黑龍江省哈爾濱市第九中學2023-2024學年高一下學期4月月考數(shù)學試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

1．答題前，考生先將自己的姓名、學生代號填寫在答題卡上.
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 若(，是虛數(shù)單位)，則等于（）
A. B. C. D.
2. 已知中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，則（）
A. B. 或
C. D. 或
3. 已知與為非零向量，，若三點共線，則（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
4. 在中，其內(nèi)角對邊分別為，若，則的形狀是（）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
5. 若兩個非零向量滿足，則向量與的夾角為（）
A. B. C. D.
6. 圣·索菲亞教堂是哈爾濱的標志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對稱之美．為了估算圣·索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建筑物，高約為，在它們之間的地面上的點（三點共線）處測得建筑物頂、教堂頂?shù)难鼋欠謩e是和，在建筑物頂處測得教堂頂?shù)难鼋菫?，則可估算圣索菲亞教堂的高度約為（）
A. B. C. D.
7. 已知邊長為2菱形中，，點為上一動點，點滿足，則的最大值為（）
A. 0B. C. 3D.
8. 在銳角中，角的對邊分別為，為的面積，且，則的取值范圍為（）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知向量，，是與同向的單位向量，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 與共線
B. 單位向量
C. 向量在向量上的投影向量為
D. 若，則
10. 中國南宋時期杰出數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積．把以上文字寫成公式，即（為三角形的面積，、、為三角形的三邊）．現(xiàn)有滿足，且的面積，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 的周長為B. 的三個內(nèi)角滿足
C. 的外接圓半徑為D. 的中線的長為
11. 已知，，是互不相等的非零向量，其中，是互相垂直的單位向量，，記，，，則下列說法正確的是（）
A. 若，則O，A，B，C四點在同一個圓上
B. 若，則的最大值為2
C. 若，則的最大值為
D. 若，則最小值為
三．填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 設是虛數(shù)單位，若復數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，則實數(shù)________．
13. 在中，內(nèi)角所對的邊分別是，且，當時，的最大值是______．
14. 萊洛三角形，也稱圓弧三角形，是一種特殊三角形，在建筑、工業(yè)上應用廣泛，如圖所示，分別以正三角形的頂點為圓心，以邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形即為萊洛三角形，已知兩點間的距離為2，點為上的一點，則的最小值為______．
四、解答題：本題共5小題，滿分77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知向量是同一平面內(nèi)的三個向量，其中．
（1）若，且，求向量的坐標；
（2）若是單位向量，且，求與的夾角.
16. 已知的內(nèi)角的對邊分別為，滿足．
（1）求角的大??；
（2）若的面積為，求的周長和外接圓的面積．
17. 在中，角對邊分別為，且．
（1）證明：為直角三角形；
（2）當時，求周長的最大值．
18. 如圖,在中,的平分線交邊于點,點在邊上,,,.

（1）求大小;
（2）若,求的面積.
19. 如圖，在中，已知邊上的中點為邊上的中點為相交于點．
（1）求；
（2）求與夾角的余弦值；
（3）過點作直線交邊于點，求該直線將成的上下兩部分圖形的面積之比的最小值．哈爾濱市第九中學2023-2024學年度下學期
4月份月考高一學年數(shù)學學科試卷
注意事項：
1．答題前，考生先將自己的姓名、學生代號填寫在答題卡上.
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 若(，是虛數(shù)單位)，則等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)相等的條件，求得的值，即可求解.
【詳解】因為，即，所以，
所以.
故選：B.
2. 已知中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，則（）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理求出，從而求出.
【詳解】由正弦定理，即，解得，
又，所以或.
故選：D
3. 已知與為非零向量，，若三點共線，則（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)三點共線可得向量共線，由此結(jié)合向量的相等列式求解，即得答案.
詳解】由題意知，三點共線，故,
且共線，
故不妨設，則，
所以，解得，
故選：D
4. 在中，其內(nèi)角的對邊分別為，若，則的形狀是（）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】由余弦定理化角為邊得，即可判斷三角形形狀.
【詳解】因為，所以由余弦定理得，
所以，所以，所以等腰三角形.
故選：A.
5. 若兩個非零向量滿足，則向量與的夾角為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)向量模的關系式，可選擇設，化簡此式推得，求得，繼而利用向量的夾角公式即可求得.
【詳解】設，則.
由，可得，
故以為鄰邊的平行四邊形是矩形，且，
設向量與的夾角為θ，則cs θ＝,
又，所以.
故選：D.
6. 圣·索菲亞教堂是哈爾濱的標志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對稱之美．為了估算圣·索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建筑物，高約為，在它們之間的地面上的點（三點共線）處測得建筑物頂、教堂頂?shù)难鼋欠謩e是和，在建筑物頂處測得教堂頂?shù)难鼋菫?，則可估算圣索菲亞教堂的高度約為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出.
【詳解】由題可得在直角中，，，所以，
在中，，，
所以，
所以由正弦定理可得，所以，
則在直角中，，即圣·索菲亞教堂的高度約為.
故選：B
7. 已知邊長為2菱形中，，點為上一動點，點滿足，則的最大值為（）
A. 0B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立如圖平面直角坐標系，設，利用平面向量線性運算與數(shù)量積的坐標表示可得關于的表達式，從而得解.
【詳解】如圖，以A為原點建立平面直角坐標系，
則，
則，
由題意，設，則，
則，
所以，
因為，所以當時，的最大值為3.
故選：C
8. 在銳角中，角的對邊分別為，為的面積，且，則的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由三角形面積公式及余弦定理得到，結(jié)合同角三角函數(shù)關系得到，，由正弦定理得到，且根據(jù)三角形為銳角三角形，得到，求出，利用對勾函數(shù)得到的最值，求出的取值范圍.
【詳解】由三角形面積公式可得：，故，
，故，
因為，所以，
解得：或0，
因為為銳角三角形，所以舍去，
故，，
由正弦定理得：
，
其中，
因為為銳角三角形
所以，故，所以，，
，，
令，則為對勾函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，
又，
因為，所以，
則.
故選：C
【點睛】解三角形中求解取值范圍問題，通常有兩種思路，一是利用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，利用基本不等式進行求解，二是利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，結(jié)合三角函數(shù)的圖象，求出答案.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知向量，，是與同向的單位向量，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 與共線
B. 單位向量
C. 向量在向量上的投影向量為
D. 若，則
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)向量共線、單位向量、投影向量和向量垂直的坐標表示依次判斷各個選項即可.
【詳解】對于A，，不存在實數(shù)，使得，則與不共線，A錯誤；
對于B，，B正確；
對于C，在上的投影向量為，C錯誤；
對于D，，，D正確.
故選：BD.
10. 中國南宋時期杰出數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積．把以上文字寫成公式，即（為三角形的面積，、、為三角形的三邊）．現(xiàn)有滿足，且的面積，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 的周長為B. 的三個內(nèi)角滿足
C. 的外接圓半徑為D. 的中線的長為
【答案】AB
【解析】
【分析】對于選項A，由正弦定理得三角形三邊之比，由面積求出三邊，代入公式即可求出周長；
對于選項B，根據(jù)余弦定理可求得的值為，可得，可得三個內(nèi)角，，成等差數(shù)列；
對于選項C，由正弦定理可得，外接圓直徑；根據(jù)可求得，由可得的值；
對于選項D，由余弦定理得，在中，由余弦定理即可求得.
【詳解】A項：設的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，
因為，所以由正弦定理可得，設，，，因為，所以，
解得，則，，，故的周長為，A正確；
B項：因為，
所以，，故B正確；
C項：因為，所以，由正弦定理得，，C錯誤；
D項：由余弦定理得，在中，，由余弦定理得，解得，D錯誤.
故選：AB．
11. 已知，，是互不相等的非零向量，其中，是互相垂直的單位向量，，記，，，則下列說法正確的是（）
A. 若，則O，A，B，C四點在同一個圓上
B. 若，則的最大值為2
C. 若，則的最大值為
D. 若，則的最小值為
【答案】AD
【解析】
【分析】對于A選項，，后由可得答案.
對于B選項，由A分析可知，O，A，B，C四點在同一個圓上.又，則其長度為圓上弦的長度.
對于C選項，由題可得A，B，C均在以為圓心、1為半徑的圓上，設，又，則.
表示出后可得答案.
對于D選項，由結(jié)合C選項分析，得，
又由，可得，后由重要不等式可得答案.
【詳解】對于A選項，如圖，若，則，所以，又，所以，所以O，A，B，C四點在同一個圓上，故A正確；
對于B選項，若，由A選項知，O，A，B，C四點在同一個圓上，
又，則其長度為圓上弦的長度.當線段為該圓的直徑時，最大，且最大值等于，故B錯誤；
對于C選項，由題可得A，B，C均在以為圓心、1為半徑的圓上，
設，又，則
.其中.
則
，
當時取等號.故C錯誤.
對于D選項，由C選項分析結(jié)合可知.
又，則
，
則由重要不等式有：.
得，當且僅當時取等號.故D正確.
故選：AD
【點睛】關鍵點點睛：本題涉及向量，三角函數(shù).判斷A，B選項關鍵為能由得到，從而可以得到O，A，B，C四點在同一個圓上.
判斷C，D選項關鍵，為利用A，B，C在單位圓上設出其坐標，后利用向量坐標表示結(jié)合三角函數(shù)，不等式知識解決問題.
三．填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 設是虛數(shù)單位，若復數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，則實數(shù)________．
【答案】5
【解析】
【分析】根據(jù)已知結(jié)合復數(shù)的定義列式，即可解出答案．
【詳解】復數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，
，解得．
故答案為：
13. 在中，內(nèi)角所對的邊分別是，且，當時，的最大值是______．
【答案】3
【解析】
【分析】由同角的三角函數(shù)關系解方程得到，再由余弦定理結(jié)合基本不等式求出結(jié)果即可.
【詳解】因為，即，
解得，
因為，所以
由余弦定理可得
，當且僅當時取等號，
所以最大值是3，
故答案為：3.
14. 萊洛三角形，也稱圓弧三角形，是一種特殊三角形，在建筑、工業(yè)上應用廣泛，如圖所示，分別以正三角形的頂點為圓心，以邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形即為萊洛三角形，已知兩點間的距離為2，點為上的一點，則的最小值為______．
【答案】
【解析】
【分析】利用平面向量的線性運算及向量數(shù)量積的運算將所求式子表示為，再利用三角形的幾何意義求解即可.
【詳解】設為的中點，為的中點，如圖所示，
則
，
在正三角形中，，
所以，
所以，
因為，
所以，
所以的最小值為：
.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，滿分77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知向量是同一平面內(nèi)的三個向量，其中．
（1）若，且，求向量的坐標；
（2）若是單位向量，且，求與的夾角.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）設，由，且，列出方程組，求得的值，即可求解；
（2）由，求得，利用向量的夾角公式，求得，即可求解.
【小問1詳解】
解：設，因為，且，
可得，解得或，
所以或.
【小問2詳解】
解：因為，且為單位向量，可得，，
又因為，可得，所以，
則，
因為，所以.
16. 已知的內(nèi)角的對邊分別為，滿足．
（1）求角的大??；
（2）若的面積為，求的周長和外接圓的面積．
【答案】（1）；
（2）的周長為8，外接圓的面積為.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理，將題干條件進行轉(zhuǎn)化，得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為以及誘導公式，即可求得角的大?。?br>（2）由正弦定理可以直接得到外接圓半徑進而得到外接圓面積；由三角形面積公式得到的值，再利用余弦定理求得的值，進而得到的周長.
【小問1詳解】
由正弦定理得，即，
又因為，所以，
所以，又因為，所以，
所以，.
【小問2詳解】
由正弦定理得，所以外接圓半徑，
所以外接圓面積為，
，所以，
由余弦定理得，
即，解得，
所以的周長的周長為.
17. 在中，角的對邊分別為，且．
（1）證明：為直角三角形；
（2）當時，求周長的最大值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由降冪公式和余弦定理解三角形可得；
（2）利用三角函數(shù)把邊長表示成角，再用輔助角公式表示出周長，最后利用正弦函數(shù)的值域求出最值.
【小問1詳解】
證明：因為，即，
由余弦定理可得，
化簡可得，
所以為直角三角形.
【小問2詳解】
由（1）可得為直角三角形的斜邊，
所以兩直角邊長分別為，
所以設周長為，則，
因為，
所以，即時，周長取得最大值，最大值為.
18. 如圖,在中,的平分線交邊于點,點在邊上,,,.

（1）求的大小;
（2）若,求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）因為是的角平分線,所以,在中利用余弦定理求出的長,再次利用余弦定理即可求出的大小.
（2）在中,由正弦定理求出的長,再根據(jù)四邊形內(nèi)角和為可得到,從而求出的值,再利用三角形面積公式求解即可.
【小問1詳解】
因為是的角平分線,所以,
在中,根據(jù)余弦定理得,
所以,
則,
因為,
所以.
【小問2詳解】
因為,所以,
在中,由正弦定理得,
在四邊形中,,
所以,
則.
19. 如圖，在中，已知邊上的中點為邊上的中點為相交于點．
（1）求；
（2）求與夾角的余弦值；
（3）過點作直線交邊于點，求該直線將成的上下兩部分圖形的面積之比的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）在中利用余弦定理求解；
（2）建立平面直角坐標系，根據(jù)，得到點坐標，再根據(jù)向量夾角的坐標運算即可得到兩向量夾角的余弦值；
（3）根據(jù)中線得到是的重心，設出線段的比例關系，表示出上下兩部分的面積之比，用向量共線的條件消去變量，最后得到面積之比的最小值.
【小問1詳解】
中，，，，
由余弦定理得，解得（負值舍去）.
【小問2詳解】
以為坐標原點，以為軸，以過且與垂直為軸建立平面直角坐標系，如圖，
則，，設，
由得，由得，
解得（負值舍去），所以，
又因為邊上的中點為，邊上的中點為，所以，，
所以，，
則，，，
所以，
即與夾角的余弦值為.
【小問3詳解】
因為為的中點，為的中點，所以、是的中線，
所以與的交點是的重心，則，
設，，
則，
因為、、三點共線，所以，得，
又因為，，所以，，，
所以，，
即，所以，
，
所以上下兩部分面積之比，
因為，所以，
所以上下兩部分圖形的面積之比的最小值為.

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