滿分：150分；考試時間：120分鐘；出題人：覃永飛；審題人：陳蘭
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.
1. 下列各組對象不能構(gòu)成集合的是（ ）
A. 參加杭州亞運(yùn)會的全體乒乓球選手B. 小于5的正整數(shù)
C. 2023年高考數(shù)學(xué)難題D. 所有無理數(shù)
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)集合的意義，逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對于A，參加杭州亞運(yùn)會的全體乒乓球選手明確可知，可以構(gòu)成集合；
對于B，小于5的正整數(shù)明確可知，可以構(gòu)成集合；
對于C，2023年高考數(shù)學(xué)難題模棱兩可，給定一個2023年高考數(shù)學(xué)題不能判斷其是否是難題，不能構(gòu)成集合；
對于D，無理數(shù)明確可知，可以構(gòu)成集合.
故選：C
2. 命題“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題可得答案.
【詳解】命題“”否定是“”.
故選：A.
3. 若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑒t的圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依次判斷各選項(xiàng)中的函數(shù)是否滿足定義域和值域要求即可.
【詳解】對于A，函數(shù)在處有意義，不滿足定義域?yàn)椋珹錯誤；
對于B，函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，滿足題意，B正確；
對于C，函數(shù)在處有意義，不滿足定義域?yàn)?，C錯誤；
對于D，函數(shù)在處有意義，不滿足定義域?yàn)椋珼錯誤.
故選：B.
4. 對于任意實(shí)數(shù) ，以下四個命題中的真命題是（ ）
A. 若，，則B. 若 ，，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】D
【解析】
【分析】采用舉反例的方法，可判斷,利用不等式性質(zhì)可判斷D.
【詳解】若，當(dāng),則,A錯誤；
若 ，，取，滿足條件，但，B錯誤；
若，取 ，則，C錯誤；
若，則必有 ，故，則，D正確，
故選：D
5. 已知命題：為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題設(shè)為真命題，討論、，結(jié)合一元二次不等式恒成立列不等式求參數(shù)范圍.
【詳解】由題設(shè)，為真命題，
當(dāng)時，恒成立，滿足；
當(dāng)時，.
綜上，
故選：D
6. 設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式解集為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性分析運(yùn)算即可得解.
【詳解】解：∵奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，
∴在上增函數(shù)，，
則不等式等價為不等式，即.
∴當(dāng)時，，由函數(shù)在上為增函數(shù)，得：；
當(dāng)時，，由函數(shù)在上為增函數(shù)，得：；
∴不等式的解集為.
故選：B.
7. 已知是上的增函數(shù)，那么的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)是R上的增函數(shù)，列出不等式組，解該不等式組即可得答案．
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，
所以，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：C.
8. 已知，若，則的最小值為（ ）
A 5B. 6C. 7D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】由乘“1”法將變形為，結(jié)合基本不等式即可求解.
【詳解】由題意，且，
所以由基本不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，
綜上所述：的最小值為9.
故選：D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 在下列函數(shù)中，最小值是2的函數(shù)為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】對于A、D：直接利用基本不等式進(jìn)行計(jì)算即可；
對于B、C：利用基本不等式取等號的條件不滿足可以判斷；
【詳解】對于A：因?yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)即時等號成立）.故A正確；
對于B：取等號的條件為，但是不能取得.故B錯誤；
對于C：，取等號的條件為，此時無解，所以選項(xiàng)C錯誤；
對于D：，（當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立）.故D正確；
故選：AD
【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：
(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；
(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方．
10. 下列說法正確的有（ ）
A. 不等式的解集是B. 若，則的最小值為3
C. 若，則的最小值為4D. “”是“”的必要不充分條件
【答案】CD
【解析】
【分析】A解分式不等式求解集判斷；B、C利用基本不等式求目標(biāo)式的最值，注意取值條件是否成立；D由充分、必要性定義判斷即可.
【詳解】A：，解集為，錯；
B：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
顯然，等號不成立，故最小值不為3，錯；
C：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即最小值為4，對；
D：必有，但反之不一定成立，故“”是“”的必要不充分條件，對.
故選：CD
11. 對任意集合，記且，則稱為集合的對稱差，例如，若，，則，下列命題中為真命題的是（ ）
A. 若且，則
B. 若且，則
C. 存在，使得
D. 若且 ，則
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)對稱差的定義及交、并、補(bǔ)運(yùn)算，逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】對于A，因?yàn)?，所以且?br>即與是相同的，所以，故本選項(xiàng)符合題意；
對于B，因?yàn)椋郧遥?br>所以AB，且B中的元素不能出現(xiàn)在中，因此，故本選項(xiàng)符合題意；
對于C，時，，，故本選項(xiàng)符合題意；
對于D，因?yàn)?，所以且，所以BA，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：ABC．
12. 已知函數(shù)的定義域均為，且,，若的圖象關(guān)于直線對稱，則以下說法正確的是（ ）
A. 為奇函數(shù)B.
C. ，D. 若的值域?yàn)椋瑒t
【答案】BCD
【解析】
【分析】由得，與聯(lián)立得，再結(jié)合的圖象關(guān)于直線對稱，可得的周期、奇偶性、對稱中心，可依次驗(yàn)證各選項(xiàng)正誤.
【詳解】，，
，，
關(guān)于對稱，，
，，，
，故C正確；
關(guān)于對稱，，，為偶函數(shù)，
，，，，，為偶函數(shù)，故A錯誤；
，圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，
存在一對最小值點(diǎn)與最大值點(diǎn)也關(guān)于對稱 ，
，故D正確；
由得，又，所以，
由得，所以，故B正確；
故選：BCD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對含有混合關(guān)系的抽象函數(shù)，要探求性質(zhì)首先要消去一個函數(shù)只剩下另一下函數(shù)，消去其中一個函數(shù)的方法就是對進(jìn)行合理的賦值，組成方程組消去一個函數(shù)，再考查剩余函數(shù)的性質(zhì). 對抽象函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性以及圖象的對稱性的綜合應(yīng)用，解決該問題應(yīng)該注意的事項(xiàng)：
（1）賦值法使用，注意和題目條件作聯(lián)系；
（2）轉(zhuǎn)化過程要以相關(guān)定義為目的，不斷轉(zhuǎn)變.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分
13. 不等式的解集是__________________.
【答案】
【解析】
【分析】利用分式不等式的解法進(jìn)行求解即可.
【詳解】，
，解得，
不等式的解集為.
故答案為：.
14. 已知集合，集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】
【分析】由題意，若，則，求解即可
【詳解】由題意，集合，集合
若
則，解得
故實(shí)數(shù)的取值范圍為
故答案為：
15. 已知定義在R上的函數(shù)分別是奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則___________．
【答案】
【解析】
【分析】由題可得，然后利用奇偶性的定義即求，，最后計(jì)算即可；
【詳解】∵，
∴.
由是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，可有，，
代入上式，，
則有，；
則.
故答案為：.
16. 已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，對任意，都有成立，當(dāng)，且時，都有，有下列命題：
①； ②函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱；
③函數(shù)在上有5個零點(diǎn)；④函數(shù)在上為減函數(shù)．
則以上結(jié)論正確的是___________．
【答案】①②
【解析】
【分析】由題意分析的對稱性 、單調(diào)性、周期性，對結(jié)論逐一判斷.
【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是上的奇函數(shù)，則；
由得，即
所以是函數(shù)的一條對稱軸；
又由為奇函數(shù)，則，
變形可得，則有，
故函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，
當(dāng)，且時，都有，
則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，又由是上的奇函數(shù)，
則在區(qū)間上單調(diào)遞增；
據(jù)此分析選項(xiàng)：
對于①，，則，
，故①正確；
對于②，是函數(shù)的一條對稱軸，且函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則是函數(shù)的一條對稱軸，又由函數(shù)為奇函數(shù)，則直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故②正確；
對于③，函數(shù)在上有7個零點(diǎn)：分別為，，，0，2，4，6，故③錯誤；
對于④，在區(qū)間上為增函數(shù)且其周期為4，函數(shù)在上為增函數(shù)，故④錯誤；
故答案為：①②．
四、解答題：本小題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 若集合.
（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化簡集合AB，再利用并集的運(yùn)算求解；
（2）根據(jù)，由求解.
【小問1詳解】
解：，
或，
，
即的取值范圍是.
【小問2詳解】
，
，
即取值范圍是.
18. 已知二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，且.
（1）求的解析式；
（2）求在上的值域.
【答案】18. ；
19. .
【解析】
【分析】（1）設(shè)且，結(jié)合已知，應(yīng)用待定系數(shù)法求解析式；
（2）由在上遞減，在上遞增，結(jié)合二次函數(shù)的對稱性即可確定上的值域.
【小問1詳解】
由題設(shè)，令且，
則，故.
【小問2詳解】
由在上遞減，在上遞增，結(jié)合二次函數(shù)對稱性，
在上，最小值，且，
所以在上的值域?yàn)?
19. 解關(guān)于的不等式：．
（1）若，解上述關(guān)于的不等式；
（2）若，解上述關(guān)于的不等式．
【答案】（1）
（2）答案見詳解
【解析】
【分析】（1）將代入不等式，然后求解即可；
（2）把化簡得，，然后分四種情形：①，②，③，④，最后逐個進(jìn)行討論并求解即可．
【小問1詳解】
由，則，
所以，解得，或，
故不等式的解為
【小問2詳解】
把化簡得，，
①當(dāng)時，，不等式的解為；
②當(dāng)，即，即時，不等式的解為；
③當(dāng)，即，即或，
當(dāng)時，不等式的解為，
當(dāng)時，不等式的解為，
④當(dāng)，即時，，解得，
綜上所述，當(dāng)時，不等式的解為；
當(dāng)時，不等式的解為；
當(dāng)時，不等式的解為；
當(dāng)時，不等式的解為；
當(dāng)時，不等式的解為．
20. 已知函數(shù)
（1）若關(guān)于的不等式的解集為，求和的值；
（2）若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由一元二次不等式的解集，根據(jù)對應(yīng)方程根與系數(shù)關(guān)系求參數(shù)；
（2）問題化為時恒成立，利用基本不等式求右側(cè)最小值，即可得參數(shù)范圍.
【小問1詳解】
由題意，的解集為，
所以是的兩根，
由根與系數(shù)的關(guān)系知且，
所以；
【小問2詳解】
由題意，對任意的恒成立，
當(dāng)時，問題等價于恒成立，即
由，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故，
綜上，的取值范圍為.
21. 函數(shù)的定義域?yàn)椋覍σ磺?，都有，?dāng)時，總有.
（1）求的值；
（2）判斷單調(diào)性并證明；
（3）若，解不等式.
【答案】（1）（2）是上的增函數(shù)，證明見解析（3）
【解析】
【分析】(1)令代入即可.
(2)證明單調(diào)性的一般思路是取,且再計(jì)算,故考慮取
,代入,再利用當(dāng)時,總有即可算得的正負(fù),即可證明單調(diào)性.
(3)利用將3寫成的形式,再利用前兩問的結(jié)論進(jìn)行不等式的求解即可.
【詳解】(1)令,得,∴.
(2)是上的增函數(shù),證明：任取,且,則,∴,∴,
即,
∴是上的增函數(shù).
(3)由及,可得,結(jié)合（2）知不等式等價于,可得,解得.所以原不等式的解集為.
【點(diǎn)睛】(1)單調(diào)性的證明方法：設(shè)定義域內(nèi)的兩個自變量,再計(jì)算，若，則為增函數(shù)；若，則為減函數(shù)．計(jì)算化簡到最后需要判斷每項(xiàng)的正負(fù)，從而判斷的正負(fù)．
(2)利用單調(diào)性與奇偶性解決抽象函數(shù)不等式的問題,注意化簡成的形式,
若在區(qū)間上是增函數(shù),則,并注意定義域.
若在區(qū)間上是減函數(shù),則,并注意定義域.
22. 根據(jù)市場調(diào)查知，某數(shù)碼產(chǎn)品公司生產(chǎn)某款運(yùn)動手環(huán)的年固定成本為50萬元，每生產(chǎn)1萬只還需另投入20萬元．若該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款運(yùn)動手環(huán)x萬只并能全部銷售完，平均每萬只的銷售收入為萬元，且當(dāng)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款運(yùn)動手環(huán)5萬只并全部銷售完時，年利潤為300萬元．
（1）求出k的值，并寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬部）的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬只時，公司在該款運(yùn)動手環(huán)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤．
【答案】（1），
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為30萬只時，公司在該款運(yùn)動手環(huán)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大，最大利潤為850萬元．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)利潤的定義，結(jié)合所給函數(shù)的含義即可求解，
（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值，以及基本不等式求解最值，即可比較大小求解.
【小問1詳解】
由題意可得，
當(dāng)時，，
所以，解得．
所以
【小問2詳解】
當(dāng)時，，其圖象開口向下，對稱軸為，
所以當(dāng)時，取得最大值750萬元；
當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時取得最大值850萬元，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)年產(chǎn)量為30萬只時，公司在該款運(yùn)動手環(huán)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大，最大利潤為850萬元．

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