八年級(jí) 數(shù)學(xué)
A卷（100分）
一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分）
1. 12的算術(shù)平方根是（ ）
A 6B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了算術(shù)平方根，利用算術(shù)平方根的定義計(jì)算即可得到結(jié)果．
【詳解】解；12的算術(shù)平方根是：，
故選：D
2. 下列實(shí)數(shù)是無理數(shù)的是（ ）
A. 0B. C. D. 3.14
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了無理數(shù)的定義，根據(jù)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，可得答案．
【詳解】解：A．0是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．是無理數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；
D．3.14是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
3. 在平面直角坐標(biāo)系中，下列各點(diǎn)在第二象限的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征，根據(jù)第二象限內(nèi)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于零，縱坐標(biāo)大于零，可得答案．
【詳解】解：A．在第三象限，故本選項(xiàng)不合題意；
B．在第二象限，故本選項(xiàng)符合題意；
C．在第一象限，故本選項(xiàng)不合題意；
D．在第四象限，故本選項(xiàng)不合題意；
故選：B．
4. 若，是兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)且，則（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了無理數(shù)的大小估算，先根據(jù)題意求出，的值，進(jìn)而可求解，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，是兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)且，
，，
，
故選B．
5. 的三條邊是,下列條件不能判斷是直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查勾股定理的逆定理及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)勾股定理的逆定理及三角形內(nèi)角和定理對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．
【詳解】解：A、設(shè)則
∵，
∴，解得，
∴，
∴此三角形不是直角三角形，符合題意；
B、∵，
∴，
∴此三角形是直角三角形，不符合題意；
C、此三角形是直角三角形，不符合題意；
D、∵，
∴此三角形是直角三角形，不符合題意；
故選：A．
6. 若一次函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而增大，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象的增減性來確定（k-2）的符號(hào)，從而求得k的取值范圍．
【詳解】解：∵在一次函數(shù)y=（k-2）x+1中，y隨x的增大而增大，
∴k-2＞0，
∴k＞2，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．在直線y=kx+b（k≠0）中，當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減?。?br>7. 如圖，一個(gè)底面為正六邊形的六棱柱，在六棱柱的側(cè)面上，從頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)B鑲有一圈金屬絲，已知此六棱柱的高為,底面邊長為,則這圈金屬絲的長度至少為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查勾股定理與最短路徑問題，將六棱柱側(cè)面展開，運(yùn)用勾股定理求解即可
【詳解】解：如圖，六棱柱側(cè)面展開后，這圈金屬絲的長度最短為的長，
由勾股定理得，，
故選：B．
8. 如圖，若彈簧的總長度是關(guān)于所掛重物的一次函數(shù)，則不掛重物時(shí)，彈簧的長度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，先利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)值，即可求解，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由圖象得：一次函數(shù)圖象經(jīng)過和，
則，
解得：，
，
當(dāng)時(shí)，，
不掛重物時(shí)，彈簧的長度是，
故選D．
二．填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）
9. 要使二次根式有意義，字母x必須滿足的條件是________
【答案】x≥﹣1
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)大于等于0，列式進(jìn)行計(jì)算．
【詳解】由題意得：x+1≥0，解得x≥﹣1．
故答案為x≥﹣1．
10. 一次函數(shù)圖象經(jīng)過第二，三，四象限，則___________0．（填“>，
【解析】
【分析】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，
∴，
∴．
故答案為：>．
11. 如圖，，正方形和正方形的面積分別是169和144，則以為直徑的半圓的面積是___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理，先根據(jù)正方形的面積得出，，再利用勾股定理得出，再利用圓的面積公式即可求解，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：正方形和正方形的面積分別是169和144，
，，
，
，
，
故答案為：．
12. 直線沿x軸向左平移1個(gè)單位長度后與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)的平移，熟練掌握平移概率是解題的關(guān)鍵．
【詳解】直線沿x軸向左平移1個(gè)單位長度的解析式為，
令，
得，
故與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
故答案為：．
13. 如圖，在中，，以C為圓心，為半徑畫弧，交于點(diǎn)D，再分別以為圓心，以大于為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，作直線交于點(diǎn)E．若,則的面積是___________．
【答案】4
【解析】
【分析】利用基本作圖得到是的垂直平分線，得到，然后利用勾股定理求得，即可求出的面積．本題考查了勾股定理，作圖?基本作圖，熟練掌握垂直平分線的作法是解題關(guān)鍵．
【詳解】由作法得是的垂直平分線，
∴，
∵，，
∴，
在中，,
∴的面積是,
故答案為：4．
三、解答題（本大題共5個(gè)小題，共48分）
14. 計(jì)算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查二次根式的運(yùn)算：
（1）原式先化簡算術(shù)平方根，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪以及絕對值，然后再進(jìn)行加減運(yùn)算；
（2）原式化簡二次根式和乘法運(yùn)算，然后再進(jìn)行加減運(yùn)算即可．
【小問1詳解】
；
【小問2詳解】
15. 已知，求的值．
【答案】31
【解析】
【分析】本題考查了分母有理化，二次根式的混合運(yùn)算，平方差公式，完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握有理化的基本步驟是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵，
∴，
∴
．
16. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知．
（1）在平面直角坐標(biāo)系中，畫出，并求的面積；
（2）畫出關(guān)于y軸對稱的；
（3）已知P為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)____________________．
【答案】（1）見解析，；
（2）見解析 （3）
【解析】
【分析】本題主要考查了畫軸對稱圖形，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，掌握軸對稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
（1）先根據(jù)，描出各點(diǎn)，再依次連接，即可運(yùn)用割補(bǔ)法即可求出面積；
（2）先描出關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，再順次連接即可；
（3）作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接，交x軸于點(diǎn)P，問題得解．
【小問1詳解】
解：作圖如下：
的面積為：；
【小問2詳解】
解：作圖，即為所求：
【小問3詳解】
解：作A點(diǎn)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)，連接，交x軸于點(diǎn)P，
如圖，P點(diǎn)即為所求．點(diǎn)P坐標(biāo)為．
證明：根據(jù)對稱性可知：，即，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)值最?。?br>17. 已知，正方形的四條邊相等，四個(gè)角是直角．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形的兩邊和上，與相交于點(diǎn)G,且．
（1）求證：；
（2）若,求的長度．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)：
（1）證明即可；
（2）運(yùn)用面積法可求出的長度
【小問1詳解】
∵正方形，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
∵，
∴
在中，由勾股定理得,
又
∴
18. 如圖，在中，，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．
（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，連接，求的長度；
（2）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線與直線相交于點(diǎn)Q,證明：；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)是等邊三角形時(shí)，直接寫出的長度．
【答案】（1）
（2）見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先證明四邊形是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理即可得到答案；
（2）分別過點(diǎn)A、E作直線的垂線，垂足為M、N，證明得到，再證明，即可得到；
（3）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)推算出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)分別計(jì)算出和，結(jié)合（2）的全等三角形得到和的值，再證明三角形是等邊三角形，進(jìn)一步證得，最后根據(jù)求得答案．
【小問1詳解】
解：∵，
∴，
∵，
∴四邊形是正方形，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：分別過點(diǎn)A、E作直線的垂線，垂足為M、N，下圖所示，
∵，
∴，
∵，
∴；
∴，
∵,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小問3詳解】
解：設(shè)和相交于點(diǎn)O，
∵是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴
∴,
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形、等邊三角形、直角三角形、全等三角形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確添加合適的輔助線構(gòu)造出全等三角形．
B卷（共50分）
一、填空題（每題4分，共20分）
19. 如圖，長方形的邊長為3，長為1，在數(shù)軸上點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)為2，以A為圓心，長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)E,則E點(diǎn)表示的數(shù)為___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，數(shù)軸上表示數(shù)，兩點(diǎn)間的距離，正確運(yùn)用性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵長方形的邊長為3，長為1，在數(shù)軸上點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)為2，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案為：．
20. 已知實(shí)數(shù)滿足，且,則的值為___________．
【答案】14
【解析】
【分析】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及代數(shù)式求值，根據(jù)非負(fù)數(shù)性質(zhì)求出a，b，c的值，代入得，再把變形代入求值即可
【詳解】解：∵，
∴，
解得，，
代入，得，
∴，
∴
故答案為：14
21. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)按圖中箭頭所示方向依次運(yùn)動(dòng)，第1次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn),第2次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第3次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第4次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第5次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)…，按這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，動(dòng)點(diǎn)P第2023次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的坐標(biāo)為___________．
【答案】
【解析】
【分析】此題考查了圖形坐標(biāo)的規(guī)律，正確理解圖形得到點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律并應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)圖形分析點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：，，的橫坐標(biāo)為2022，縱坐標(biāo)每四次為一個(gè)循環(huán)，即可得到答案．
【詳解】解：第1次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第2次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第3次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第4次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第5次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)…，
∴每四次為一個(gè)循環(huán)，，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
而，，與橫坐標(biāo)相差1，
∴的橫坐標(biāo)為2021，的橫坐標(biāo)為2022，
故答案為：．
22. 如圖，直線與x軸，y軸分別相交于兩點(diǎn)，若將直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)與y軸交于點(diǎn)C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為___________．
【答案】或
【解析】
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)解析式的確定，直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，分類思想，熟練掌握三角形全等證明是解題的關(guān)鍵．
【詳解】當(dāng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，過點(diǎn)B作于點(diǎn)B，交直線于點(diǎn)P，過P做軸。
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵直線與x軸，y軸分別相交于兩點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
解得，
故直線的解析式為，
故點(diǎn);
當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，
延長,交直線于點(diǎn)E，
過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)F，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵直線與x軸，y軸分別相交于兩點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
解得，
故直線的解析式為，
故點(diǎn);
故答案為：或．
23. 在中，，，，點(diǎn)D在線段上從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)E在線段上由點(diǎn)A向點(diǎn)B移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，已知它們的運(yùn)動(dòng)速度相同，連接，，則的最小值為___________．
【答案】
【解析】
【分析】由題意可知，為直角三角形，則，作交于，作，并使得，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，連接，利用互余可證得，，進(jìn)而證明，得，，利用，可得，由勾股定理可得，可知，即可求得，由題意可知，進(jìn)而可證，得，由，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，取等號(hào)，即可求解．
【詳解】解：∵，，，則，
∴直角三角形，則，
作交于，作，并使得，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，連接，則，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
則，，
∴，
∵點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度相同，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，取等號(hào)，
∴的最小值為：．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理及勾股定理的逆定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，添加輔助線構(gòu)造，得，將轉(zhuǎn)化為是解決問題的關(guān)鍵．
二．解答題（共30分）
24. 甲、乙兩地相距千米，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)開往乙地．如圖，線段表示貨車離甲地距離千米與時(shí)間小時(shí)之間的函數(shù)關(guān)系；折線表示轎車離甲地距離千米與小時(shí)之間的函數(shù)關(guān)系．請根據(jù)圖象解答下列問題：

（1）求線段對應(yīng)的函數(shù)解析式．
（2）貨車從甲地出發(fā)后多長時(shí)間被轎車追上？此時(shí)離甲地的距離是多少千米？
（3）轎車到達(dá)乙地后，貨車距乙地多少千米．
【答案】（1）線段對應(yīng)的函數(shù)解析式為
（2）貨車從甲地出發(fā)后小時(shí)被轎車追上，此時(shí)離甲地的距離是千米
（3）轎車到達(dá)乙地后，貨車距乙地千米
【解析】
【分析】（1）設(shè)線段對應(yīng)的函數(shù)解析式為，由待定系數(shù)法求出其解即可；
（2）設(shè)解析式為，由待定系數(shù)法求出解析式，由一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系建立方程求出其解即可．
（3）先由函數(shù)圖象求出貨車在轎車到達(dá)乙地是時(shí)需要的時(shí)間，由路程速度時(shí)間就可以求出結(jié)論．
【小問1詳解】
解：設(shè)線段對應(yīng)的函數(shù)解析式為，由題意，得
，
解得：．
則．
答：線段對應(yīng)的函數(shù)解析式為；
【小問2詳解】
設(shè)的解析式為，由題意，得
，
解得：，
．
當(dāng)時(shí)，
，
解得：．
離甲地的距離是：千米．
答：貨車從甲地出發(fā)后小時(shí)被轎車追上，此時(shí)離甲地的距離是千米；
【小問3詳解】
由題意，得千米．
答：轎車到達(dá)乙地后，貨車距乙地千米．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)的運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，一次函數(shù)與一元一次方程的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．
25. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn),點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，連接,滿足．
（1）求直線的解析式；
（2）己知直線經(jīng)過點(diǎn)B．
①若點(diǎn)D為直線上一點(diǎn)，若，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
②過點(diǎn)O作直線，若點(diǎn)M、N分別是直線和上的點(diǎn)，且滿足．請問是否存在這樣的點(diǎn)，使得為直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
（2）①或；②或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)角度之間的關(guān)系可得到為等腰直角三角形，則，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再將點(diǎn)B和點(diǎn)C坐標(biāo)代入所設(shè)的解析式即可求得結(jié)果；
（2）①分情況討論，設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)面積之間的關(guān)系，利用割補(bǔ)法可求得有關(guān)面積的一個(gè)等式，即可求得點(diǎn)D橫坐標(biāo)的值，代入解析式即可求得點(diǎn)D縱坐標(biāo)的值，即可求得結(jié)果．
②分，兩種情形，構(gòu)造全等三角形，確定直線的解析式，后利用解析式構(gòu)造方程組計(jì)算即可．
【小問1詳解】
解：∵，
∴，
∴，
∵點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可得，
解得，
∴直線的解析式為；
【小問2詳解】
解：∵直線經(jīng)過點(diǎn)B，
∴，解得，
∴直線，
設(shè)直線與y軸交于一點(diǎn)E，
則當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)點(diǎn)，
①當(dāng)點(diǎn)D在第四象限時(shí)，設(shè)點(diǎn)，在直線上找到任意一點(diǎn)D，連接，如圖所示：
，
由（1）可得，
∵，
∴，
即，
解得：，
代入的直線方程可得：，
∴；
當(dāng)點(diǎn)D在第一象限時(shí)，連接，過點(diǎn)D作y軸的垂線于一點(diǎn)G，連接，如圖所示：
，
此時(shí)設(shè)點(diǎn)，
，
即，
解得：，
∴，
綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為：或；
②當(dāng)時(shí)，此時(shí)有兩個(gè)點(diǎn)都符合題意，但點(diǎn)N只有一個(gè)，設(shè)直線與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，過點(diǎn)D作交直線于點(diǎn)E，如圖所示：
則,
故；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
連接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入，得，
解得，
∴直線的解析式為，
∵，直線的解析式為，
∴直線的解析式為：，
根據(jù)題意，得，
解得，
∴；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)有1個(gè)點(diǎn)都符合題意，設(shè)直線與直線：的交點(diǎn)為點(diǎn)F，如圖所示：
根據(jù)題意，得，
解得，
∴；
過點(diǎn)F作交直線于點(diǎn)G，
∵，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入，得，
解得，
∴直線的解析式為，
設(shè)，
根據(jù)題意，得，
解得，
設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入，得，
解得，
∴直線的解析式為，
∵，直線的解析式為，
∴直線的解析式為：，
根據(jù)題意，得，
解得，
∴；
綜上所述，存在這樣的點(diǎn)N，且或．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)解析式的確定，交點(diǎn)坐標(biāo)的求解，分類思想的運(yùn)用，熟練掌握解析式的確定，交點(diǎn)的意義是解題的關(guān)鍵．
．

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