命題人：遼寧名校聯(lián)盟試題研發(fā)中心 審題人：遼寧名校聯(lián)盟試題研發(fā)中心
本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．
2．答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（ ）
A．5B．C．3D．
3．已知函數(shù)，則“在區(qū)間上單調(diào)遞增”的一個充分不必要條件為（ ）
A．B．C．D．
4．老張為鍛煉身體，增強體質(zhì)，計劃從下個月1號開始慢跑，第一天跑步3公里，以后每天跑步比前一天增加的距離相同．若老張打算用20天跑完98公里，則預(yù)計這20天中老張日跑步量超過5公里的天數(shù)為（ ）
A．8B．9C．13D．14
5．如圖①所示，圓錐繡球是虎耳草科繡球?qū)僦参?，在中國主要分布于西北、華東、華南、西南等地區(qū)，抗蟲害能力強，其花序碩大，類似于圓錐形，因此得名．現(xiàn)將某圓錐繡球近似看作如圖②所示的圓錐模型，已知，直線與圓錐底面所成角的余弦值為，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
① ②
A．B．C．D．
6．將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為（ ）
A．B．C．1D．3
7．已知直線與圓，過直線上的任意一點作圓的切線，切點分別為，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．1
8．已知在正方體中，，點分別在棱和上，且，，，記平面與側(cè)面，底面的交線分別為，則（ ）
A．的長度為B．的長度為C．的長度為D．的長度為
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9．已知正項等比數(shù)列的公比為，前項和為，，，則（ ）
A．B．C．數(shù)列是遞減數(shù)列D．
10．已知函數(shù)，則（ ）
A．為奇函數(shù)
B．的單調(diào)遞增區(qū)間為
C．的極小值為
D．若關(guān)于的方程恰有3個不等的實根，則的取值范圍為
11．已知正數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
12．已知橢圓的左、右焦點分別為，左、右頂點分別為，離心率為，點在上，則（ ）
A．若的面積為，則
B．若直線的斜率之積為，則
C．若，則以為直徑的圓與無交點
D．若，則的最大值為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知，，，若，則______．
14．已知函數(shù)的定義域為，且的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則同時滿足下列三個條件的一個的解析式為______．
①；②為奇函數(shù)；③在上單調(diào)遞減．
15．已知在直三棱柱中，，，若直三棱柱存在內(nèi)切球（與各面均相切）且該球的表面積為，則該直三棱柱的體積為______．
16．已知拋物線的焦點為，直線過點且與交于兩點，且，與的面積之比為，其中為坐標原點，則______．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（10分）
已知數(shù)列滿足，．
（1）求證：為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前項和．
18．（12分）
已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且．
（1）求；
（2）若，求的最大值．
19．（12分）
如圖，相距的之間是一條馬路（可近似看作兩條平行直線），為了測量河對岸一點到馬路一側(cè)的距離，小明在這一側(cè)東邊選擇了一點，作為測量的初始位置，其中與交于點，現(xiàn)從點出發(fā)沿著向西走到達點，測得，繼續(xù)向西走到達點，其中與交于點，繼續(xù)向西走到達點，測得．根據(jù)上述測量數(shù)據(jù)，完成下列問題．
（1）求的值；
（2）求的值．
20．（12分）
如圖，在四棱錐中，已知，底面是正方形，為棱的中點，，．
（1）求點到平面的距離；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
21．（12分）
已知雙曲線的左、右頂點分別為，點在上，且．
（1）求的方程；
（2）直線與交于兩點，記直線的斜率分別為，若，求的值．
22．（12分）
已知函數(shù)．
（1）當時，求的極值；
（2）若，求的值；
（3）求證：．
參考答案及解析
一、選擇題
1．C 【解析】 由題意得，，故．故選C項．
2．A 【解析】 ，故，解得．故選A項．
3．D 【解析】 圖像的對稱軸為直線，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，所以“”是“”的充分不必要條件．故選D項．
4．B 【解析】 由題意得這20天日跑步量為等差數(shù)列，記為，設(shè)公差為，則，解得，所以．由，得，所以，所以老張日跑步量超過5公里的天數(shù)為9天．故選B項．
5．C 【解析】 設(shè)，則由題意得，解得，所以底面圓周長，故該圓錐的側(cè)面積．故選C項．
6．B 【解析】 因為的圖像向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像，所以．當時，，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，因此的最大值為．故選B項．
7．D 【解析】 設(shè)，由題意得為銳角，因為圓的半徑，所以，，故當取最小值時，取最大值，顯然當時，最小，且，此時，此時，也取得最大值，最大值為．故選D項．
8．A
【解析】如圖，連接并延長交的延長線于，連接并延長交于點，交的延長線于點，連接，交于點，連接，則即為，即為．由，得，所以，，由，得，所以，所以，故C，D項錯誤；由，得，又易知，所以，所以，所以，故A項正確，B項錯誤．故選A項．
二、選擇題
9．AC 【解析】 由，得或（舍去），A項正確；因為，所以，B項錯誤；，隨著的增大而減小，故是遞減數(shù)列，C項正確；，D項錯誤．故選AC項．
10．ACD 【解析】 對于A項，，所以，故A項正確；對于B項，，令可得或，令可得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故B項錯誤；對于C項，由，得，結(jié)合B項可知，是的極小值點，此時的極小值為，故C項正確；對于D項，令，得，如圖，在同一直角坐標系內(nèi)作出的圖像與直線，當關(guān)于的方程恰有3個不等的實根時，，D項正確．故選ACD項．
11．BC 【解析】 對于A項，由已知得，所以（當且僅當時取等號），A項錯誤；對于B項，由已知得，所以（當且僅當時取等號），B項正確；對于C項，由已知得，所以，即，所以（當且僅當時取等號），C項正確，D項錯誤．故選BC項．
12．BCD 【解析】 由，得，所以，故A項錯誤；由題意得，所以，，故，故B項正確；若，則，，故C項正確；由，得，故D項正確．故選BCD項．
三、填空題
13．4 【解析】 依題意，，故，解得．
14．（答案不唯一） 【解析】 由題意得滿足條件的一個的解析式為．
15． 【解析】 依題意設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則，解得．設(shè)，則，由的內(nèi)切圓半徑為2，得，所以，故該直三棱柱的體積．
16．1 【解析】 由對稱性，不妨設(shè)分別在第一、四象限，直線的方程為，聯(lián)立整理得．設(shè)，，其中，則，，由與的面積之比為，可得，則，，則，得，則，解得．
四、解答題
17．（1）證明：由，
得，
又，
所以是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列．
（2）解：由（1）知，故，
則．
設(shè)，，
兩式相減得，
所以，
故．
18．解：（1）由正弦定理得，
因為，所以，
所以，
所以，
所以．
又，所以，
所以，即．
因為，所以．
（2）由正弦定理得
，其中為銳角，．
因為，所以，
所以的最大值為1，
故的最大值為．
19．解：（1）由圖可知，，，，，
則，，，，
故．
（2）在中，由正弦定理得，
即，解得，
故．
20．解：解法一：（1）因為四邊形為正方形，
所以，且，
所以，
所以，所以．
又，
所以平面，
因為平面，所以，
即兩兩垂直．
以為原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
所以．
設(shè)平面的法向量為，則
取，則，所以．
設(shè)點到平面的距離為，
則，即點到平面的距離為．
（2）連接，則．
由（1）得平面，平面，
所以，
又，所以平面，
即為平面的一個法向量．
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
即平面與平面夾角的余弦值為．
解法二：（1）因為四邊形為正方形，
所以，且，
所以，
所以，所以．
又，，
所以平面，
因為平面，所以，
又，所以平面．
又平面，所以．
因為為的中點，所以，
又，所以平面．
又平面，所以．
易知，則，則．
因為為的中點，則到平面的距離為到平面距離的一半，即1，
設(shè)到平面的距離為，
由，得，
即，
解得，
即點到平面的距離為．
（2）由（1）知，平面，
因為平面，所以，即兩兩垂直．
以為原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
所以．
設(shè)平面的法向量為，則
取，則，所以
連接，則．
因為平面，平面，所以，
又，所以平面，
即為平面的一個法向量．
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
即平面與平面夾角的余弦值為．
21．解：（1）由題意得，
又，解得或（舍），所以，
又點在上，所以，解得，
故的方程為．
（2）依題意，．
設(shè)，聯(lián)立整理得，其中，，
則且，
，，所以，
又，則，
代入可得，
解得或（舍去）．
22．（1）解：當時，，
當時，單調(diào)遞減，
當時，單調(diào)遞增，
所以在處取得極小值0，無極大值．
（2）解：由題得．
①當時，，所以在上單調(diào)遞增，
所以當時，與矛盾；
②當時，當時，單調(diào)遞減，
當時，單調(diào)遞增，
所以，
因為恒成立，所以．
記，則，
當時，單調(diào)遞增，
當時，單調(diào)遞減，
所以，所以，
又，所以，所以．
（3）證明：先證，
設(shè)，則，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
所以，即，
所以．
再證，
由（2）知，當時等號成立．
令，則，
即，所以，
……
，
累加得，

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