一．選擇題（每題3分，共30分）
1．一元二次方程x2+3x＝0的解是（ ）
A．x＝﹣3 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x＝3
2．下列函數(shù)中，y的值隨x值的增大而減小的是（ ）
A．y＝x2+1B．y＝﹣x2+1C．y＝2x+1D．y＝﹣2x+1
3．下列說法正確的是（ ）
A．經(jīng)過三點可以作一個圓
B．三角形的外心到這個三角形的三邊距離相等
C．同圓或等圓中，等弧所對的圓心角相等
D．相等的圓心角所對的弧相等
4．在△ABC中，∠A，∠B都是銳角，且sinA＝，csB＝，則△ABC的形狀是（ ）
A．直角三角形B．鈍角三角形
C．銳角三角形D．不能確定
5．已知⊙O的半徑為10cm，點P到圓心O的距離為11cm，則點P和⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．點P在圓內(nèi)B．點P在圓上C．點P在圓外D．不能確定
6．在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y＝x2平移，可以得到拋物線y＝x2+2x+1，下列平移的敘述正確的是（ ）
A．向上平移1個單位長度
B．向下平移1個單位長度
C．向左平移1個單位長度
D．向右平移1個單位長度
7．如圖，有一個半徑為2的圓形時鐘，其中每個相鄰刻度間的弧長均相等，過9點和11點的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為（ ）
A．π﹣B．π﹣C．π﹣2D．π﹣
8．已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+（a為常數(shù)，且a＞0），下列結(jié)論：①函數(shù)圖象一定經(jīng)過第一、二、四象限；②函數(shù)圖象一定不經(jīng)過第三象限；③當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減?。虎墚?dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大．其中所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①②B．②③C．②D．③④
9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B兩點同時從原點O出發(fā)，點A以每秒2個單位長的速度沿x軸的正方向運動，點B以每秒1個單位長的速度沿y軸的正方向運動，設(shè)運動時間為t秒，以AB為直徑作圓，圓心為點P．在運動的過程中有如下5個結(jié)論：①∠ABO的大小始終不變；②⊙P始終經(jīng)過原點O；③半徑AP的長是時間t的一次函數(shù)；④圓心P的運動軌跡是一條拋物線；⑤AB始終平行于直線．其中正確的有（ ）
A．①②③④B．①②⑤C．②③⑤D．①②③⑤
10．如圖，AB是半圓O的直徑，點C，D在半圓上，，連接OC，CA，OD，過點B作EB⊥AB，交OD的延長線于點E．設(shè)△OAC的面積為S1，△OBE的面積為S2，若，則tan∠ACO的值為（ ）
A．B．C．D．
二．填空題（每題3分，共15分）
11．二次函數(shù)y＝﹣（x﹣6）2+8的頂點坐標(biāo)是 ．
12．如圖，一名學(xué)生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），則鉛球推出的距離OA＝ m．
13．如圖，將45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，頂點O與尺下沿的端點重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點B在尺上的讀數(shù)為2cm，若按相同的方式將37°的∠AOC放置在該刻度尺上，則OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)是 cm（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
14．如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD交于點E．＝2，連接AD，過點B的切線與AD的延長線交于點F．若∠AFB＝68°，則∠DEB＝ °．
15．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，點D在邊BC上．將△ACD沿AD折疊，使點C落在點C′處，連接BC′，則BC′的最小值為 ．
三．解答題（共55分）
16．（5分）計算：|﹣|﹣（4﹣π）0﹣2sin60°+（）﹣1．
17．（7分）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ǎcO是這段弧所在圓的圓心，B為上一點，OB⊥AC于D．若AC＝300m，BD＝150m，求公路的轉(zhuǎn)彎處的長．（結(jié)果保留π）
18．（7分）四邊形不具有穩(wěn)定性，工程上可利用這一性質(zhì)解決問題．如圖是某籃球架的側(cè)面示意圖，BE，CD，GF為長度固定的支架，支架在A，D，G處與立柱AH連接（AH垂直于MN，垂足為H），在B，C處與籃板連接（BC所在直線垂直于MN），EF是可以調(diào)節(jié)長度的伸縮臂（旋轉(zhuǎn)點F處的螺栓改變EF的長度，使得支架BE繞點A旋轉(zhuǎn)，從而改變四邊形ABCD的形狀，以此調(diào)節(jié)籃板的高度）．已知AD＝BC，DH＝208cm，測得∠GAE＝60°時，點C離地面的高度為288cm．調(diào)節(jié)伸縮臂EF，將∠GAE由60°調(diào)節(jié)為54°，判斷點C離地面的高度升高還是降低了？升高（或降低）了多少？（參考數(shù)據(jù)：sin54°≈0.8，cs54°≈0.6）
19．（8分）用各種盛水容器可以制作精致的家用流水景觀（如圖1）．
科學(xué)原理：如圖2，始終盛滿水的圓柱體水桶水面離地面的高度為H（單位：cm），如果在離水面豎直距離為h（單位：cm）的地方開大小合適的小孔，那么從小孔射出水的射程（水流落地點離小孔的水平距離）s（單位：cm）與h的關(guān)系式為s2＝4h（H﹣h）．
應(yīng)用思考：現(xiàn)用高度為20cm的圓柱體塑料水瓶做相關(guān)研究，水瓶直立地面，通過連續(xù)注水保證它始終盛滿水，在離水面豎直距離hcm處開一個小孔．
（1）寫出s2與h的關(guān)系式；并求出當(dāng)h為何值時，射程s有最大值，最大射程是多少？
（2）在側(cè)面開兩個小孔，這兩個小孔離水面的豎直距離分別為a，b，要使兩孔射出水的射程相同，求a，b之間的關(guān)系式；
（3）如果想通過墊高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求墊高的高度及小孔離水面的豎直距離．
20．（8分）如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥OA交AB于點P，交過點B的直線于點C，且CB＝CP．
（1）試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若sinA＝，OA＝8，求CB的長．
21．（8分）【問題提出】如何用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積？
【初步嘗試】如圖1，已知扇形OAB，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺過圓心O作一條直線，使扇形的面積被這條直線平分；
【問題聯(lián)想】如圖2，已知線段MN，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個以MN為斜邊的等腰直角三角形MNP；
【問題再解】如圖3，已知扇形OAB，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條以點O為圓心的圓弧，使扇形的面積被這條圓弧平分．
（友情提醒：以上作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）
22．（12分）已知：A、B為圓上兩定點，點C在該圓上，∠C為所對的圓周角．
知識回顧
（1）如圖①，⊙O中，B、C位于直線AO異側(cè)，∠AOB+∠C＝135°．
①求∠C的度數(shù)；
②若⊙O的半徑為5，AC＝8，求BC的長；
逆向思考
（2）如圖②，若P為圓內(nèi)一點，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求證：P為該圓的圓心；
拓展應(yīng)用
（3）如圖③，在（2）的條件下，若∠APB＝90°，點C在⊙P位于直線AP上方部分的圓弧上運動．點D在⊙P上，滿足CD＝CB﹣CA的所有點D中，必有一個點的位置始終不變．請證明．
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．一元二次方程x2+3x＝0的解是（ ）
A．x＝﹣3B．x1＝0，x2＝3
C．x1＝0，x2＝﹣3D．x＝3
【解答】解：x2+3x＝0，
x（x+3）＝0，
x＝0，x+3＝0，
x1＝0，x2＝﹣3，
故選：C．
2．下列函數(shù)中，y的值隨x值的增大而減小的是（ ）
A．y＝x2+1B．y＝﹣x2+1C．y＝2x+1D．y＝﹣2x+1
【解答】解：選項A中，函數(shù)y＝x2+1，x＜0時，y隨x的增大而減??；故A不符合題意；
選項B中，函數(shù)y＝﹣x2+1，x＞0時，y隨x的增大而減小；故B不符合題意；
選項C中，函數(shù)y＝2x+1，y隨x的增大而增大；故C不符合題意；
選項D中，函數(shù)y＝﹣2x+1，y隨x的增大而減?。蔇符合題意；
故選：D．
3．下列說法正確的是（ ）
A．經(jīng)過三點可以作一個圓
B．三角形的外心到這個三角形的三邊距離相等
C．同圓或等圓中，等弧所對的圓心角相等
D．相等的圓心角所對的弧相等
【解答】解：A、經(jīng)過不在同一條直線上的三點可確定一個圓，故A錯誤；B、三角形的外心到這個三角形的三個頂點的距離相等，故B錯誤；
C、同圓或等圓中，等弧所對的圓心角相等，故C正確；D、同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故D錯誤．故選：C．
4．在△ABC中，∠A，∠B都是銳角，且sinA＝，csB＝，則△ABC的形狀是（ ）
A．直角三角形B．鈍角三角形
C．銳角三角形D．不能確定
【解答】解：∵csB＝，
∴∠B＝30°，
∵sinA＝，
∴∠A＝30°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴△ABC是鈍角三角形，
故選：B．
5．已知⊙O的半徑為10cm，點P到圓心O的距離為12cm，則點P和⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．點P在圓內(nèi)B．點P在圓上C．點P在圓外D．不能確定
【解答】解：∵⊙O的半徑r＝10cm，點P到圓心O的距離OP＝12cm，
∴OP＞r，
∴點P在⊙O外，
故選：C．
6．在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y＝x2平移，可以得到拋物線y＝x2+2x+1，下列平移的敘述正確的是（ ）
A．向上平移1個單位長度
B．向下平移1個單位長度
C．向左平移1個單位長度
D．向右平移1個單位長度
【解答】解：∵y＝x2+2x+1＝（x+1）2，
∴平移后拋物線的頂點為（﹣1，0），
拋物線y＝x2的頂點為（0，0），
∴點（0，0）向左平移1個單位得點（﹣1，0），
∴拋物線y＝x2向左平移1個單位可得拋物線y＝x2+2x+1，
故選：C．
7．如圖，有一個半徑為2的圓形時鐘，其中每個相鄰刻度間的弧長均相等，過9點和11點的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為（ ）
A．π﹣B．π﹣C．π﹣2D．π﹣
【解答】解：連接OA、OB，過點O作OC⊥AB，
由題意可知：∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB為等邊三角形，
∴AB＝AO＝BO＝2
∴S扇形AOB＝＝π，
∵OC⊥AB，
∴∠OCA＝90°，AC＝1，
∴OC＝，
∴S△AOB＝＝，
∴陰影部分的面積為：π﹣；
故選：B．
8．已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+（a為常數(shù)，且a＞0），下列結(jié)論：①函數(shù)圖象一定經(jīng)過第一、二、四象限；②函數(shù)圖象一定不經(jīng)過第三象限；③當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減??；④當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大．其中所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①②B．②③C．②D．③④
【解答】解：∵a＞0時，拋物線開口向上，
∴對稱軸為直線x＝＝＞0，
當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小，
當(dāng)x＞時，y隨x的增大而增大，
∴函數(shù)圖象一定不經(jīng)過第三象限，函數(shù)圖象可能經(jīng)過第一、二、四象限．
故選：B．
9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B兩點同時從原點O出發(fā)，點A以每秒2個單位長的速度沿x軸的正方向運動，點B以每秒1個單位長的速度沿y軸的正方向運動，設(shè)運動時間為t秒，以AB為直徑作圓，圓心為點P．在運動的過程中有如下5個結(jié)論：
①∠ABO的大小始終不變；
②⊙P始終經(jīng)過原點O；
③半徑AP的長是時間t的一次函數(shù)；
④圓心P的運動軌跡是一條拋物線；
⑤AB始終平行于直線．
其中正確的有（ ）
A．①②③④B．①②⑤C．②③⑤D．①②③⑤
【解答】解：①由題意得：OA＝2t，OB＝t，
則tan∠ABO＝，
∴∠ABO的大小始終不變，正確；
②∵AB是圓P的直徑，
則AB所對的圓周角為90°，即∠AOB＝90°，
∴⊙P始終經(jīng)過原點O，正確；
③由點A、B的坐標(biāo)，根據(jù)中點坐標(biāo)公式得：點P（t，t），
則AP＝＝t，
即AP的長度是時間t的一次函數(shù)，正確；
④由③知，點P（t，t），
則點P在直線y＝x上，故④錯誤；
⑤設(shè)直線AB的表達(dá)式為：y＝kx+b，
則，解得：，
故直線AB的表達(dá)式為：y＝﹣x+t，
∵AB始終平行于直線，正確，
故選：D．
10．如圖，AB是半圓O的直徑，點C，D在半圓上，，連接OC，CA，OD，過點B作EB⊥AB，交OD的延長線于點E．設(shè)△OAC的面積為S1，△OBE的面積為S2，若，則tan∠ACO的值為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如圖，過C作CH⊥AO于H，
∵，
∴∠COD＝∠BOE＝∠CAO，
∵，即，
∴，
∵∠A＝∠BOE，
∴tan∠A＝tan∠BOE，
∴，即，
設(shè)AH＝2m，則BO＝3m＝AO＝CO，
∴OH＝3m﹣2m＝m，
∴CH＝，
∴tan∠A＝＝，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴tan∠ACO＝；
故選A．
二．填空題（共5小題）
11．二次函數(shù)y＝﹣（x﹣6）2+8的頂點坐標(biāo)是 （6，8） ．
【解答】解：二次函數(shù)y＝﹣（x﹣6）2+8的圖象的頂點坐標(biāo)是（6，8）．
故答案為：（6，8）．
12．如圖，一名學(xué)生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），則鉛球推出的距離OA＝ 10 m．
【解答】解：令y＝0，則﹣（x﹣10）（x+4）＝0，
解得：x＝10或x＝﹣4（不合題意，舍去），
∴A（10，0），
∴OA＝10m．
故答案為：10．
13．如圖，將45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，頂點O與尺下沿的端點重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點B在尺上的讀數(shù)為2cm，若按相同的方式將37°的∠AOC放置在該刻度尺上，則OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)是 2.7 cm（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
【解答】解：如圖，過點B作BD⊥OA于D，過點C作CE⊥OA于E，
在△BOD中，∠BDO＝90°，∠DOB＝45°，
∴CE＝BD＝2cm，
在△OCE中，∠COE＝37°，∠CEO＝90°，
∴tan37°＝，
∴OE＝2.7cm，
即OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)是2.7cm．
故答案為：2.7．
14．如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD交于點E．＝2，連接AD，過點B的切線與AD的延長線交于點F．若∠AFB＝68°，則∠DEB＝ 66 °．
【解答】解：如圖，連接OC，OD，
∵BF是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，
∴OB⊥BF，
∴∠ABF＝90°，
∵∠AFB＝68°，
∴∠BAF＝90°﹣∠AFB＝22°，
∴∠BOD＝2∠BAF＝44°，
∵，
∴∠COA＝2∠BOD＝88°，
∴∠CDA＝，
∵∠DEB是△AED的一個外角，
∴∠DEB＝∠BAF+∠CDA＝66°，
故答案為：66．
15．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，點D在邊BC上．將△ACD沿AD折疊，使點C落在點C′處，連接BC′，則BC′的最小值為 ．
【解答】解：∵∠C＝90°，CA＝CB＝3，
∴，
由折疊的性質(zhì)可知AC＝AC'＝3，
∵BC'≥AB﹣AC'，
∴當(dāng)A、C′、B三點在同一條直線時，BC'取最小值，最小值即為，
故答案為 ．
三．解答題（共7小題）
16．計算：|﹣|﹣（4﹣π）0﹣2sin60°+（）﹣1．
【解答】解：|﹣|﹣（4﹣π）0﹣2sin60°+（）﹣1
＝﹣1﹣2×+5
＝﹣1﹣+5
＝4．
17．如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧（），點O是這段弧所在圓的圓心，B為上一點，OB⊥AC于D．若AC＝300m，BD＝150m，求公路的轉(zhuǎn)彎處的長．（結(jié)果保留π）
【解答】解：∵OB⊥AC，
∴AD＝ AC＝150m，∠AOC＝2∠AOB，
在Rt△AOD中，
∵AD2+OD2＝OA2，OA＝OB，
∴AD2+（OA﹣BD）2＝OA2，
∴+（OA﹣150）2＝OA2，
解得：OA＝300m，
∴sin∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴的長＝＝200πm．
18．四邊形不具有穩(wěn)定性，工程上可利用這一性質(zhì)解決問題．如圖是某籃球架的側(cè)面示意圖，BE，CD，GF為長度固定的支架，支架在A，D，G處與立柱AH連接（AH垂直于MN，垂足為H），在B，C處與籃板連接（BC所在直線垂直于MN），EF是可以調(diào)節(jié)長度的伸縮臂（旋轉(zhuǎn)點F處的螺栓改變EF的長度，使得支架BE繞點A旋轉(zhuǎn)，從而改變四邊形ABCD的形狀，以此調(diào)節(jié)籃板的高度）．已知AD＝BC，DH＝208cm，測得∠GAE＝60°時，點C離地面的高度為288cm．調(diào)節(jié)伸縮臂EF，將∠GAE由60°調(diào)節(jié)為54°，判斷點C離地面的高度升高還是降低了？升高（或降低）了多少？（參考數(shù)據(jù)：sin54°≈0.8，cs54°≈0.6）
【解答】解：點C離地面的高度升高了，
理由：如圖，當(dāng)∠GAE＝60°時，過點C作CK⊥HA，交HA的延長線于點K，
∵BC⊥MN，AH⊥MN，
∴BC∥AH，
∵AD＝BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠ADC＝∠GAE＝60°，
∵點C離地面的高度為288cm，DH＝208cm，
∴DK＝288﹣208＝80（cm），
在Rt△CDK中，CD＝＝＝160（cm），
如圖，當(dāng)∠GAE＝54°，過點C作CQ⊥HA，交HA的延長線于點Q，
在Rt△CDQ中，CD＝160cm，
∴DQ＝CD?cs54°≈160×0.6＝96（cm），
∴96﹣80＝16（cm），
∴點C離地面的高度升高約16cm．
19．用各種盛水容器可以制作精致的家用流水景觀（如圖1）．
科學(xué)原理：如圖2，始終盛滿水的圓柱體水桶水面離地面的高度為H（單位：cm），如果在離水面豎直距離為h（單位：cm）的地方開大小合適的小孔，那么從小孔射出水的射程（水流落地點離小孔的水平距離）s（單位：cm）與h的關(guān)系式為s2＝4h（H﹣h）．
應(yīng)用思考：現(xiàn)用高度為20cm的圓柱體塑料水瓶做相關(guān)研究，水瓶直立地面，通過連續(xù)注水保證它始終盛滿水，在離水面豎直距離hcm處開一個小孔．
（1）寫出s2與h的關(guān)系式；并求出當(dāng)h為何值時，射程s有最大值，最大射程是多少？
（2）在側(cè)面開兩個小孔，這兩個小孔離水面的豎直距離分別為a，b，要使兩孔射出水的射程相同，求a，b之間的關(guān)系式；
（3）如果想通過墊高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求墊高的高度及小孔離水面的豎直距離．
【解答】解：（1）∵s2＝4h（H﹣h），
∴當(dāng)H＝20cm時，s2＝4h（20﹣h）＝﹣4（h﹣10）2+400，
∴當(dāng)h＝10cm時，s2有最大值400cm2，
∴當(dāng)h＝10cm時，s有最大值20cm．
∴當(dāng)h為10cm時，射程s有最大值，最大射程是20cm；
（2）∵s2＝4h（20﹣h），
設(shè)存在a，b，使兩孔射出水的射程相同，則有：
4a（20﹣a）＝4b（20﹣b），
∴20a﹣a2＝20b﹣b2，
∴a2﹣b2＝20a﹣20b，
∴（a+b）（a﹣b）＝20（a﹣b），
∴（a﹣b）（a+b﹣20）＝0，
∴a﹣b＝0，或a+b﹣20＝0，
∴a＝b或a+b＝20；
（3）設(shè)墊高的高度為m，則s2＝4h（20+m﹣h）＝﹣4+（20+m）2，
∴當(dāng)h＝cm時，smax＝20+m＝20+16，
∴m＝16cm，此時h＝＝18cm．
當(dāng)h＝＞20時，即m＞20時，
h＝20時，S2max＝362，
362＝4×20×（20+m﹣20），
∴M＝16.2（舍棄）．
∴墊高的高度為16cm，小孔離水面的豎直距離為18cm．
20．如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥OA交AB于點P，交過點B的直線于點C，且CB＝CP．
（1）試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若sinA＝，OA＝8，求CB的長．
【解答】解：（1）直線BC與⊙O相切，
理由：如圖，連接OB，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∵CP＝CB，
∴∠CPB＝∠CBP，
∵∠APO＝∠CPB，
∴∠APO＝∠CBP，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO＝90°，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
∴∠OBC＝90°，
∵OB為半徑，
∴直線BC與⊙O相切；
（2）在Rt△AOP中，sinA＝，
∵sinA＝，
∴設(shè)OP＝x，則AP＝5x，
∵OP2+OA2＝AP2，
∴，
解得：x＝或﹣（不符合題意，舍去），
∴OP＝×＝4，
∵∠OBC＝90°，
∴BC2+OB2＝OC2，
∵CP＝CB，OB＝OA＝8，
∴BC2+82＝（BC+4）2，
解得：BC＝6，
∴CB的長為6．
21．【問題提出】如何用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積？
【初步嘗試】如圖1，已知扇形OAB，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺過圓心O作一條直線，使扇形的面積被這條直線平分；
【問題聯(lián)想】如圖2，已知線段MN，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個以MN為斜邊的等腰直角三角形MNP；
【問題再解】如圖3，已知扇形OAB，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條以點O為圓心的圓弧，使扇形的面積被這條圓弧平分．
（友情提醒：以上作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）
【解答】解：【初步嘗試】如圖1，直線OP即為所求；
【問題聯(lián)想】如圖2，三角形MNP即為所求；
【問題再解】如圖3中，即為所求．
22．已知：A、B為圓上兩定點，點C在該圓上，∠C為所對的圓周角．
知識回顧
（1）如圖①，⊙O中，B、C位于直線AO異側(cè)，∠AOB+∠C＝135°．
①求∠C的度數(shù)；
②若⊙O的半徑為5，AC＝8，求BC的長；
逆向思考
（2）如圖②，若P為圓內(nèi)一點，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求證：P為該圓的圓心；
拓展應(yīng)用
（3）如圖③，在（2）的條件下，若∠APB＝90°，點C在⊙P位于直線AP上方部分的圓弧上運動．點D在⊙P上，滿足CD＝CB﹣CA的所有點D中，必有一個點的位置始終不變．請證明．
【解答】（1）解：①∵∠AOB+∠C＝135°，∠AOB＝2∠C，
∴3∠C＝135°，
∴∠C＝45°．
②連接AB，過A作AD⊥BC，垂足為M，
∵∠C＝45°，AC＝8，
∴△ACM是等腰直角三角形，且AM＝CM＝4，
∵∠AOB＝2∠C＝90°，OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB＝OA＝5，
在直角三角形ABM中，BM＝＝3，
∴BC＝CM+BM＝4+3＝7．
（2）延長AP交圓于點N，則∠C＝∠N，
∵∠APB＝2∠C，
∴∠APB＝2∠N，
∵∠APB＝∠N+∠PBN，
∴∠N＝∠PBN，
∴PN＝PB，
∵PA＝PB，
∴PA＝PB＝PN，
∴P為該圓的圓心．
（3）過B作BC的垂線交CA的延長線于點E，連接AB，延長AP交圓于點F，連接CF，F(xiàn)B，
∵∠APB＝90°，
∴∠C＝45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE＝BC，
∵BP⊥AF，PA＝PF，
∴BA＝BF，
∵AF是直徑，
∴∠ABF＝90°，
∴∠EBC＝∠ABF＝90°，
∴∠EBA＝∠CBF，
∴△EBA≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF，
∵CD＝CB﹣CA＝CE﹣CA＝AE，
∴CD＝CF，
∴必有一個點D的位置始終不變，點F即為所求．

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