哈九中2024屆高三學(xué)年上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘  滿分：150分）Ⅰ卷一、單選題：本題共有8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 設(shè)全集，集合，，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】由題意可得,,或，對(duì)于A, 或，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，故B正確，對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤，故選：B2. 已知正實(shí)數(shù)m，n滿足，則的最大值是（    ）A. 2 B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求解即可.【詳解】由于，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故選:B．3. 若實(shí)數(shù)a使得“，”為真命題，實(shí)數(shù)a使得“，”為真命題，則p是q的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先一元二次方程有解及一元二次不等式恒成立求解出和，進(jìn)而根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可求解.【詳解】對(duì)于，，所以，即.對(duì)于，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，則，即.所以p是q的必要不充分條件.故選：B.4. 函數(shù)的圖象可能是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用為奇函數(shù)排除；利用時(shí)，，排除C，從而可求解.【詳解】因?yàn)?/span>定義域?yàn)?/span>，對(duì)于AB，，所以為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故都不正確；對(duì)于C，時(shí)，，所以，所以，故C不正確；對(duì)于D，符合函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，也符合時(shí)，，故D正確.故選：D.5. 若函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】首先，對(duì)勾函數(shù)和都是遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)勾函數(shù)取值要大于或等于指數(shù)式的值，再求交集即可實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，對(duì)勾函數(shù)取值要大于或等于指數(shù)式的值，所以，解之得：，綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍是故選：B6. 設(shè)函數(shù) ?，若?，則?的最小值為（     ）A. ? B. ? C. ? D. ?【答案】A【解析】【分析】由已知結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，然后結(jié)合乘1法，利用基本不等式可求.【詳解】因?yàn)閿?shù)，若所以，即 ，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：A7. 已知是定義在上的偶函數(shù)且在上為減函數(shù)，若，，，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，利用指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>是偶函數(shù)，所以，由，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以，所以，因?yàn)?/span>在上為減函數(shù)，所以，即.故選：A.8. 定義表示兩個(gè)數(shù)中的較小者，表示兩個(gè)數(shù)中的較大者，設(shè)集合都是的含有兩個(gè)元素的子集，且滿足：對(duì)任意的都有，,則的最大值是A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【詳解】根據(jù)題意，對(duì)于M，含2個(gè)元素的子集有個(gè),其中, {1，2}、{2，4}、{3，6}、{4，8}可以任選兩個(gè); {1，3}、{2，6}符合題意; {2，3}、{4，6}符合題意; {3，4}、{6，8}符合題意;即滿足的任意的最多有4個(gè),故的最大值是4,應(yīng)選：C.二、多選題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9. 下列結(jié)論正確的是（    ）A. “”是“”的充分不必要條件B. “”是“”的必要不充分條件C. “，有”的否定是“，使”D. “是方程的實(shí)數(shù)根”的充要條件是“”【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)不等式的范圍判斷A；根據(jù)交集的概念判斷B；全稱量詞命題的否定是存在量詞命題判斷C；將1代入方程求解判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?/span>，所以或，所以“當(dāng)”時(shí)，“”成立，反之不成立，故“”是“”的充分不必要條件，正確；對(duì)于B，“”一定有“”成立，反之不成立，故“”是“”的充分不必要條件，錯(cuò)誤；對(duì)于C，命題“，有”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，即“，使”，正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，1為方程的一個(gè)根，故充分；當(dāng)方程有一個(gè)根為1時(shí)，代入得，故必要，正確；故選：ACD10. 下列各式正確的是（    ）A. 設(shè)，則B. 已知，則C. 若，，則D. 【答案】BCD【解析】【分析】由冪指數(shù)的運(yùn)算可判斷AB,由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及換底公式可判斷CD.【詳解】對(duì)于A, ,故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，故B正確，對(duì)于C,由，得， 所以，故C正確，對(duì)于D，，故D正確，故選：BCD11. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.則下列結(jié)論正確的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和題設(shè)條件，推得是周期為4的周期函數(shù)，結(jié)合周期函數(shù)的性質(zhì)，利用賦值法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，所以，即函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，即，即，又因為偶函數(shù)，所以，即函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則，所以，即，所以，所以是周期為4的周期函數(shù)，令 ，由，可得，可得，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>時(shí)，，所以，可得，即當(dāng)時(shí)，，則，所以B正確；因?yàn)?/span>，，所以一個(gè)周期內(nèi)的和為，則，所以C正確；由，所以D錯(cuò)誤；故選：BC.12. 若，，，則（        ）A.  B.  C.  D. 【答案】BD【解析】【分析】記，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可得，， ，由此能判斷，，的大小關(guān)系．【詳解】記則，所以在單調(diào)遞增，故，記，則，令，解得，故在上單調(diào)遞減，故,即，即，故，記，則，故當(dāng)時(shí)，，故在上是增函數(shù)，故，即，故，故，故選：BD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式大小問(wèn)題：1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，從而判定不等關(guān)系；3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見(jiàn)放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).Ⅱ卷三、填空題：本題共有4個(gè)小題，每小題5分，共20分．13. 已知冪函數(shù)滿足，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，則，解得或，又因?yàn)?/span>，所以，故答案：.14. 《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題，這種方法是后西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無(wú)字證明，現(xiàn)有圖形如圖所示，為線段上的點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，以為直徑作半圓，過(guò)點(diǎn)作的垂線交半圓于，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，若不添加輔助線，則該圖形可以完成的所有無(wú)字證明為_________．（填寫序號(hào)）①②③④【答案】①③【解析】【分析】先明確的幾何意義，即在圖中相對(duì)應(yīng)的線段，根據(jù)直角三角形的相似可得相應(yīng)的比例式，結(jié)合不等關(guān)系，即可證明①③選項(xiàng)；由于在該圖中沒(méi)有相應(yīng)的線段與之對(duì)應(yīng)，可判斷②④選項(xiàng).【詳解】由題意可知，由 可知 ，即，所以；在中，，即當(dāng)時(shí)，點(diǎn)重合， ，此時(shí)，所以①正確；在中，可得即，所以，由于，所以，當(dāng)時(shí)，,此時(shí)，所以③正確；由于在該圖中沒(méi)有相應(yīng)的線段與之對(duì)應(yīng)，故②④中的不等式無(wú)法通過(guò)這種幾何方法來(lái)證明，故答案為：①③．15. 已知函數(shù)，則不等式的解集為______.【答案】【解析】【分析】令，分析函數(shù)的定義域、奇偶性與單調(diào)性，將所求不等式變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于的不等式，解之即可.【詳解】設(shè)，則函數(shù)定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，故函數(shù)為奇函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)、、、均為上的增函數(shù)，故函數(shù)為上的增函數(shù)，因?yàn)?/span>，由可得，可得，所以，，即，解得.因此，不等式的解集為.故答案為：.16. 已知，則最小值為______.【答案】10【解析】【分析】根據(jù)給定的等式求出的關(guān)系式，再求出的最小值，然后利用均值不等式求解作答.【詳解】依題意，，即，則，又，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值10.故答案為：10四、解答題：本題共有6個(gè)小題，共70分．17. 設(shè)函數(shù)，集合（1）證明:.（2）當(dāng)時(shí)，求.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；    （2）.【解析】【分析】（1）按與分類討論，結(jié)合集合包含關(guān)系的定義推理作答.（2）根據(jù)給定條件，結(jié)合韋達(dá)定理求出，再代入解方程作答.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)根，即無(wú)實(shí)根，，此時(shí)恒成立，又方程，即，，顯然，而，因此方程無(wú)實(shí)根，，則，當(dāng)時(shí)，任取，則，于是，即有，因此，所以。【小問(wèn)2詳解】由，得是方程的二根，由，解得，于是，方程，即，整理得，解得，所以.18. 在第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，又稱2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，是由中國(guó)舉辦的國(guó)際性?shī)W林匹克賽事，于2022年2月4日開(kāi)幕，2月20日閉幕，冬奧會(huì)的舉辦為冰雪設(shè)備生產(chǎn)企業(yè)帶來(lái)了新的發(fā)展機(jī)遇.某冰雪裝備器材生產(chǎn)企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為2000萬(wàn)元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本（萬(wàn)元）.經(jīng)計(jì)算，若年產(chǎn)量于件低于100千件，則這x千件產(chǎn)品的成本；若年產(chǎn)量x千件不低于100千件時(shí)，則這x千件產(chǎn)品的成本.每千件產(chǎn)品售價(jià)為100萬(wàn)元，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，我們假設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完.（1）寫出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，企業(yè)所獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】（1）    （2）最大值1000萬(wàn)元，此時(shí)年產(chǎn)量為105千件【解析】【分析】（1）分與兩種情況，求出函數(shù)解析式；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與基本不等式求出分段函數(shù)的最大值.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，∴；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，∴時(shí)，取得最大值，最大值為950，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，因?yàn)?/span>，所以的最大值為1000萬(wàn)元，此時(shí)年產(chǎn)量為105千件.19. 已知的定義域?yàn)?/span>，對(duì)任意都有，當(dāng)時(shí)，（1）求；（2）證明:在上是減函數(shù)；（3）解不等式:.【答案】（1）,    （2）證明見(jiàn)解析    （3）【解析】【分析】（1）由，取特殊值即可求解;（2）由題構(gòu)造，結(jié)合題意可證明單調(diào)性;（3）根據(jù)單調(diào)性解抽象不等式即可.【小問(wèn)1詳解】根據(jù),令，得，解得，再令，則有，解得.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，所以，即，因?yàn)?/span> 所以，所以，即都有，所以上單調(diào)遞減.【小問(wèn)3詳解】由題可知，所以，所以由得，即，即，又因?yàn)?/span>，所以，由（2）知在上單調(diào)遞減，所以，即即，解得.所以，解集為.20. 已知.定義，設(shè).
  （1）若，畫出函數(shù)的圖象并直接寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）定義區(qū)間的長(zhǎng)度.若，則.設(shè)關(guān)于的不等式的解集為.是否存在實(shí)數(shù)，且，使得?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】（1）圖象見(jiàn)解析，遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是；    （2）存在，.【解析】【分析】（1）把代入，求出，再畫出函數(shù)的圖象，求出單調(diào)區(qū)間作答.（2）對(duì)按，進(jìn)行分類討論即可求解作答.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，而時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是，函數(shù)的圖象，如圖，  觀察圖象知，函數(shù)的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為1，函數(shù)的最小值為2，函數(shù)的圖象是函數(shù)和函數(shù)的圖象左右平移后，再取下方圖形而得，因此函數(shù)的最小值為1，若不等式有解，則必有，又函數(shù)的最小值為2，則當(dāng)時(shí)，，即，解得，于是，若，則，解得，矛盾，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，由，即，解得，于是不等式的解集為，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即有，因此，若，則，又，解得，所以存在實(shí)數(shù)滿足條件.21. 如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.（1）求證：；（2）若點(diǎn)為棱上不與端點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，且與平面所成角正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直證得線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的正弦值確定點(diǎn)位置，再利用點(diǎn)到平面的距離公式求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面且平面，故，【小問(wèn)2詳解】∵中，∴，∵平面平面，平面平面，∴平面,平面，∴.以為原點(diǎn)如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,，，，，，，設(shè)，其中，則，取平面法向量，，設(shè)與平面所成角為，，解得（舍）或，則，，，，設(shè)平面的法向量為.，，解得，故.22. 已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，證明:在上恒成立；（3）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求證:.【答案】（1）的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.    （2）證明見(jiàn)解析.    （3）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)即可求出結(jié)果；（2）即證，構(gòu)造，即可證明；（3）分別利用切線放縮進(jìn)行證明.【小問(wèn)1詳解】由，則時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?/span>，，令所以，下證，令，則，當(dāng)時(shí),，當(dāng)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以在上恒成立；【小問(wèn)3詳解】證明：先證右半部分不等式： ；因，，所以；可求曲線在和處的切線分別為和；設(shè)直線與直線，函數(shù)的圖象和直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為則則；因此.再證左半部分不等式：.設(shè)取曲線上兩點(diǎn)，用割線，來(lái)限制，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則，且，所以.綜上可得成立.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法常有：（1）最值法：移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求解最值來(lái)證明；（2）放縮法：通過(guò)構(gòu)造切線或割線，利用切線放縮或者割線放縮來(lái)證明. 

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