遼寧省名校聯(lián)盟2023-2024學年高二下學期4月聯(lián)合考試數(shù)學試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

命題人：大連育明高級中學孫亞洲審題人：遼寧名校聯(lián)盟試題研發(fā)中心
本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.
注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.
2.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（）.
A. B. C. D.
2. 已知為虛數(shù)單位，復數(shù)的共軛復數(shù)為，則（）
A. B. C. D.
3. 設A，B為兩個事件，已知，則（）
A. B. C. D.
4. “塹堵”“陽馬”和“鱉臑”是我國古代對一些特殊幾何體的稱謂.《九章算術(shù).商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉臑”，即一個長方體沿對角線斜解（圖1）.得到一模一樣的兩個塹堵，再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜解（圖2），得一個四棱錐稱為陽馬（圖3），一個三棱錐稱為鱉臑（圖4）.若某長方體的長為4，寬為2，高為2，記該長方體的體積為，由該長方體斜解所得到的塹堵、陽馬和鱉臑的體積分別為，，，則下列選項不正確的是（）
A. B.
C. D.
5. 下列各式大小比較中，其中正確的是（）
A B. C. D.
6. 函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（）．
A. 1B. 2C. 3D. 4
7. 已知拋物線，焦點為F，點M是拋物線C上的動點，過點F作直線的垂線，垂足為P，則的最小值為（）
A. B. C. D. 3
8. 已知橢圓的左、右焦點分別為、，經(jīng)過的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 將四大名著《紅樓夢》《西游記》《三國演義》《水滸傳》，詩集《唐詩三百首》《徐志摩詩集》和戲曲《中華戲曲》7本書放在一排，則（）
A. 戲曲書放在正中間位置的不同放法有種B. 詩集相鄰的不同放法有種
C. 四大名著互不相鄰的不同放法有種D. 四大名著不放在兩端的不同放法有種
10. 拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線為坐標原點，一束平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過上的點反射后，再經(jīng)上另一點反射后，沿直線射出，經(jīng)過點，則（）
A. 平分
B.
C. 延長交直線于點，則三點共線
D.
11. 半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.某半正多面體由4個正三角形和4個正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成.在如圖所示的半正多面體中，若其棱長為1，則（）
A. 該半正多面體的表面積為
B. 該半正多面體的體積為
C. 該半正多面體外接球的表面積為
D. 若點，分別在線段，上，則的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 的展開式中，的系數(shù)是________________．（用數(shù)字填寫答案）
13. 如圖，正四棱錐的棱長均為2，點E為側(cè)棱PD的中點．若點M，N分別為直線AB，CE上的動點，則MN的最小值為______．
14. 已知橢圓，、分別是其左，右焦點，P為橢圓C上非長軸端點的任意一點，D是x軸上一點，使得平分.過點D作、的垂線，垂足分別為A、B.則的最小值是_________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)為奇函數(shù)．
（1）求，判斷的單調(diào)性，并用定義證明；
（2）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
16. 在銳角三角形中，內(nèi)角的對邊分別為，且．
（1）求角的大??；
（2）若，求面積的取值范圍．
17. 如圖，在平行六面體中，每一個面均為邊長為2的菱形，平面底面，，分別是，的中點，是的中點.
（1）證明：平面；
（2）若側(cè)棱與底面所成角為60°，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
18. 為了豐富孩子們的校園生活，某校團委牽頭，發(fā)起同一年級兩個級部A、B進行體育運動和文化項目比賽，由A部、B部爭奪最后的綜合冠軍．決賽先進行兩天，每天實行三局兩勝制，即先贏兩局的級部獲得該天勝利，此時該天比賽結(jié)束．若A部、B部中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天A部、B部各贏一天，則第三天只進行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍．設每局比賽A部獲勝的概率為，每局比賽的結(jié)果沒有平局且結(jié)果互相獨立．
（1）記第一天需要進行的比賽局數(shù)為X，求，并求當取最大值時p的值；
（2）當時，記一共進行的比賽局數(shù)為Y，求．
19. 閱讀材料：
（一）極點與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線G：，則稱點P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點P(，)對應的極線方程.特別地，對于橢圓，與點P(，)對應的極線方程為；對于雙曲線，與點P(，)對應的極線方程為；對于拋物線，與點P(，)對應的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應的關系.
（二）極點與極線基本性質(zhì)?定理
①當P在圓錐曲線G上時，其極線l是曲線G在點P處的切線；
②當P在G外時，其極線l是曲線G從點P所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）；
③當P在G內(nèi)時，其極線l是曲線G過點P的割線兩端點處的切線交點的軌跡.
結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：
（1）已知橢圓C：經(jīng)過點P(4，0)，離心率是，求橢圓C方程并寫出與點P對應的極線方程；
（2）已知Q是直線l：上的一個動點，過點Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點分別為M，N，是否存在定點T恒在直線MN上，若存在，當時，求直線MN的方程；若不存在，請說明理由.
遼寧省名校聯(lián)盟2024年高二4月份聯(lián)合考試數(shù)學
命題人：大連育明高級中學孫亞洲審題人：遼寧名校聯(lián)盟試題研發(fā)中心
本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.
注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.
2.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式得集合，解對數(shù)不等式得集合，然后由交集定義計算．
【詳解】由題意，，所以．
故選：C．
【點睛】本題考查集合的交集運算，解題關鍵是掌握對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，確定集合的元素．
2. 已知為虛數(shù)單位，復數(shù)的共軛復數(shù)為，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分別求得，再去求即可解決.
【詳解】復數(shù)的共軛復數(shù)
復數(shù)的模，
則
故選：B
3. 設A，B為兩個事件，已知，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式列式計算即得.
【詳解】由，得，顯然，
因此，所以．
故選：B
4. “塹堵”“陽馬”和“鱉臑”是我國古代對一些特殊幾何體的稱謂.《九章算術(shù).商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉臑”，即一個長方體沿對角線斜解（圖1）.得到一模一樣的兩個塹堵，再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜解（圖2），得一個四棱錐稱為陽馬（圖3），一個三棱錐稱為鱉臑（圖4）.若某長方體的長為4，寬為2，高為2，記該長方體的體積為，由該長方體斜解所得到的塹堵、陽馬和鱉臑的體積分別為，，，則下列選項不正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】結(jié)合長方體、錐體體積公式求得正確答案.
【詳解】，A選項正確.
，B選項正確.
，C選項正確.
，D選項不正確.
故選：D
5. 下列各式大小比較中，其中正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由不等式的性質(zhì)，三角函數(shù)和指數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，逐個判斷選項是否正確.
【詳解】，∴，即，選項A錯誤；
，則，得，故選項B錯誤；
，選項C錯誤；
，，∴，選項D正確.
故選：D
6. 函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（）．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】化簡原函數(shù)解析式并求出平移后的函數(shù)解析式，由條件等式結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求出的范圍，由此可得結(jié)論.
【詳解】函數(shù)圖象向左平移個單位長度后，
得的圖象，
由已知得，
所以，
所以，
所以，，
所以，，
因為，所以的最小值為3，
故選：C.
7. 已知拋物線，焦點為F，點M是拋物線C上的動點，過點F作直線的垂線，垂足為P，則的最小值為（）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由條件確定點的軌跡，結(jié)合拋物線的定義，圓的性質(zhì)求的最小值.
【詳解】∵ 拋物線的方程為，
∴ ，拋物線的準線方程為，
∵ 方程可化為，
∴過定點，
設，設的中點為，則，因為，為垂足，
∴，所以，
即點的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，
過點作準線的垂線，垂足為，則,
∴ ,，又，當且僅當三點共線且在之間時等號成立，
∴ ，
過點作準線的垂線，垂足為，則,當且僅當三點共線時等號成立，
∴ ，當且僅當四點共線且在之間時等號成立，
所以的最小值為，
故選：A.
8. 已知橢圓的左、右焦點分別為、，經(jīng)過的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】對變形得到，進而得到以，結(jié)合橢圓定義可求出，，，由余弦定理求解關系式，求出離心率.
【詳解】因為，所以，
如圖，在上取一點M，使得，連接，則，
則點I為AM上靠近點M的三等分點，所以，
所以，
設，則，
由橢圓定義可知：，即，所以，
所以，，
故點A與上頂點重合，
在中，由余弦定理得：
，
在中，，
解得：，
所以橢圓離心率為.

故選：A
【點睛】對于求解圓錐曲線離心率問題，要結(jié)合題目中的條件，直接求出離心率或求出的齊次方程，解出離心率，本題的難點在于如何將進行轉(zhuǎn)化，需要作出輔助線，結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)得到三角形三邊關系，求出離心率.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 將四大名著《紅樓夢》《西游記》《三國演義》《水滸傳》，詩集《唐詩三百首》《徐志摩詩集》和戲曲《中華戲曲》7本書放在一排，則（）
A. 戲曲書放在正中間位置的不同放法有種B. 詩集相鄰的不同放法有種
C. 四大名著互不相鄰的不同放法有種D. 四大名著不放在兩端的不同放法有種
【答案】ABC
【解析】
【分析】A選項，利用全排列求出答案；B選項，捆綁法進行求解；C選項，插空法進行求解；D選項，先將除四大名著外的3本書中，挑選2本放在兩端，再將剩余的書和位置進行全排列.
【詳解】A選項，戲曲書放在正中間，其余6本書和6個位置進行全排列，共有種不同放法，A錯誤；
B選項，將兩本詩集進行捆綁，有2種放法，再將捆綁的詩集和剩余的5本書，
進行全排列，此時有種放法，故詩集相鄰不同放法有種，B正確；
C選項，先將詩集和戲曲進行全排列，有種方法，且3本書互相之間有4個空，
將4大名著進行插空，有種方法，故共有種放法，C正確；
D選項，將除四大名著外的3本書中，挑選2本放在兩端，有種放法，
再將剩余5本書和5個位置進行全排列，有種放法，
故四大名著不放在兩端的不同放法有種，D錯誤.
故選：ABC
10. 拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線為坐標原點，一束平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過上的點反射后，再經(jīng)上另一點反射后，沿直線射出，經(jīng)過點，則（）
A. 平分
B.
C. 延長交直線于點，則三點共線
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于A，根據(jù)題意求得，，從而證得，結(jié)合平面幾何的知識易得平分；
對于B，直接代入即可得到；
對于C，結(jié)合題意求得，由縱坐標相同得三點共線；
對于D，由選項A可知.
【詳解】根據(jù)題意，由得，又由軸，得，代入得（負值舍去），則，
所以，故直線為，即，
依題意知經(jīng)過拋物線焦點，故聯(lián)立，解得，即，
對于A，，，故，所以，
又因為軸，軸，所以，故，
所以，則平分，故A正確；
對于B，因為，故，故B錯誤；
對于C，易得的方程為，聯(lián)立，故，
又軸，所以三點的縱坐標都相同，則三點共線，故C正確；
對于D，由選項A知，故D正確.
故選：ACD.
.
11. 半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.某半正多面體由4個正三角形和4個正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成.在如圖所示的半正多面體中，若其棱長為1，則（）
A. 該半正多面體的表面積為
B. 該半正多面體的體積為
C. 該半正多面體外接球的表面積為
D. 若點，分別在線段，上，則的最小值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)給定的多面體，利用正四面體的性質(zhì)，球的截面圓的性質(zhì)，以及多面體的側(cè)面展開圖，結(jié)合棱錐的表面積與體積公式，以及球的表面積公式，逐項判定，即可求解.
【詳解】由題意，某半正多面體由4個正三角形和4個正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成，其棱長為1，
對于A：該半正多面體的表面積為，所以A錯誤.
對于B：如圖所示，該半正多面體所在的正四面體中，可得正四面體的棱長為，
取正四面體的下底面的中心為，連接，則底面，
在直角中，因為，，
所以，
即該半正多面體所在的正四面體的高為，體積為，
該半正多面體的體積為，所以B正確；
對于C：該半正多面體外接球的球心即其所在正四面體的外接球的球心，
記球心為，半徑為，的中心為，
連接，由等邊的邊長為，可得，
又由底面正六邊形的邊長為，可得，
在正四面體中，可得，
所以，
設，因為，可得，
即，解得，即，
所以，故該半正多面體外接球的表面積為，
所以C正確.

對于D：該半正多面體的展開圖，如圖所示，
則，
所以，所以D正確.
故選：BCD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 的展開式中，的系數(shù)是________________．（用數(shù)字填寫答案）
【答案】
【解析】
【分析】寫出二項式的通項公式，然后計算即可.
【詳解】因為的通項公式為，
令得，則其系數(shù)為．
故答案為：
13. 如圖，正四棱錐的棱長均為2，點E為側(cè)棱PD的中點．若點M，N分別為直線AB，CE上的動點，則MN的最小值為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，先建立空間直角坐標系，然后寫出相關點的坐標，再寫出相關的向量，然后根據(jù)點分別為直線上寫出點的坐標，這樣就得到，然后根據(jù)的取值范圍而確定
【詳解】
建立如圖所示的空間直角坐標系，則有：
，，，，，
可得：
設，且
則有：，
可得：
則有：
故
則當且僅當時，
故答案為：
14. 已知橢圓，、分別是其左，右焦點，P為橢圓C上非長軸端點的任意一點，D是x軸上一點，使得平分.過點D作、的垂線，垂足分別為A、B.則的最小值是_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，橢圓的焦點三角形的面積公式和二倍角公式解決即可.
【詳解】如圖，

由橢圓的性質(zhì)可知，點位于短軸的端點時，最大，由可知最大值為.
設，因為平分，所以，設，
已知橢圓，所以.
從而，
，
所以，解得.
,
所以,
所以，
因為，所以，
設，
所以在上單調(diào)遞減，所以.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)為奇函數(shù)．
（1）求，判斷的單調(diào)性，并用定義證明；
（2）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）1，增函數(shù)，證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)奇函數(shù)的定義計算參數(shù)，再由函數(shù)的單調(diào)性定義證明即可；
（2）利用函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性脫去函數(shù)符號，結(jié)合一元二次不等式恒成立討論計算即可.
【小問1詳解】
函數(shù)為奇函數(shù)，所以，
即，
則，即，則，得；
所以，
函數(shù)在上為增函數(shù)，
證明如下：
設，則
，所以，且，，
，即，
函數(shù)在上為增函數(shù)；
【小問2詳解】
不等式恒成立，
，
函數(shù)為奇函數(shù)，
，
函數(shù)上單調(diào)遞增，則，
即恒成立，
當時，不等式恒成立，滿足題意；
當時，需滿足，即，解得；
綜上，實數(shù)的取值范圍為．
16. 在銳角三角形中，內(nèi)角的對邊分別為，且．
（1）求角的大??；
（2）若，求面積的取值范圍．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）對等式兩邊同時乘以可得，正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡即可得出答案；
（2）由正弦定理求出，表示出面積結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．
【小問1詳解】
由已知條件得，
由正弦定理得，
即．
因為在中，，
所以．
又是銳角，所以．
【小問2詳解】
由正弦定理得，
則，
所以
．
由，得，
所以，所以，
所以．
所以面積的取值范圍為．
17. 如圖，在平行六面體中，每一個面均為邊長為2的菱形，平面底面，，分別是，的中點，是的中點.
（1）證明：平面；
（2）若側(cè)棱與底面所成的角為60°，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）連接，進而證明平面平面即可證明結(jié)論；
（2）過點作，垂足為，連接，進而證明，，進而建立空間直角坐標系，利用坐標法求解即可.
【小問1詳解】
證明：連接，
因為在平行六面體中，每一個面均為邊長為2的菱形，
所以，，
因為分別是，的中點
所以，，，
所以，四邊形，均為平行四邊形，
所以，，，
因為菱形中，，
所以，，，
所以，四邊形是平行四邊形，
所以，
因為平面，平面，
所以，平面，平面，
因為平面，
所以，平面平面，
因為是的中點，平面，
所以平面.
【小問2詳解】
解：過點作，垂足為，連接，
因為平面底面，平面底面，平面，
所以，底面，
因為，底面，
所以
因為，側(cè)棱與底面所成的角為60°，
所以，，
因為，
所以，即為中點，
因為底面為菱形，，
所以，，
所以，以為坐標原點，以為軸方向建立空間直角坐標系，
所以，，，，，，，
所以，，
設平面的一個法向量為，
則，即，令得，
所以，，
設平面的一個法向量為，
則，即，令得，
所以，,
所以，平面與平面所成銳二面角的余弦值為
18. 為了豐富孩子們的校園生活，某校團委牽頭，發(fā)起同一年級兩個級部A、B進行體育運動和文化項目比賽，由A部、B部爭奪最后的綜合冠軍．決賽先進行兩天，每天實行三局兩勝制，即先贏兩局的級部獲得該天勝利，此時該天比賽結(jié)束．若A部、B部中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天A部、B部各贏一天，則第三天只進行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍．設每局比賽A部獲勝的概率為，每局比賽的結(jié)果沒有平局且結(jié)果互相獨立．
（1）記第一天需要進行的比賽局數(shù)為X，求，并求當取最大值時p的值；
（2）當時，記一共進行的比賽局數(shù)為Y，求．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）求出X可能取值，并求出對應的概率，得到期望，配方后得到期望最大值時對應的p的值；
（2）先得到雙方前兩天的比分為2∶0或0∶2的概率均為，比分為2∶1或1∶2的概率均為，考慮和兩種情況，分別求出概率，相加即可.
【小問1詳解】
X可能取值為2，3．
；
．
故，
即，則當時，取得最大值．
【小問2詳解】
當時，雙方前兩天的比分為2∶0或0∶2的概率均為；
比分為2∶1或1∶2的概率均為．
，則或．
即獲勝方兩天均2∶0獲勝，不妨設A部勝，
概率為，同理B部勝，概率為，
故；
即獲勝方前兩天的比分為2∶0和2∶1或者2∶0和0∶2再加附加賽，
不妨設最終A部獲勝，
當前兩天的比分為2∶0和2∶1時，
先從兩天中選出一天，比賽比分為2∶1，三場比賽前兩場，A部一勝一負，第三場比賽A獲勝，另外一天比賽比分為2：0，故概率為，
當前兩天比分為2∶0和0∶2，附加賽A獲勝時，兩天中選出一天，比賽比分為2：0，
概率為，
故最終A部獲勝的概率為，
同理B部勝，概率為，
故．
所以．
19. 閱讀材料：
（一）極點與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線G：，則稱點P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點P(，)對應的極線方程.特別地，對于橢圓，與點P(，)對應的極線方程為；對于雙曲線，與點P(，)對應的極線方程為；對于拋物線，與點P(，)對應的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應的關系.
（二）極點與極線的基本性質(zhì)?定理
①當P在圓錐曲線G上時，其極線l是曲線G在點P處的切線；
②當P在G外時，其極線l是曲線G從點P所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）；
③當P在G內(nèi)時，其極線l是曲線G過點P的割線兩端點處的切線交點的軌跡.
結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：
（1）已知橢圓C：經(jīng)過點P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫出與點P對應的極線方程；
（2）已知Q是直線l：上的一個動點，過點Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點分別為M，N，是否存在定點T恒在直線MN上，若存在，當時，求直線MN的方程；若不存在，請說明理由.
【答案】（1），
（2）存在，
【解析】
【分析】(1)根據(jù)題意和離心率求出a、b，即可求解；
(2)利用代數(shù)法證明點Q在橢圓C外，則點Q和直線MN是橢圓C的一對極點和極線.
根據(jù)題意中的概念求出點Q對應的極線MN方程，可得該直線恒過定點T（2,1），利用點差法求出直線的斜率，即可求解.
【小問1詳解】
因為橢圓過點P(4,0)，
則，得，又，
所以，所以，
所以橢圓C的方程為.
根據(jù)閱讀材料，與點P對應的極線方程為，即；
【小問2詳解】
由題意，設點Q的坐標為(,)，
因為點Q在直線上運動，所以，
聯(lián)立，得，
，該方程無實數(shù)根，
所以直線與橢圓C相離，即點Q在橢圓C外，
又QM，QN都與橢圓C相切，
所以點Q和直線MN是橢圓C的一對極點和極線.
對于橢圓，與點Q(,)對應的極線方程為，
將代入，整理得，
又因為定點T的坐標與的取值無關，
所以，解得，
所以存在定點T(2,1)恒在直線MN上.
當時，T是線段MN的中點，
設，直線MN的斜率為，
則，兩式相減，整理得，即，
所以當時，直線MN方程為，即.

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