1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動、用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結束，將試題卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 橢圓的焦點坐標為（ ）
A. B. C. D.
2. 過點且方向向量為的直線方程為（ ）
A. B. C. D.
3. 已知直線與平行，則實數a的值為
A. －1或2B. 0或2C. 2D. －1
4. 過點作圓的兩條切線，，則四邊形的面積為（ ）
A. B. C. D.
5. 如圖，在三棱錐中，點，分別是，的中點，點在棱上，且滿足，若，，，則（ ）
A. B.
C. D.
6. 把正方形沿對角線折起，當以，，，四點為頂點的三棱錐體積最大時，直線和平面所成角的大小為（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知圓，直線l：，若圓上恰有4個點到直線l的距離都等于1，則b的取值范圍為
A. B. C. D.
8. 已知橢圓，，為兩個焦點，為原點，為橢圓上一點，，則（ ）
A. B. C. D. 1
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 下列關于空間向量的命題中，正確的有（ ）
A. 已知向量，則、與任意向量都不能構成空間的一個基底
B. 若，，，四點共面，則
C. 若是空間的一個基底，則也是空間的一個基底
D. 四面體，，，中，若，，則
10. 已知曲線．下列結論正確的有（ ）
A. 若，則是橢圓，其焦點在軸上
B. 若，則是橢圓，其焦點在軸上
C. 若，則是圓，其半徑為
D. 若，，則是兩條直線
11. 已知圓，圓，則下列說法正確的是（ ）
A. 點在圓內
B. 圓上的點到直線的最小距離為1
C. 圓和圓的公切線長為2
D. 圓和圓的公共弦所在的直線方程為
12. 通常稱離心率為的橢圓為“黃金橢圓”．已知橢圓，，分別為左、右頂點，，分別為上、下頂點，，分別為左、右焦點，為橢圓上一點，則滿足下列條件能使橢圓為“黃金橢圓”的有（ ）
A. B.
C. 四邊形的內切圓過焦點，D. 軸，且
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知向量，，則在方向上的投影向量的坐標為__________．
14. 若中心在原點，對稱軸為坐標軸的橢圓過點，且長軸長是短軸長的2倍，則其標準方程為__________．
15. 如圖，二面角的棱上有兩個點，，線段與分別在這個二面角兩個面內，并且都垂直于棱．若二面角的平面角為，且，，，則______.

16. 若關于的方程有且只有兩個不同的實數根，則實數k的取值范圍是__________ ．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知直線過定點．
（1）若直線與直線垂直，求直線的方程；
（2）若直線在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程．
18. 如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面，，．
（1）求異面直線與所成角的大小．
（2）求直線到平面的距離．
19. 已知直線和圓．
（1）若直線交圓于兩點，求弦的長；
（2）求過點且與圓相切的直線方程．
20 已知定圓，動圓過點，且和圓相切．
（1）求動圓圓心軌跡方程；
（2）若直線與圓心的軌跡交于，兩點，，且，求的值．
21. 如圖，直三棱柱底面邊長和側棱長都為2，點在棱上運動（不包括端點）．

（1）若為中點，證明：．
（2）設平面與平面的夾角為，求的取值范圍．
22. 已知橢圓的離心率為，上下頂點分別為，，．過點，且斜率為的直線與軸相交于點，與橢圓相交于兩點．
（1）求橢圓的方程．
（2）若，求的值．
（3）是否存在實數，使直線平行于直線？證明你的結論．高二學業(yè)水平階段性檢測一
數學試題
考生注意：
1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動、用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結束，將試題卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 橢圓的焦點坐標為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先將橢圓方程化為標準形式，即可求出焦點坐標.
【詳解】由可得，
因此，且焦點在軸上，
所以焦點坐標為.
故選：A.
2. 過點且方向向量為的直線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據方向向量確定出直線的斜率，然后可得到直線的點斜式方程，將其轉化為一般式方程即可.
【詳解】因為直線的方向向量為，所以，
所以直線方程為，即為，
故選：D.
3. 已知直線與平行，則實數a的值為
A. －1或2B. 0或2C. 2D. －1
【答案】D
【解析】
【分析】根據兩直線平行，列方程，求的a的值.
【詳解】已知兩直線平行，可得a?a -（a+2）=0，即a2-a-2=0，解得a=2或-1．
經過驗證可得：a=2時兩條直線重合，舍去．
∴a=-1．
故選D
【點睛】對于直線
若直線
4. 過點作圓的兩條切線，，則四邊形的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據點點距離公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面積公式即可求解.
【詳解】由可得，
所以,進而可得，
故，所以四邊形的面積為，
故選：C

5. 如圖，在三棱錐中，點，分別是，的中點，點在棱上，且滿足，若，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】運用空間向量的加減法和題設條件，將所求向量用空間的基向量表示即得.
【詳解】
如圖，連接因點，分別是，的中點，點在棱上，且滿足
則
即：
故選：C.
6. 把正方形沿對角線折起，當以，，，四點為頂點的三棱錐體積最大時，直線和平面所成角的大小為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】當平面平面時，三棱錐體積最大，由此能求出結果．
【詳解】解：如圖，當平面平面時，三棱錐體積最大
取中點，則平面，
故直線和平面所成的角為
，
．
故選：．
【點睛】本題考查直線與平面所成角的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題．
7. 已知圓，直線l：，若圓上恰有4個點到直線l的距離都等于1，則b的取值范圍為
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】圓上恰有4個點到直線l的距離都等于1，所以圓心到直線l：的距離小于1，利用點到直線距離求出b的取值范圍.
【詳解】因為圓上恰有4個點到直線l的距離都等于1，所以圓心到直線l：的距離小于1，因此有，故本題選D.
【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式，考查了數形結合思想.
8. 已知橢圓，，為兩個焦點，為原點，為橢圓上一點，，則（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根據橢圓的定義結合余弦定理求出的值，利用，根據向量模的計算即可求得答案.
【詳解】由題意橢圓，為兩個焦點，可得，

則①，即，
由余弦定理得，
即，整理得，②
聯立①②，解得：，則，
又因為，則，
使用.
故選：B
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 下列關于空間向量的命題中，正確的有（ ）
A. 已知向量，則、與任意向量都不能構成空間的一個基底
B. 若，，，四點共面，則
C. 若是空間的一個基底，則也是空間的一個基底
D. 在四面體，，，中，若，，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于A，直接由空間基底的定義即可判斷；對于B，直接舉出反例即可判斷；對于C，設，結合是空間的一個基底，判斷是否均為0即可；對于D，畫出圖形，選取基底向量，將，，進行轉換，從而即可證得.
【詳解】對于A，若，所以共線，即與空間中其他任何向量一定共面，從而、與任意向量都不能構成空間的一個基底，故A正確；
對于B，設點，點，點三點重合，且不與點重合，從而，故B選項錯誤；
對于C，不妨設，整理得，
又是空間的一個基底，所以當且僅當，解得，從而也是空間的一個基底，故C正確；
對于D，如圖所示：

選作為空間的一組基底向量，
若，，
則，，即，
從而，故D正確.
故選：ACD.
10. 已知曲線．下列結論正確有（ ）
A. 若，則是橢圓，其焦點在軸上
B. 若，則是橢圓，其焦點在軸上
C. 若，則是圓，其半徑為
D. 若，，則是兩條直線
【答案】AD
【解析】
【分析】將方程，轉化為，判斷選項ABC，再根據，判斷選項D.
【詳解】方程，化為，表示橢圓，且其焦點在軸上，則，即，故A正確；
若，表示橢圓，且其焦點在x軸上，則，即，故B錯誤；
，表示圓，即，其半徑為故C錯誤；
當，時，，則是兩條直線，故D正確，
故選：AD
11. 已知圓，圓，則下列說法正確的是（ ）
A. 點在圓內
B. 圓上的點到直線的最小距離為1
C. 圓和圓的公切線長為2
D. 圓和圓的公共弦所在的直線方程為
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據點與圓的關系即可求解A,根據圓心到直線的距離即可求解B，根據相交弦的定義即可求解D，根據相交時兩圓的外公切線的求解即可判定C.
【詳解】圓的圓心和半徑分別為,圓的圓心和半徑為，
對于A，由于，故點在圓外，故A錯誤，
對于B，到的距離為，所以圓上的點到直線的最小距離為，B正確，
對于D,由于,故兩圓相交，
兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程為：，故D正確，
對于C，由于兩圓相交，所以外公切線的長度為，C正確，
故選：BCD
12. 通常稱離心率為的橢圓為“黃金橢圓”．已知橢圓，，分別為左、右頂點，，分別為上、下頂點，，分別為左、右焦點，為橢圓上一點，則滿足下列條件能使橢圓為“黃金橢圓”的有（ ）
A. B.
C. 四邊形的內切圓過焦點，D. 軸，且
【答案】BC
【解析】
【分析】先求出橢圓的頂點和焦點坐標，根據橢圓的基本性質求出離心率判斷A；根據向量數量積判斷B；由四邊形的內切圓過焦點，，結合面積公式求出判斷C；由軸求出的坐標，結合斜率公式計算離心率判斷D.
【詳解】由可知：，，，，，，
對于A，若，則，
所以，即，
所以，與已知不符，故A錯誤；
對于B，，，
所以，
因為，
所以，
所以，
所以，所以，故B正確；
對于C，四邊形的內切圓過焦點，，
所以，
所以，
整理得，
所以，解得（舍去）或
所以，故C正確；
對于D，當軸，時，則，
，，
所以，所以，整理得，
所以，所以，與已知不符，故D錯誤.
故選：BC
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知向量，，則在方向上的投影向量的坐標為__________．
【答案】
【解析】
【分析】先求解出在方向上的投影，然后求解出同方向的單位向量，根據二者的乘積即可求得結果.
【詳解】在方向上的投影為，
因為，所以同方向的單位向量為，
所以在方向上的投影向量的坐標為，
故答案為：.
14. 若中心在原點，對稱軸為坐標軸的橢圓過點，且長軸長是短軸長的2倍，則其標準方程為__________．
【答案】或
【解析】
【分析】分焦點在軸上和焦點在軸上兩種情況討論即可求.
【詳解】當橢圓焦點在軸，設橢圓方程為，
因為橢圓過點，
所以，
又因為長軸長是短軸長的2倍，
所以，
所以橢圓方程為；
當橢圓焦點在軸，設橢圓方程為，
因為橢圓過點，
所以，
又因為長軸長是短軸長的2倍，
所以，
所以橢圓方程為.
綜上，橢圓的方程為或.
故答案為：或
15. 如圖，二面角的棱上有兩個點，，線段與分別在這個二面角兩個面內，并且都垂直于棱．若二面角的平面角為，且，，，則______.

【答案】
【解析】
【分析】根據式子，根據空間向量數量積的運算律即可求出的長.
【詳解】由條件知，，，
又二面角的平面角為，則，
所以
，所以.
故答案為：
16. 若關于的方程有且只有兩個不同的實數根，則實數k的取值范圍是__________ ．
【答案】
【解析】
【分析】轉化為半圓與直線的交點個數問題，利用數形結合法求解.
【詳解】解：方程，即為，
令，
即表示以為圓心，以2為半徑的半圓，
直線過定點P，
圓心到直線的距離等于半徑為：，解得，
關于的方程有且只有兩個不同的實數根，
即半圓于直線有且只有兩個不同的交點，
由圖象知：則實數k的取值范圍是.
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知直線過定點．
（1）若直線與直線垂直，求直線的方程；
（2）若直線在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程．
【答案】17. ；
18. 或
【解析】
【分析】（1）求出直線斜率可得l的斜率，再借助直線點斜式方程即可得解；
（2）按直線l是否過原點分類討論計算作答.
【小問1詳解】
，
所以直線的斜率為，
因為直線與直線垂直，所以直線的斜率為2．
又因為直線過點，
所以直線的方程為，即．
【小問2詳解】
直線過原點時，設直線的方程為，
因為直線過點，所以，
所以直線的方程為，即；
當直線不過原點時，因為直線l在兩坐標軸截距相等，
所以設直線的方程為，即，
因為直線過點，所以，
所以直線的方程為．
綜上，直線的方程為或．
18. 如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面，，．
（1）求異面直線與所成角的大?。?br>（2）求直線到平面的距離．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用空間向量的坐標運算，求異面直線所成的角；
（2）利用空間向量坐標運算，求點到平面的距離即可.
【小問1詳解】
以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，
因為底面為直角梯形，，，，
所以，
則，，，，
，，
設異面直線與所成角為，則，
所以異面直線與所成角大小為．
【小問2詳解】
，平面，平面，平面，
直線到平面的距離即為點到平面的距離．
設平面的法向量為，，，
則，取，得．
，點到平面的距離．
19. 已知直線和圓．
（1）若直線交圓于兩點，求弦的長；
（2）求過點且與圓相切的直線方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）將圓的一般方程化為標準方程求得圓心及半徑，再由點到直線的距離公式求得圓心到直線的距離，再由弦長公式得
（2）分兩種情況討論，過點的直線斜率存在與不存在兩種，求得斜率不存在時直線為；設斜率存在時直線為，再由點斜式設直線方程為，再由點到直線的距離等于圓的半徑，求得，即可求得直線方程.
【小問1詳解】
將圓，化成標準方程：，
圓的圓心，半徑，
圓到直線的距離，
．
【小問2詳解】
當直線的斜率不存在時，過點的直線為，是圓的一條切線；
當直線的斜率存在時，設圓的切線方程為，即，
圓心到直線的距離，解得．
切線方程為，即，
綜上所述，所求的直線方程為：或．
20. 已知定圓，動圓過點，且和圓相切．
（1）求動圓圓心的軌跡方程；
（2）若直線與圓心的軌跡交于，兩點，，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，圓內切與圓，得到，利用橢圓的定義求解；
（2）聯立，求得的中點，根據，由求解；
【小問1詳解】
解：，半徑，設動圓的半徑為，
由題意知，，點在圓內，圓內切與圓．
，即，
動點的軌跡是以、為焦點，長軸長為4的橢圓，
設方程為，則，，．
圓心的軌跡方程為．
【小問2詳解】
設，，聯立，
消去得：，
，．
的中點，由得，．
，，．
解得，符合，．
21. 如圖，直三棱柱的底面邊長和側棱長都為2，點在棱上運動（不包括端點）．

（1）若為的中點，證明：．
（2）設平面與平面的夾角為，求的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）分別取，的中點，，連接，則可建立空間直角坐標系，求得相關點坐標，求出的坐標，計算其數量積，即可證明結論；
（2）求出平面的法向量，確定平面的法向量，根據空間角的向量求法，可求得的值，結合二次函數性質，即可確定的取值范圍.
小問1詳解】
證明：分別取，的中點，，連接
由直三棱柱的底面邊長和側棱長都為2，可知，
且平面平面，故;
以為坐標原點，以所在直線為周，建立空間直角坐標系如圖所示，

因為直三棱柱的底邊長和側棱長都為2，為的中點，
所以，，，，，
故，，則，
所以，即．
【小問2詳解】
設，則點，所以，，
設平面的法向量為，
則，即，令，則，，
故，
又平面的一個法向量為，
所以，
因為，則，所以，
故的取值范圍為．
22. 已知橢圓的離心率為，上下頂點分別為，，．過點，且斜率為的直線與軸相交于點，與橢圓相交于兩點．
（1）求橢圓的方程．
（2）若，求的值．
（3）是否存在實數，使直線平行于直線？證明你的結論．
【答案】（1）
（2）
（3）不存在，證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據離心率和短軸長度得到滿足的關系式，求解出的值即可求得橢圓的方程；
（2）聯立直線與橢圓方程得到對應韋達定理形式，將向量共線表示為坐標關系，結合韋達定理求解出的值；
（3）先表示出的斜率，然后利用坐標結合韋達定理分析與的關系，由此作出判斷.
【小問1詳解】
由已知得，，
所以，，所以橢圓的方程為.
【小問2詳解】
設直線，，，
，消去得，
所以，，
因為，，，
所以，所以，
即，解得，符合，
所以.
【小問3詳解】
由已知得，，設直線，的斜率分別為和，
所以，，
所以
，
因為，
所以，所以，
所以使直線平行于直線的實數不存在．
.
【點睛】關鍵點睛：本題考查直線與橢圓位置關系的綜合運用，聯立思想是解答本題第二、第三問的基礎，通過韋達定理將問題轉化為坐標運算進行求解，難度較大.其中解答第三問的關鍵在于通過構造斜率平方差的形式結合坐標運算說明的不等關系.

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