?2020-2021學(xué)年江蘇省蘇州市常熟市高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．（5分）已知集合，1，，，則　　
A．， B．，1， C． D．
2．（5分）命題“，，”的否定是　　
A．， B．，
C．，， D．，，
3．（5分）下列命題正確的是　　
A．若，則 B．若，則
C．若，且，則 D．若，，則
4．（5分）已知函數(shù)，則不等式的解集是　　
A． B． C． D．
5．（5分）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是　　
A．， B．， C．， D．，
6．（5分）“為無理數(shù)”是“為無理數(shù)”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
7．（5分）若實數(shù)滿足，則的取值范圍是　　
A． B．，，
C． D．，，
8．（5分）兩次購買同一種物品，可以用兩種不同的策略．第一種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品的數(shù)量一定；第二種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定．已知兩次購買時物品的價格分別為和，按第二種購物方式購買物品的平均價格為2，則按第一種購物方式每次購買36件物品的總花費的最小值是　　
A．36 B．72 C．144 D．180
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，選對但不全的得3分，選錯或不答的得0分.
9．（5分）已知函數(shù)的定義域為，，值域為，，則實數(shù)對的可能值為　　
A． B． C． D．
10．（5分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，在區(qū)間上稱為凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)：，，有，則下列函數(shù)在區(qū)間上是凸函數(shù)的是　　
A． B． C． D．
11．（5分）有關(guān)函數(shù)，下列說法正確的是　　
A．存在實數(shù)，，，使是奇函數(shù)
B．若在上為單調(diào)增函數(shù)，則
C．若是偶函數(shù)，則，
D．在區(qū)間，上沒有最小值
12．（5分），表示不超過的最大整數(shù)，例如，．十八世紀(jì)，函數(shù)被“數(shù)學(xué)王子”高斯采用，因此得名高斯函數(shù)，人們更習(xí)慣稱之為“取整函數(shù)”．則下列命題中是真命題的是　　
A．， B．，，
C．， D．函數(shù)的值域為，
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.
13．（5分）已知函數(shù)，則（3）　?。?br /> 14．（5分）設(shè)集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是　?。?br /> 15．（5分）已知函數(shù)，若有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是　?。?br /> 16．（5分）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的最大值為　?。?br /> 四、解答題：本題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）設(shè)，，，，．
（1）分別求，；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍．
18．（12分）已知為二次函數(shù)，且的兩個零點為1和3，為冪函數(shù)，且和都經(jīng)過點．
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）當(dāng)，時，求函數(shù)的值域．
19．（12分）已知，：關(guān)于的不等式恒成立．
（1）當(dāng)時，成立，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍．
20．（12分）如圖，已知等腰三角形中，米，米，點從點沿直線運動到點即停止，設(shè)點的運動速度是米秒，運動時間為秒．過作的垂線，記直線左側(cè)部分的多邊形為，的面積為．
（1）求的表達式；
（2）記的面積在秒內(nèi)的平均變化速率為，求的最大值．

21．（12分）我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．
（1）類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)的圖象關(guān)于軸成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)”的一個推廣結(jié)論，不需要證明；
（2）若定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且當(dāng)時，．
①比較，，（2）的大??；
②求不等式的解集．
22．（12分）如果函數(shù)在定義域的某個區(qū)間，上的值域恰為，，則稱函數(shù)為，上的倍域函數(shù)，，為函數(shù)的一個倍域區(qū)間．已知函數(shù)，且不等式的解集為．
（1）求實數(shù)，的值；
（2）設(shè)，那么當(dāng)時，是否存在區(qū)間，，使得函數(shù)為，上的倍域函數(shù)？若存在，請求出區(qū)間，；若不存在，請明理由．

2020-2021學(xué)年江蘇省蘇州市常熟市高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．（5分）已知集合，1，，，則　　
A．， B．，1， C． D．
【分析】求出集合，利用交集定義直接求解．
【解答】解：集合，1，，
，
，．
故選：．
【點評】本題考查補集、交集的求法，考查補集、交集定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
2．（5分）命題“，，”的否定是　　
A．， B．，
C．，， D．，，
【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進行求解即可．
【解答】解：命題是全稱命題，則命題的否定是特稱命題，
即，，，
故選：．
【點評】本題主要考查含有量詞的命題的否定，根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題是解決本題的關(guān)鍵．
3．（5分）下列命題正確的是　　
A．若，則 B．若，則
C．若，且，則 D．若，，則
【分析】根據(jù)個選項所給條件，取特殊值即可判斷；由不等式是的基本性質(zhì)，結(jié)合作差法即可判斷．
【解答】解：．根據(jù)，取，，則不成立，故錯誤；
．根據(jù)，取，，則不成立，故錯誤；
．根據(jù)，可知，，，故正確；
．根據(jù)，，取，，則不成立，故錯誤．
故選：．
【點評】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．
4．（5分）已知函數(shù)，則不等式的解集是　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式作出的圖象，由圖象得到的單調(diào)性，列出關(guān)于的不等式求解出的范圍即為不等式解集．
【解答】解：的圖象如下圖所示：
由圖象可知：在上單調(diào)遞增，
，，
得，即，解得．
不等式的解集為．
故選：．

【點評】本題考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，已知函數(shù)的單調(diào)性，可將函數(shù)值之間的不等關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞恐g的不等關(guān)系，從而求解出相應(yīng)自變量的取值范圍，屬于中檔題．
5．（5分）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0求得函數(shù)的定義域，再求出內(nèi)層函數(shù)二次函數(shù)的減區(qū)間得答案．
【解答】解：由，得或，
則函數(shù)的定義域為，，，
令，該函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，其對稱軸方程為，
且在，上是減函數(shù)，而外層函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，．
故選：．
【點評】本題主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．
6．（5分）“為無理數(shù)”是“為無理數(shù)”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【分析】“為無理數(shù)”，則必然為無理數(shù)；而為無理數(shù)，例如取，則為實數(shù)．即可判斷出關(guān)系．
【解答】解：“為無理數(shù)”，則必然為無理數(shù)，否則為實數(shù)；
而為無理數(shù)，例如取，則為實數(shù)．
因此“為無理數(shù)”是“為無理數(shù)”必要不充分條件．
故選：．
【點評】本題考查了無理數(shù)的意義及其性質(zhì)、充要條件的判定，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
7．（5分）若實數(shù)滿足，則的取值范圍是　　
A． B．，，
C． D．，，
【分析】問題轉(zhuǎn)化為，整理得到，結(jié)合分母不為0，解出即可．
【解答】解：，
，
，
，解得：，
而，則：且，
故不等式的解集是，，
故選：．
【點評】本題考查了不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道基礎(chǔ)題．
8．（5分）兩次購買同一種物品，可以用兩種不同的策略．第一種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品的數(shù)量一定；第二種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定．已知兩次購買時物品的價格分別為和，按第二種購物方式購買物品的平均價格為2，則按第一種購物方式每次購買36件物品的總花費的最小值是　　
A．36 B．72 C．144 D．180
【分析】設(shè)第一次與第二次購物的價格分別為，，分別求出兩次購物的平均價格，把，代入可得，再寫出按第一種策略的總花費，然后利用基本不等式求最值．
【解答】解：設(shè)第一次與第二次購物的價格分別為，，
按第一種策略，每次購，則兩次的平均價格為；
按第二種策略，第一次花元，購入物品，第二次仍花元，購入物品，
兩次平均價格為．
由題意得，，，，即，
則按第一種策略的總花費
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立．
故選：．
【點評】本題考查函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，考查運算求解能力，是中檔題．
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，選對但不全的得3分，選錯或不答的得0分.
9．（5分）已知函數(shù)的定義域為，，值域為，，則實數(shù)對的可能值為　　
A． B． C． D．
【分析】畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象即可判斷出實數(shù)對的可能值．
【解答】解：畫出函數(shù)的圖象，如圖所示：，
由圖象可知，當(dāng)定義域為或或時，值域為，，
當(dāng)定義域為時，值域為，，
故選：．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．
10．（5分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，在區(qū)間上稱為凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)：，，有，則下列函數(shù)在區(qū)間上是凸函數(shù)的是　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)題意，按定義分析可得若在區(qū)間上稱為凸函數(shù)，可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，若在區(qū)間上稱為凸函數(shù)，即當(dāng)且僅當(dāng)，，有成立，
依次分析選項：
對于，，在區(qū)間上，有，
，
所以有，
可得成立，不符合題意，
對于，，在區(qū)間上，有，
，
可得成立，符合題意，
對于，，在區(qū)間上，有，
，
有成立，符合題意，
對于，，在區(qū)間上，有，
，
可得成立，不符合題意，
故選：．
【點評】本題考查函數(shù)的圖象分析，注意分析“凸函數(shù)”的函數(shù)圖象特點，屬于基礎(chǔ)題．
11．（5分）有關(guān)函數(shù)，下列說法正確的是　　
A．存在實數(shù)，，，使是奇函數(shù)
B．若在上為單調(diào)增函數(shù)，則
C．若是偶函數(shù)，則，
D．在區(qū)間，上沒有最小值
【分析】選項，利用奇偶性的定義即可求解，選項，求出函數(shù)的單調(diào)性即可求解．
【解答】解：選項：若函數(shù)是奇函數(shù)，則，
設(shè)，則，所以，
所以有且，所以存在，，滿足函數(shù)是奇函數(shù)，正確，
選項：若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，
即在上恒成立，只需，所以，錯誤，
選項：若函數(shù)是偶函數(shù)，則，
設(shè)，則，所以，所以且，正確，
選項：當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則當(dāng)時，函數(shù)有 最小值，錯誤，
故選：．
【點評】本題考查了分段函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性和最值問題，考查了學(xué)生的的運算轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．
12．（5分），表示不超過的最大整數(shù)，例如，．十八世紀(jì)，函數(shù)被“數(shù)學(xué)王子”高斯采用，因此得名高斯函數(shù)，人們更習(xí)慣稱之為“取整函數(shù)”．則下列命題中是真命題的是　　
A．， B．，，
C．， D．函數(shù)的值域為，
【分析】由“取整函數(shù)”的定義可判斷選項，；由“取整函數(shù)”的定義及不等式的性質(zhì)可判斷選項，．
【解答】解：由定義得：，故對，，故錯誤；
由定義可得，對，，，，，，，
所以，，
所以，故正確；
由定義得，故錯誤；
由定義，所以，所以函數(shù)的值域是，，故正確．
故選：．
【點評】本題考查函數(shù)新定義，正確理解新定義是解題基礎(chǔ)，由新定義把問題轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系是解題關(guān)鍵，
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.
13．（5分）已知函數(shù)，則（3）　?。?br /> 【分析】推導(dǎo)出（3）（2）（1），由此能求出結(jié)果．
【解答】解：函數(shù)，
（3）（2）（1）．
故答案為：．
【點評】本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
14．（5分）設(shè)集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是　，　．
【分析】由集合，，由題意得是非空集合，得到有解，故△，由此能求出實數(shù)的取值范圍．
【解答】解：集合，，
由題意得，是非空集合，
有解，
△，
解得，
實數(shù)的取值范圍是，．
故答案為：，．
【點評】本題考查集合的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意一元二次方程的根有判別式的合理運用，屬于基礎(chǔ)題．
15．（5分）已知函數(shù)，若有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是　，　．
【分析】由函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為方程的根，再轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點問題，再利用數(shù)形結(jié)合即可求解．
【解答】解：令，則，
所以問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)有三個不同的交點，
函數(shù)圖象如圖所示：
利用數(shù)形結(jié)合可得實數(shù)的取值范圍為：，，
故答案為：，．
【點評】本題考查了函數(shù)的零點與方程根的問題，涉及到數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．
16．（5分）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的最大值為　16?。?br /> 【分析】由題意得且（1），由此求出且，由此可得．利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，可得在區(qū)間、上是增函數(shù)，在區(qū)間，、，上是減函數(shù)，結(jié)合，即可得到的最大值．
【解答】解：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
且（1），
即且，
解之得，
因此，，
求導(dǎo)數(shù)，得，
令，得，，，
當(dāng)時，；當(dāng)，時，；
當(dāng)時，； 當(dāng)，時，
在區(qū)間、上是增函數(shù)，在區(qū)間，、，上是減函數(shù)．
又，
的最大值為16．
故答案為：16．
【點評】本題給出多項式函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，求函數(shù)的最大值．著重考查了函數(shù)的奇偶性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值求法等知識，屬于中檔題．
四、解答題：本題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）設(shè)，，，，．
（1）分別求，；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍．
【分析】（1）先求出，，，由此能求出，，．
（2）由，得，由此能求出的取值范圍．
【解答】解：（1），，
又由，可得，解得，
，，
，，，
，，．
（2），，
，，，
，解得，
的取值范圍．
【點評】本題考查交集、補集、并集、實數(shù)值的求法，考查交集、補集、并集、子集等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．
18．（12分）已知為二次函數(shù)，且的兩個零點為1和3，為冪函數(shù)，且和都經(jīng)過點．
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）當(dāng)，時，求函數(shù)的值域．
【分析】先利用待定系數(shù)法求出函數(shù)和的解析式，
（1）得到函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的定義域即可．
（2）得到函數(shù)的解析式，令，則，，所以，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域．
【解答】解：設(shè)，，
又過點，
，解得，
，
設(shè)為常數(shù)），由都過點知，
，
，
（1），
，
解得：或，
函數(shù)的定義域為：，，．
（2）令，
，，，，
，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以函數(shù)的值域為，．
【點評】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題．
19．（12分）已知，：關(guān)于的不等式恒成立．
（1）當(dāng)時，成立，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍．
【分析】（1）由△得含的不等式，解之得的取值范圍；
（2）把是的充分條件轉(zhuǎn)化為，，恒成立，即，進而求出實數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）當(dāng)時，成立，則△，解得，
即的取值范圍為，
（2）由，解得，即，，
是的充分條件，
，，恒成立，
，
若，則恒成立，
若，，則，，
，
，
由于，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
，
故的范圍為．
【點評】本題考查了充分必要條件，考查解不等式問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
20．（12分）如圖，已知等腰三角形中，米，米，點從點沿直線運動到點即停止，設(shè)點的運動速度是米秒，運動時間為秒．過作的垂線，記直線左側(cè)部分的多邊形為，的面積為．
（1）求的表達式；
（2）記的面積在秒內(nèi)的平均變化速率為，求的最大值．

【分析】（1）對分情況討論，分別求出的解析式，最后寫成分段函數(shù)即可．
（2）由的解析式求出的解析式，當(dāng)時，利用單調(diào)性求出的最大值，當(dāng)時，利用基本不等式求出的最大值，再比較兩者的大小，取較大者即為的最大值．
【解答】解：（1）當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，
所以．
（2），
當(dāng)時，，在，上單調(diào)遞增，
時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，，
又，
．
【點評】本題主要考查了分段函數(shù)的實際應(yīng)用，考查了利用基本不等式求最值，是中檔題．
21．（12分）我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．
（1）類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)的圖象關(guān)于軸成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)”的一個推廣結(jié)論，不需要證明；
（2）若定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且當(dāng)時，．
①比較，，（2）的大??；
②求不等式的解集．
【分析】（1）直接利用已知條件得出結(jié)論；
（2）①利用函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用判定函數(shù)結(jié)論；
②利用函數(shù)的單調(diào)性整理成不等式的解法，進一步求出結(jié)果．
【解答】解：（1）函數(shù)的圖象關(guān)于成軸對稱圖形的充要條件為為偶函數(shù)，
（2）①設(shè)，則，
由于，
所以，，
所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．
由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以（2），
又，
所以（2），
②由，
所以，
即，
所以不等式的的解集為．
【點評】本題考查的知識要點：函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，不等式的解法，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題．
22．（12分）如果函數(shù)在定義域的某個區(qū)間，上的值域恰為，，則稱函數(shù)為，上的倍域函數(shù)，，為函數(shù)的一個倍域區(qū)間．已知函數(shù)，且不等式的解集為．
（1）求實數(shù)，的值；
（2）設(shè)，那么當(dāng)時，是否存在區(qū)間，，使得函數(shù)為，上的倍域函數(shù)？若存在，請求出區(qū)間，；若不存在，請明理由．
【分析】（1）由不等式的解集為推出的根是和4，利用根與系數(shù)的關(guān)系就可以求得、的值；
（2）假設(shè)存在區(qū)間，使命題成立，利用題干中的定義判斷，所在區(qū)間得到，進而判斷所需條件是否存在．
【解答】解：（1）不等式的解集為，
的根為，4，即的根為，4．
；解得：，．
（2），
若存在區(qū)間，使函數(shù)為，上的倍域函數(shù)，
則，由已知，可得：，
在，上單調(diào)遞減，
，即
解得：，
，，
又，

存在，滿足題意．
【點評】本題（1）考察了一元二次不等的解集與相應(yīng)一元二次方程實根的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，（2）考察了對新概念的理解以及探索性問題的求解方法，其中還考察了不等式和方程組的解法，綜合性強，難度較大．
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日期：2021/2/23 14:23:11；用戶：高中數(shù)學(xué)12；郵箱：sztdjy76@xyh.com；學(xué)號：26722394

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