力是否為零即可。斜面所受各力中在水平方向有分量的只有物體A對斜面的壓力N和摩擦力f。若設(shè)物體A的質(zhì)量為m，則N和f的水平分量分別為
，方向向右，，方向向左。
可見斜面在水平方向所受合力為零。無左右運(yùn)動(dòng)的趨勢，地面對斜面無摩擦力作用。
3.如圖，在固定斜面上的一物塊受到一外力F的作用，F(xiàn)平行于斜面向上。若要物塊在斜面上保持靜止，F(xiàn)的取值應(yīng)有一定的范圍，已知其最大值和最小值分別為F1和F2（F2>0）。
設(shè)斜面傾角為θ，斜面對物塊的靜摩擦力為f。
.當(dāng)時(shí)斜面對物塊無靜摩擦力
.當(dāng)時(shí)物塊有相對于斜面向上運(yùn)動(dòng)的趨勢靜摩擦力方向向下平衡方程為：
隨著F的增大靜摩擦力增大，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大值時(shí)外力F取最大值F1時(shí)，由平衡條件可得：F1=f+mgsinθ---------------------(1)；
(3).當(dāng)時(shí)物塊有相對于斜面向下運(yùn)動(dòng)的趨勢靜摩擦力方向向上平衡方程為：
隨著F的增大靜摩擦力減小當(dāng)靜摩擦力減小為0時(shí)突變?yōu)?2)中的情形，隨著F的減小靜摩擦力增大，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大值時(shí)外力F取最小值F2時(shí)，由平衡條件可得：f+F2= mgsinθ------------------------(2)；
聯(lián)立(1)(2)解得物塊與斜面的最大靜摩擦力f=( F2-F1)/2.
【模型演練1】(2019·高考全國卷Ⅰ)如圖，一粗糙斜面固定在地面上，斜面頂端裝有一光滑定滑輪．一細(xì)繩跨過滑輪，其一端懸掛物塊N.另一端與斜面上的物塊M相連，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)．現(xiàn)用水平向左的拉力緩慢拉動(dòng)N，直至懸掛N的細(xì)繩與豎直方向成45°.已知M始終保持靜止，則在此過程中( )
A．水平拉力的大小可能保持不變 B．M所受細(xì)繩的拉力大小一定一直增加
C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加 D．M所受斜面的摩擦力大小可能先減小后增加
【答案】BD
【解析】 對N進(jìn)行受力分析如圖所示
因?yàn)镹的重力與水平拉力F的合力和細(xì)繩的拉力T是一對平衡力，從圖中可以看出水平拉力的大小逐漸增大，細(xì)繩的拉力也一直增大，A錯(cuò)誤，B正確；M的質(zhì)量與N的質(zhì)量的大小關(guān)系不確定，設(shè)斜面傾角為θ，若mNg≥mMgsin θ，則M所受斜面的摩擦力大小會一直增大，若mNgμ>μ
【答案】A
【詳解】D．由圖可知，a沿斜面勻加速下滑，b沿斜面勻速下滑，c沿斜面勻減速下滑，則
所以
故D錯(cuò)誤；
A．對a和斜面整體分析，物塊a有沿斜面向下的加速度，物塊處于失重狀態(tài)，則有
地面對斜面體的摩擦力的方向水平向左，故A正確；
B．對b和斜面整體分析，物塊b沿斜面勻速下滑，加速度為零，則有
故B錯(cuò)誤；
C．對c和斜面整體分析，物塊c有沿斜面向上的加速度，物塊處于超重狀態(tài)，則有
地面對斜面體的摩擦力的方向水平向右，故C錯(cuò)誤。
故選A。
【模型演練7】（2023春·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）如圖，斜面體放置在水平地面上，粗糙的小物塊放在斜面上。甲圖中給小物塊施加一個(gè)沿斜面向上的力，使它沿斜面向上勻速運(yùn)動(dòng)；乙圖中給小物塊施加一水平向右的力，小物塊靜止在斜面上。甲、乙圖中斜面體始終保持靜止。下列判斷正確的是（ ）
A．增大，斜面對小物塊的摩擦力一定增大
B．增大，地面對斜面體的摩擦力不變
C．增大，斜面對物塊的摩擦力一定增大
D．增大，物塊最終一定能沿斜面向上滑動(dòng)
【答案】B
【詳解】A．小物塊受F1、重力、斜面對小物塊的支持力和摩擦力，則有
增大，斜面給物塊的彈力摩擦力不變，故A錯(cuò)誤；
B．由相互作用的關(guān)系可知，F(xiàn)1增大時(shí)，物塊給斜面的彈力摩擦力不變，所以斜面的受力情況不變，則地面給斜面體的彈力與摩擦力不變，故B正確；
C．物塊靜止在斜面上，且斜面體始終保持靜止，則小物塊受F2、重力、斜面對小物塊的支持力，由平衡關(guān)系可知斜面對小物塊的摩擦力大小為
如果
增大，斜面給物塊的摩擦力減小，如果
增大，斜面給物塊的摩擦力增大，故C錯(cuò)誤；
D．如果物塊沿斜面向上勻速滑動(dòng)，則有
可得
F2非常大時(shí)，可忽略重力，則可得
則當(dāng)
無論多大，物塊相對斜面都是靜止的，所以一直增大時(shí)，物塊不一定能沿斜面向上滑動(dòng)，故D錯(cuò)誤。
故選B。
【模型三】 物體在斜面上自由運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)
斜面模型是高中物理中最常見的模型之一，斜面問題千變?nèi)f化，斜面既可能光滑，也可能粗糙；既可能固定，也可能運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)又分勻速和變速；斜面上的物體既可以左右相連，也可以上下疊加。物體之間可以細(xì)繩相連，也可以彈簧相連。求解斜面問題，能否做好斜面上物體的受力分析，尤其是斜面對物體的作用力（彈力和摩擦力）是解決問題的關(guān)鍵。
θ
mg
f
FN
y
x
對沿粗糙斜面自由下滑的物體做受力分析，物體受重力、支持力、動(dòng)摩擦力，由于支持力，則動(dòng)摩擦力，而重力平行斜面向下的分力為，所以當(dāng)時(shí)，物體沿斜面勻速下滑，由此得，亦即。
1.所以物體在斜面上自由運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)只取決于摩擦系數(shù)和斜面傾角的關(guān)系。
當(dāng)時(shí)，物體沿斜面加速速下滑，加速度；
當(dāng)時(shí)，物體沿斜面勻速下滑，或恰好靜止；
當(dāng)時(shí)，物體若無初速度將靜止于斜面上；
2.對于光滑斜面無論物體下滑還是上滑加速度大小均為：
3.對于粗糙斜面物體下滑過程加速度大小為：
上沖過程加速度大小為：
【模型演練1】（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）當(dāng)今物流業(yè)相當(dāng)發(fā)達(dá)，貨車貨運(yùn)功不可沒。如圖所示，司機(jī)為方便卸貨，在距水平地面的高度為的車廂底部與地面之間用長度為的木板搭建了一個(gè)斜面。若貨物恰好能沿木板勻速下滑，則貨物與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)貨物的質(zhì)量為，木板的傾角為，貨物與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，對貨物，根據(jù)物體的平衡條件有
又有
解得
故選A。
【模型演練2】．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考三模）如圖是碼頭利用可升降傳動(dòng)裝置在水平地面由高處向下堆砌而成的沙堆，該公司為了得知沙堆的具體信息，測出沙堆的周長為s，查資料測得砂礫間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，下列說法正確的是（ ）
A．地面對沙堆的摩擦力不為零
B．由已知條件可估算沙堆的高度
C．由已知條件可估算沙堆的質(zhì)量
D．若相同質(zhì)量的沙堆靠墻堆放，則占地面積會增大
【答案】B
【詳解】A．當(dāng)砂礫自然成堆時(shí)，形成了圓錐體形狀．地面對沙堆的摩擦力為零，故A錯(cuò)誤；
B．沙堆表面上的沙粒受重力、支持力、摩擦力的作用靜止，則沙堆傾角滿足，若已知與則由幾何關(guān)系可估算出沙堆的高度，故B正確；
C．由于沙堆密度未知故不能算出其質(zhì)量，故C錯(cuò)誤；
D．靠墻堆放沙堆只能形成半個(gè)圓錐，而圓錐表面傾角不變，故高度變高，底面積會減小，D錯(cuò)誤。
故選B。
【模型演練2】．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示為某幼兒園的一個(gè)滑梯，一名質(zhì)量為m的兒童正沿滑梯勻速下滑。若滑梯與水平方向的夾角為，兒童與滑梯之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，則（ ）
A．兒童受到滑梯的支持力為
B．兒童受到的支持力為，這個(gè)力就是她對滑梯的壓力
C．兒童受到沿滑梯向下的摩擦力，所以她下滑
D．兒童受到滑梯的作用力的大小等于她受到的重力大小
【答案】D
【詳解】A．兒童做勻速運(yùn)動(dòng)，對兒童進(jìn)行受力分析，在垂直于滑梯方向，兒童受到滑梯的支持力與其重力在此方向上的分力等大反向，大小為，故A錯(cuò)誤。
B．兒童對滑梯的壓力與兒童受到滑梯的支持力是一對作用力與反作用力，故B錯(cuò)誤。
C．兒童相對于滑梯向下滑動(dòng)，兒童受到滑梯的摩擦力方向與兒童相對滑梯的運(yùn)動(dòng)方向相反，方向沿滑梯向上，故C錯(cuò)誤。
D．兒童做勻速運(yùn)動(dòng)，其所受合外力為零，所以他受到的重力與滑梯對他的總的作用力等大反向，故D正確。
故選D。
【模型演練4】(多選)如圖(a)，一物塊在t＝0時(shí)刻滑上一固定斜面，其運(yùn)動(dòng)的v -t圖線如圖(b)所示．若重力加速度及圖中的v0、v1、t1均為已知量，則可求出( )
A．斜面的傾角 B．物塊的質(zhì)量
C．物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù) D．物塊沿斜面向上滑行的最大高度
【答案】ACD
【解析】：根據(jù)牛頓第二定律，向上滑行過程eq \f(v0,t1)＝gsin θ＋μgcs θ，向下滑行過程eq \f(v1,t1)＝gsin θ－μgcs θ，整理可得gsin θ＝eq \f(v0＋v1,2t1)，從而可計(jì)算出斜面的傾斜角度θ以及動(dòng)摩擦因數(shù)，選項(xiàng)A、C對．小球滑上斜面的初速度v0已知，向上滑行過程為勻變速直線運(yùn)動(dòng)，末速度0，那么平均速度即eq \f(v0,2)，所以沿斜面向上滑行的最遠(yuǎn)距離s＝eq \f(v0,2)t1，根據(jù)斜面的傾斜角度可計(jì)算出向上滑行的最大高度ssin θ＝eq \f(v0,2)t1×eq \f(v0＋v1,2gt1)＝v0eq \f(v0＋v1,4g)，選項(xiàng)D對．僅根據(jù)速度—時(shí)間圖象，無法求出物塊質(zhì)量，選項(xiàng)B錯(cuò)．
【模型演練5】（2023·河北滄州·河北省吳橋中學(xué)?？寄M預(yù)測）某同學(xué)設(shè)計(jì)了一種測物塊與斜面間動(dòng)摩擦因數(shù)的方法，如圖所示，調(diào)整斜面的傾角為，讓物塊從斜面底端以一定的初速度沖上斜面，物塊到達(dá)最高點(diǎn)后又滑回原處。測出物塊下滑的時(shí)間是上滑時(shí)間的k倍，則物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】物塊上滑過程有
物塊下滑過程有
根據(jù)牛頓第二定律有
又因?yàn)?，解?br>故選B。
【模型演練6】一物塊沿傾角為θ的固定斜面底端上滑，到達(dá)最高點(diǎn)后又返回至斜面底端。已知物塊下滑的時(shí)間是上滑時(shí)間的3倍，則物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 ( )
A．eq \f(1,3)tanθ B．eq \f(1,9)tanθ
C．eq \f(4,5)tanθ D．eq \f(5,4)tanθ
【答案】C
【解析】向上運(yùn)動(dòng)的末速度等于0，其逆過程為初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度的大小為a1，則：x＝eq \f(1,2)a1teq \\al(2,1)，設(shè)向下運(yùn)動(dòng)的加速度的大小為a2，則向下運(yùn)動(dòng)的過程中：x＝eq \f(1,2)a2teq \\al(2,2)，由題知物塊下滑的時(shí)間是上滑時(shí)間的3倍，即t2＝3t1，聯(lián)立可得：a1＝9a2，對物塊進(jìn)行受力分析，可知向上運(yùn)動(dòng)的過程中：ma1＝mgsinθ＋μmgcsθ，向下運(yùn)動(dòng)的過程中：ma2＝mgsinθ－μmgcsθ，聯(lián)立得μ＝eq \f(4,5)tanθ，故C正確，ABD錯(cuò)誤，故選C。
【模型演練7】（2023·湖南長沙·湖南師大附中校考二模）如圖甲所示，傾角為的斜面固定在水平地面上，一木塊以一定的初速度從斜面底端開始上滑。若斜面足夠長，取斜面底端為重力勢能的零勢點(diǎn)，已知上滑過程中木塊的機(jī)械能和動(dòng)能隨位移變化的關(guān)系圖線如圖乙所示，則下列說法正確的是（ ）

A．木塊上滑過程中，重力勢能增加了
B．木塊受到的摩擦力大小為
C．木塊的重力大小為
D．木塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為
【答案】BD
【詳解】根據(jù)題意，由圖乙可知，木塊初狀態(tài)的機(jī)械能全部為動(dòng)能，大小為，末狀態(tài)動(dòng)能為0，機(jī)械能全部為重力勢能，大小為
AC．由上述分析可知，木塊的重力勢能增加了，由功能關(guān)系可知，克服重力做功為，設(shè)木塊的重力大小為，由公式可得
解得
故AC錯(cuò)誤；
BD．根據(jù)題意可知，除重力做功外，只有摩擦力做功，設(shè)摩擦力大小為，由功能關(guān)系有
解得
又有
解得
故BD正確；
故選BD。
【模型演練8】．如圖a所示，一可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊在t＝0時(shí)刻以v0＝8 m/s的速度滑上一固定斜面，斜面足夠長，斜面的傾角θ＝30°，物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝eq \f(\r(3),5)。經(jīng)過一段時(shí)間后物塊返回斜面底端，取重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)物塊向上和向下滑動(dòng)過程中，物塊的加速度大??；
(2)物塊從斜面底端出發(fā)到再次返回斜面底端所用的總時(shí)間；
(3)求出物塊再次返回斜面底端的速度大小，并在圖b中畫出物塊在斜面上運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中的速度—時(shí)間圖象，取沿斜面向上為正方向。
【答案】(1)8 m/s2 2 m/s2 (2)3 s(3)4 m/s 圖象見解析
【解析】(1)物塊上滑過程，由牛頓第二定律有：
mgsinθ＋μmgcsθ＝ma1，
則a1＝gsinθ＋μgcsθ＝8 m/s2，
物塊下滑過程，由牛頓第二定律有：
mgsinθ－μmgcsθ＝ma2，
則a2＝gsinθ－μgcsθ＝2 m/s2。
(2)物塊上滑過程：t1＝eq \f(0－v0,－a1)＝1 s
s1＝eq \f(0＋v0,2)t1＝4 m
物塊下滑過程：s2＝s1＝eq \f(1,2)a2teq \\al(2,2)
得t2＝2 s
故總時(shí)間t＝t1＋t2＝3 s。
(3)物塊下滑過程：v2＝a2t2＝4 m/s。物塊在斜面上運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中的v-t圖象如圖所示。
【模型四】斜面模型的衍生模型----“等時(shí)圓”模型
1.“光滑斜面”模型常用結(jié)論
如圖所示，質(zhì)量為m的物體從傾角為θ、高度為h的光滑斜面頂端由靜止下滑，則有如下規(guī)律：
(1)物體從斜面頂端滑到底端所用的時(shí)間t，由斜面的傾角θ與斜面的高度h共同決定，與物體的質(zhì)量無關(guān)。
關(guān)系式為t＝eq \f(1,sin θ) eq \r(\f(2h,g))。
(2)物體滑到斜面底端時(shí)的速度大小只由斜面的高度h決定，與斜面的傾角θ、斜面的長度、物體的質(zhì)量無關(guān)。
關(guān)系式為v＝eq \r(2gh)。
2.“等時(shí)圓”模型及其等時(shí)性的證明
1．三種模型(如圖)
2．等時(shí)性的證明
設(shè)某一條光滑弦與水平方向的夾角為α，圓的直徑為d(如圖)。根據(jù)物體沿光滑弦做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為a＝gsin α，位移為x＝dsin α，所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t0＝eq \r(\f(2x,a))＝eq \r(\f(2dsin α,gsin α))＝eq \r(\f(2d,g))。
即沿同一起點(diǎn)(圓的最高點(diǎn))或終點(diǎn)(圓的最低點(diǎn))的各條光滑弦運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，運(yùn)動(dòng)時(shí)間與弦的傾角、長短無關(guān)。
【模型演練1】(2023年重慶模擬)春秋末年，齊國著作《考工記：輪人》篇中記載：“輪人為蓋”，“上欲尊而宇欲卑，上尊而宇卑，則吐水，疾而霤遠(yuǎn)?！币馑际擒嚿w中央高而四周低，形成一個(gè)斜面，泄水很快，而且水流的更遠(yuǎn)。如圖甲所示是古代馬車示意圖，車蓋呈傘狀，支撐軸豎直向上，傘底圓面水平。過支撐軸的截面圖簡化為如圖乙所示的等腰三角形，底面半徑恒定為r，底角為。取不同的值時(shí)，自車蓋頂端A由靜止下滑的水滴（可視為質(zhì)點(diǎn)）沿斜面運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不同。已知重力加速度為g，不計(jì)水滴與傘面間的摩擦力和空氣阻力。
（1）傾角為多大時(shí)，水滴下滑時(shí)間最短，并求出最短時(shí)間；
（2）滿足（1）問條件，在車蓋底面下方的水平面內(nèi)有一長為L＝r的水平橫梁（可看成細(xì)桿），橫梁位于支撐軸正前方，其俯視圖如圖丙所示，橫梁的垂直平分線過支撐軸。現(xiàn)保持車輛靜止，大量水滴沿車蓋頂端由靜止向各方向滑下，整個(gè)橫梁恰好“被保護(hù)”不被淋濕。求水平面內(nèi)橫梁中點(diǎn)到支撐軸的距離d。
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）水滴沿傘面下滑過程中有
①
②
由①②得
又，則當(dāng)時(shí)水滴滑落傘面時(shí)間最短，解得
（2）水滴沿傘面下落過程有
③
水滴離開傘后做斜下拋運(yùn)動(dòng)，且有：水平和豎直兩個(gè)分速度
④
豎直方向
⑤
水平方向
⑥
由題意幾何關(guān)系可知
⑦
由③~⑦式得
【模型演練2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，1、2、3、4四小球均由靜止開始沿著光滑的斜面從頂端運(yùn)動(dòng)到底端，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為，已知豎直固定的圓環(huán)的半徑為r，O為圓心，固定在水平面上的斜面水平底端的長度為，重力加速度為g，下列說法正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【詳解】1號小球的加速度為
位移為
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為
2號小球的加速度為
位移為
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為
3號小球的加速度為
位移為
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為
4號小球的加速度為
位移為
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為
則
故選BC。
【模型演練3】．（2023·新疆·統(tǒng)考二模）如圖所示，兩條光滑的軌道下端固定在P點(diǎn)，上端分別固定在豎直墻面上的A、B兩點(diǎn)，A、B離地面的高度分別為。現(xiàn)使兩個(gè)小滑塊從軌道上端同時(shí)由靜止開始釋放，由A、B滑到P的時(shí)間均為t，間的距離為L，下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【詳解】AB．設(shè)斜面與水平方向夾角為θ，在沿斜面方向上，根據(jù)牛頓第二定律得，物體運(yùn)動(dòng)的加速度
根據(jù)幾何關(guān)系可知，物體發(fā)生的位移為
物體的初速度為零，有
解得
設(shè)AP、BP與水平方向的夾角分別為θ1、θ2，有A、B滑到P的時(shí)間均為t，可得
可得
整理可得
根據(jù)
則
A正確，B錯(cuò)誤；
CD．根據(jù)幾何關(guān)系
則
根據(jù)
可得
可得
C正確，D錯(cuò)誤。
故選AC。
【模型演練4】（2023·湖南岳陽·高三階段練習(xí)）如圖所示，AC、BC為位于豎直平面內(nèi)的兩根光滑細(xì)桿，A、B、C三點(diǎn)恰好位于同一圓周上，C為該圓周的最低點(diǎn)，a、b為套在細(xì)桿上的兩個(gè)小環(huán)．兩小環(huán)同時(shí)分別從A、B點(diǎn)由靜止下滑，則（ ）
A．a(chǎn)、b環(huán)同時(shí)到達(dá)C點(diǎn)
B．a(chǎn)環(huán)先到達(dá)C點(diǎn)
C．b環(huán)先到達(dá)C點(diǎn)
D．a(chǎn)到達(dá)C點(diǎn)的速度比b到達(dá)C點(diǎn)的速度大
【答案】AD
【詳解】ABC．做出輔助線，如圖所示
小環(huán)在桿上做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)，小環(huán)在桿上下滑時(shí)加速度有
解得
設(shè)圓的半徑為R，根據(jù)幾何關(guān)系有
根據(jù)位移時(shí)間關(guān)系得
解得
由上述式子可知，環(huán)到底底端所用時(shí)間與桿的傾角無關(guān)，故A項(xiàng)正確，B項(xiàng)和C項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．設(shè)到達(dá)底端速度為v，則有
解得
由上述式子可知，到達(dá)底端速度與桿的傾角有關(guān)，傾角越大，速度越小，故D項(xiàng)正確。
故選AD。
【模型演練5】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，豎直墻與水平地面交點(diǎn)為O，從豎直墻上的A、B兩點(diǎn)分別搭兩條光滑直軌道到M點(diǎn)，M點(diǎn)正上方與A等高處有一C點(diǎn)?，F(xiàn)同時(shí)將完全相同的a、b、c三球分別從A、B、C三點(diǎn)由靜止開始釋放。則從開始釋放至小球運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)的過程（ ）

A．a(chǎn)球的加速度小于b球的加速度
B．c球最先到達(dá)M點(diǎn)
C．a(chǎn)、c兩球所受重力的沖量相同
D．a(chǎn)球到達(dá)M點(diǎn)的速度比c球的大
【答案】B
【詳解】A．對a、b小球
a球所在斜面傾角較大，則a球的加速度大于b球的加速度，A錯(cuò)誤；
B．設(shè)CM距離為R，則
解得
對于c小球有
解得
可見c球最先到達(dá)M點(diǎn)，B正確；
C．根據(jù)動(dòng)量定理有
可見a球所受重力的沖量較大，C錯(cuò)誤；
D．根據(jù)動(dòng)能定理有
得
兩球速度相等，D錯(cuò)誤。
故選B。
【模型演練6】．（2023·陜西安康·統(tǒng)考三模）如圖所示，光滑直桿處在豎直面內(nèi)，桿的端點(diǎn)A、B、C均在同一豎直圓周上，A點(diǎn)為圓周的最低點(diǎn)，直桿與水平面之間的夾角分別為；現(xiàn)將P、Q兩個(gè)完全相同的滑塊（滑塊均看成質(zhì)點(diǎn)）分別從B點(diǎn)和C點(diǎn)由靜止釋放，則滑塊P、Q從桿頂端到達(dá)桿底端A點(diǎn)過程中，有（ ）
A．P、Q加速度大小之比為B．P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等
C．P、Q所受支持力的沖量大小相等D．P、Q所受合外力的沖量大小相等
【答案】B
【詳解】A．設(shè)圓周半徑為R，沿桿和下滑的時(shí)間分別為，由于是光滑桿則下滑的加速度分別為
所以
選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
B．又根據(jù)
解得
選項(xiàng)B正確；
C．由于支持力大小和方向均不相同，所以支持力的沖量大小不同，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
D．合外力大小不同，所以合外力的沖量大小不同，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。
故選B。
【模型演練7】．（2023·全國·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示，豎直的圓環(huán)置于水平向左的勻強(qiáng)電場中，三個(gè)完全相同的帶正電的絕緣小球（未畫出）分別套在固定于AB、AC、AD的三根光滑細(xì)桿上，其中AB與豎直方向夾角為60°，AC經(jīng)過圓心，AD豎直?，F(xiàn)將小球無初速度地從A端釋放，小球分別沿AB、AC、AD下滑到B、C、D三點(diǎn)。已知小球所受電場力大小與重力大小之比為，則小球在三根細(xì)桿上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．無法確定
【答案】B
【詳解】小球所受電場力大小與重力大小之比為，可知小球所受重力與電場力的合力F的方向恰好與平行，且由A指向B。延長，作交于M，以為直徑畫一個(gè)圓（圖中虛線），與該圓交于N。
設(shè)，則小球沿桿運(yùn)動(dòng)的加速度為
位移為
由得
與無關(guān)，由等時(shí)圓模型知
而，，故
故選B。
【模型演練8】．（2023·河北張家口·統(tǒng)考二模）如圖所示，豎直平面內(nèi)半徑的圓弧AO與半徑的圓弧BO在最低點(diǎn)C相切。兩段光滑的直軌道的一端在O點(diǎn)平滑連接，另一端分別在兩圓弧上且等高。一個(gè)小球從左側(cè)直軌道的最高點(diǎn)A由靜止開始沿直軌道下滑，經(jīng)過O點(diǎn)后沿右側(cè)直軌道上滑至最高點(diǎn)B，不考慮小球在O點(diǎn)的機(jī)械能損失，重力加速度g取10m/s。則在此過程中小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（ ）
A．1.5 sB．2.0 sC．3.0 sD．3.5 s
【答案】C
【詳解】設(shè)左側(cè)軌道傾角為，小球在左側(cè)斜面上下滑的加速度大小為
左側(cè)軌道長
小球在左側(cè)軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)間為
同理，小球在右側(cè)斜面上上滑的時(shí)間為
故小球在此過程中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
故選C。
【模型演練9】．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，甲、乙兩個(gè)材料和粗糙程度均相同的斜面固定在水平面上，甲、乙兩斜面的高度與長度的比值分別為、。一小木塊分別沿甲、乙兩斜面下滑的加速度大小之比為1∶2，該小木塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
【答案】C
【詳解】設(shè)動(dòng)摩擦因數(shù)為，甲、乙兩斜面的傾角分別為、，木塊沿斜面下滑加速度大小分別為、，由牛頓第二定律可知
由題意有
，，，
解得
故選C。
【模型五】功能關(guān)系中的斜面模型
1.物體在斜面上摩擦力做功的特點(diǎn)
如圖所示，斜面長，傾角．一個(gè)質(zhì)量為的物體沿斜面由頂端向底端滑動(dòng)，動(dòng)摩擦因數(shù)為．則物體克服摩擦力所做的功為
．式中為物體所受的重力，為物體在水平方向上的位移（即位移的水平分量）．可見，當(dāng)物體只受重力、彈力和摩擦力作用沿斜面運(yùn)動(dòng)時(shí)，克服摩擦力所做的功等于動(dòng)摩擦因數(shù)、重力的大小和水平位移的大小三者的乘積．
由推導(dǎo)過程易知，如果物體在摩擦力方向上還受其它力，公式仍成立；若在重力方向上還受其它力，則式中的為等效重力．公式不僅適用于平面，而且在相對速度較小的情況下還適用于曲面（可用微元法化曲為直證明）．
結(jié)論 若滑動(dòng)物體對接觸面的彈力只由重力（或等效重力）引起， 則物體克服摩擦力所做的功相當(dāng)于物體沿水平的投影面運(yùn)動(dòng)克服其摩擦力所做的功，即．
2.動(dòng)能變化量與機(jī)械能變化量的區(qū)別
(1).動(dòng)能變化量等于合外力做的功，即：△Ek=W總= F合x，
(2).機(jī)械能變化量等于除重力以外的力做的功，即：△E= W除G= F除Gx
(3).在勻變速直線運(yùn)動(dòng)中，動(dòng)能變化量與機(jī)械能變化量之比等于的比值合外力與除重力以外的力之比，即：。
例如，物體沿粗糙斜面上滑x的過程中，
動(dòng)能變化量△Ek=-mg(sinθ+μcsθ)·x;
機(jī)械能變化量△E=-μmgcsθ·x;
二者比值，為一定值。
【模型演練1】如圖所示，固定斜面，AB傾角θ=30°，物塊從斜面底端以沿斜面向上的初速度v沖上斜面（未離開斜面），若能到達(dá)的最大高度為h=，則下列說法中正確的是（ ）
A. 斜面光滑 B. 斜面動(dòng)摩擦數(shù)μ=0.25
C. 重力與摩擦力力之比為4：1 D. 重力做功與摩擦力做功之比為4：1
【答案】C
【解析】
AB．假設(shè)斜面不光滑，則向上運(yùn)動(dòng)的加速度
則解得
選項(xiàng)AB錯(cuò)誤； C．重力與摩擦力力之比為
選項(xiàng)C正確；D．重力做功與摩擦力做功之比為
選項(xiàng)D錯(cuò)誤。故選C。
【模型演練2】如圖所示，物體在平行于斜面向上拉力作用下，分別沿傾角不同的斜面由底端勻速運(yùn)動(dòng)到高度相同的頂端，物體與各斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，則（ ）
A. 無論沿哪個(gè)斜面拉，克服重力做的功相同
B. 無論沿哪個(gè)斜面拉，克服摩擦力做的功相同
C. 無論沿哪個(gè)斜面拉，拉力做的功均相同
D. 沿傾角較小的斜面拉，拉力做的功較小
【答案】A
【解析】A．重力做功為
質(zhì)量m和高度h均相同，則重力做功相同，克服重力做功相同，故A正確；
B．克服摩擦力做的功所以傾角越大，摩擦力做功越小，故B錯(cuò)誤；
CD．設(shè)斜面傾角為θ，斜面高度h，斜面長度
物體勻速被拉到頂端，根據(jù)動(dòng)能定理得
聯(lián)立解得拉力做功
則h相同時(shí)，傾角較小，拉力做的功較多，故CD錯(cuò)誤。故選A。
【模型演練3】（2023·上海普陀·高三曹楊二中?？茧A段練習(xí)）如圖，三個(gè)斜面1、2、3，斜面1與2底邊相同，2和3高度相同，同一物體與三個(gè)斜面的動(dòng)摩擦因數(shù)相同。若物體分別沿三個(gè)斜面從頂端由靜止下滑到底端，則物體（ ）
A．到達(dá)斜面底端時(shí)的速度v1>v2=v3B．到達(dá)斜面底端時(shí)重力的瞬時(shí)功率P1>P2>P3
C．克服摩擦力做功W3>W1>W2D．損失的機(jī)械能
【答案】B
【詳解】C.設(shè)斜面水平距離為d，與水平面夾角為，則摩擦力作功有
可知，在摩擦系數(shù)及重力相同的情況下，摩擦力做功只與斜面的水平距離有關(guān)，有圖像可知克服摩擦力做功
故C錯(cuò)誤；
D.損失的機(jī)械能等于克服摩擦力做功，根據(jù)C項(xiàng)分析，D錯(cuò)誤；
A.設(shè)斜面的高度為h，根據(jù)動(dòng)能定理有
解得
1與2比較，d相同，1的h比2的大，故；2與3比較，h相同，2的d比3的小，故，綜合則有，故A錯(cuò)誤；
B.物體滑至斜面底端的瞬時(shí)功率
1與2比較，，且大于，故；2與3比較，，且大于，故 ,綜合有，故B正確。
故選B。
【模型演練4】（2023·四川遂寧·統(tǒng)考三模）“太陽落到大門西, 爬上山坡打滑梯。你也爭來他也搶, 回家都是滿身泥”?；菔夹∨笥褌冏钕矏鄣膴蕵讽?xiàng)目之一。某幼兒園在空地上做了一個(gè)滑梯，如圖甲所示，可簡化為圖乙所示模型。其主要結(jié)構(gòu)由傾斜部分AB和水平部分BC組成，中間平滑連接，根據(jù)空地的大小，滑梯的傾斜部分水平跨度為2.4m，高1.8m?；莺蛢和澚现g的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.4，一質(zhì)量為20kg的小孩（可看成質(zhì)點(diǎn)）從滑梯頂部A由靜止開始無助力滑下，g取10m/s2，則（ ）
A．小孩在斜面上下滑的加速度大小為
B．小孩滑到B點(diǎn)的速度
C．為了使小孩不滑出滑梯，水平部分BC長度至少為
D．保持A點(diǎn)不變，減小傾斜滑梯的長度而增大滑梯的傾角（如圖中虛線AB'所示），則下滑過程中小孩所受重力做功的平均功率不變
【答案】AC
【詳解】A．對小孩在滑梯上由牛頓第二定律有
根據(jù)已知條件可得
則可得
，
解得
故A正確；
B．對小還從A點(diǎn)到B點(diǎn)的過程應(yīng)用動(dòng)能定理，有
其中
，
解得
故B錯(cuò)誤；
C．假設(shè)小孩恰好不滑出滑梯，設(shè)水平部分BC長度最小長度為，對小孩在水平面應(yīng)用動(dòng)能定理，有
解得
故C正確；
D．設(shè)小孩在斜面上下滑的時(shí)間為，則有
可得
增大滑梯的傾角，則可知下滑時(shí)間將減小，由此可知下滑過程中小孩所受重力做功的平均功率
將增大，故D錯(cuò)誤。
故選AC。
【模型演練4】．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，固定斜面傾角為，質(zhì)量為2kg的小物塊自斜面底端以一定初速度沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，加速度大小為，物塊沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的最大距離為0.8m。斜面足夠長，g取，物塊受到的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。關(guān)于小物塊在斜面上的運(yùn)動(dòng)，下列說法中正確的是（ ）
A．物塊最終會回到斜面底端
B．物塊克服重力做功的平均功率為20W
C．合力對物塊做功-16J
D．物塊機(jī)械能損失了16J
【答案】BC
【詳解】A．物塊上滑過程中，由牛頓第二定律有
解得
，
由此可知，當(dāng)物塊滑上斜面，速度減為零之后將靜止在斜面上，故A錯(cuò)誤；
B．設(shè)物塊滑上斜面的時(shí)間為，應(yīng)用逆向思維，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得
解得
在滑塊速度減為零時(shí)，克服重力做的功為
則可知物塊克服重力做功的平均功率為
故B正確；
C．由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得物塊上滑時(shí)的初速度為
則由動(dòng)能定理可得，合外力對物塊做的功為
故C正確；
D．損失的機(jī)械能等于克服摩擦力做的功，由能量守恒可得
解得
故D錯(cuò)誤。
故選BC。
【模型演練5】如圖所示，光滑水平面OB與足夠長粗糙斜面BC交于B點(diǎn)．輕彈簧左端固定于豎直墻面，用質(zhì)量為m1的滑塊壓縮彈簧至D點(diǎn)，然后由靜止釋放滑塊，滑塊脫離彈簧后經(jīng)B點(diǎn)滑上斜面，上升到最大高度，并靜止在斜面上．換用相同材料、質(zhì)量為m2的滑塊(m2>m1)壓縮彈簧至同一點(diǎn)D后，重復(fù)上述過程．不計(jì)滑塊經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能損失，下列說法正確的是( )
A. 兩滑塊到達(dá)B點(diǎn)的速度相同
B. 兩滑塊沿斜面上升過程中的加速度相同
C. 兩滑塊上升到最高點(diǎn)的過程中克服重力做的功相同
D. 兩滑塊上升到最高點(diǎn)的過程中因摩擦產(chǎn)生的熱量相同
【答案】BCD
【解析】
A、兩次實(shí)驗(yàn)，彈簧壓縮形變是相同的，所以彈性勢能相等，兩滑塊到達(dá)B點(diǎn)的動(dòng)能是相等的，，又m2>m1，所以v1>v2，兩滑塊到達(dá)B點(diǎn)的速度不相同，A錯(cuò)誤
B、根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律可得，沿斜面上升時(shí)，物體收到重力、支持力、摩擦力，將重力垂直斜面和平行斜面分解，可得，，兩滑塊材料相同，B正確
C、設(shè)初始彈簧壓縮了x，滑塊沿斜面運(yùn)動(dòng)的距離為s，根據(jù)能量守恒可知，所以，C正確
D、滑塊上升到最高點(diǎn)的過程中因摩擦產(chǎn)生的熱量，D正確
【模型演練6】（2023·北京西城·統(tǒng)考三模）將三個(gè)木板1、2、3固定在墻角，木板與墻壁和地面構(gòu)成了三個(gè)不同的三角形，如圖所示，其中1與2底邊相同，2和3高度相同?，F(xiàn)將一個(gè)可以視為質(zhì)點(diǎn)的物塊分別從三個(gè)木板的頂端由靜止釋放，并沿斜面下滑到底端，物塊與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)均相同。在這三個(gè)過程中，下列說法正確的是（ ）

A．沿著1和2下滑到底端時(shí)，物塊的速度不同；沿著2和3下滑到底端時(shí)，物塊的速度相同
B．沿著1下滑到底端時(shí)，物塊的速度最大
C．物塊沿著3下滑到底端的過程中，產(chǎn)生的熱量是最少的
D．物塊沿著1和2下滑到底端的過程，產(chǎn)生的熱量是一樣多的
【答案】BD
【詳解】AB．設(shè)任意一斜面傾角為，斜面的長度為L，則物體下滑過程中克服摩擦力做功為
Lcsθ即為斜面底邊的長度，設(shè)物體滑到底端時(shí)的速度為v，根據(jù)動(dòng)能定理得：
根據(jù)圖中斜面高度和底邊長度可知，滑到底邊時(shí)速度大小關(guān)系為
即沿著1下滑到底端時(shí)，物塊的速度最大，故A錯(cuò)誤，B正確。
CD．摩擦生熱等于物塊克服摩擦力做功，即
由圖可知1和2底邊相等且小于3的底邊，故摩擦生熱關(guān)系為
即物塊沿著1和2下滑到底端的過程中，產(chǎn)生的熱量一樣多，物塊沿著3下滑到底端的過程中，產(chǎn)生的熱量最多，故C錯(cuò)誤，D正確；
故選BD。
【模型演練7】（2023·云南·統(tǒng)考二模）某幼兒園要修建一個(gè)如圖甲所示的兒童滑梯，設(shè)計(jì)師畫出了如圖乙所示的模型簡圖，若滑梯由長度為、傾角的斜面AB和長度為的水平部分BC組成，AB和BC由一小段圓?。▓D中未畫出且長度可忽略）平滑連接，兒童褲料與滑梯之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，取重力加速度。
（1）兒童（可視為質(zhì)點(diǎn)）從A點(diǎn)由靜止開始下滑，求他到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小及從A到C所需的時(shí)間；
（2）考慮安全因素，應(yīng)使兒童到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度盡量小，同時(shí)因場地限制，斜面頂端到滑梯末端C的水平距離不能改變，但斜面長度、高度h和傾角都可以調(diào)整。若設(shè)計(jì)要求兒童從斜面頂端由靜止開始下滑，滑到C點(diǎn)時(shí)速度恰好為零，則滑梯的高度h應(yīng)為多少。
【答案】（1）,；（2）
【詳解】（1）從A到B，據(jù)牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律可得
解得
從B到C，據(jù)牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律可得
解得
總時(shí)間
解得
（2）調(diào)整后，從到C，據(jù)動(dòng)能定理可得
設(shè)調(diào)整后的斜面與水平面的夾角為，據(jù)幾何關(guān)系可得
解得
【模型演練8】（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，左側(cè)光滑曲面軌道與右側(cè)傾角的斜面在底部平滑連接且均同定在水平地面上，質(zhì)量為m的小滑塊從斜面上離斜面底邊高為H處由靜止釋放，滑到斜面底端然后滑上左側(cè)曲面軌道，再從曲面軌道滑上斜面，滑塊第一次沿斜面上滑的最大高度為，多次往復(fù)運(yùn)動(dòng)。不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，。求：
（1）滑塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)；
（2）滑塊第1次下滑的時(shí)間與第1次上滑的時(shí)間之比；
（3）滑塊從靜止釋放到第n次上滑到斜面最高點(diǎn)的過程中，系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量。

【答案】（1）；（2）；（3）
【詳解】（1）設(shè)滑塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，根據(jù)功能關(guān)系有
而
聯(lián)立解得
（2）滑塊第一次下滑過程，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律有
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有
滑塊第一次上滑過程，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律有
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有
聯(lián)立解得
（3）滑塊第二次下滑過程，根據(jù)動(dòng)能定理有
滑塊第二次上滑過程，根據(jù)動(dòng)能定理有
結(jié)合
解得
滑塊第n次沿斜面上升的最大高度為
滑塊在斜面上滑行的路程為
由于摩擦系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量為

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