2019年遼寧省葫蘆島市中考數(shù)學真題及答案

這是一份2019年遼寧省葫蘆島市中考數(shù)學真題及答案，共31頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．﹣6的絕對值是（ ）
A．6B．﹣6C．D．﹣
2．下列運算正確的是（ ）
A．x2?x2＝x6B．x4+x4＝2x8
C．﹣2（x3）2＝4x6D．xy4÷（﹣xy）＝﹣y3
3．甲、乙、丙、丁四位同學都參加了5次數(shù)學模擬測試，每個人這5次成績的平均數(shù)都是125分，方差分別是S甲2＝0.65，S乙2＝0.55，S丙2＝0.50，S丁2＝0.45，則這5次測試成績最穩(wěn)定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．如圖是由5個完全相同的小正方體組成的立體圖形，它的俯視圖是（ ）
A．B．
C．D．
5．某校女子排球隊12名隊員的年齡分布如下表所示：
則該校女子排球隊12名隊員年齡的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（ ）
A．13，14B．14，15C．15，15D．15，14
6．不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A．B．
C．D．
7．某工廠計劃生產(chǎn)300個零件，由于采用新技術，實際每天生產(chǎn)零件的數(shù)量是原計劃的2倍，因此提前5天完成任務．設原計劃每天生產(chǎn)零件x個，根據(jù)題意，所列方程正確的是（ ）
A．﹣＝5B．﹣＝5
C．﹣＝5D．﹣＝5
8．二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝ax+b的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
9．如圖，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，則∠ABO的度數(shù)為（ ）
A．70°B．55°C．45°D．35°
10．如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E在BD上由點B向點D運動（點E不與點B重合），連接AE，將線段AE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段AF，連接BF交AO于點G．設BE的長為x，OG的長為y，下列圖象中大致反映y與x之間的函數(shù)關系的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）
11．太陽的半徑大約為696000000，將數(shù)據(jù)696000000用科學記數(shù)法表示為 ．
12．分解因式：x3y﹣xy3＝ ．
13．若關于x的一元二次方程x2+（2+a）x＝0有兩個相等的實數(shù)根，則a的值是 ．
14．在一個不透明的袋子中只裝有n個白球和2個紅球，這些球除顏色外其他均相同．如果從袋子中隨機摸出一個球，摸到紅球的概率是，那么n的值為 ．
15．如圖，河的兩岸a，b互相平行，點A，B，C是河岸b上的三點，點P是河岸a上的一個建筑物，某人在河岸b上的A處測得∠PAB＝30°，在B處測得∠PBC＝75°，若AB＝80米，則河兩岸之間的距離約為 米．（≈1.73，結(jié)果精確到0.1米）
16．如圖，BD是?ABCD的對角線，按以下步驟作圖：①分別以點B和點D為圓心，
大于BD的長為半徑作弧，兩弧相交于E，F(xiàn)兩點；②作直線EF，分別交AD，BC于點M，N，連接BM，DN．若BD＝8，MN＝6，則?ABCD的邊BC上的高為 ．
17．如圖，在Rt△ABC的紙片中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13．點D在邊BC上，以AD
為折痕將△ADB折疊得到△ADB′，AB′與邊BC交于點E．若△DEB′為直角三角形
，則BD的長是 ．
18．如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD延長線上的一點，連接PA，過點P作PE⊥PA交BC的延長線于點E，過點E作EF⊥BP于點F，則下列結(jié)論中：
①PA＝PE；②CE＝PD；③BF﹣PD＝BD；④S△PEF＝S△ADP
正確的是 （填寫所有正確結(jié)論的序號）
三、解答題（第19題10分，第20題12分，共22分）
19．（10分）先化簡，再求值：÷（﹣），其中a＝（）﹣1﹣（﹣2）0．
20．（12分）某學校為了解學生“第二課堂“活動的選修情況，對報名參加A．跆拳道，B．聲樂，C．足球，D．古典舞這四項選修活動的學生（每人必選且只能選修一項）進行抽樣調(diào)查．并根據(jù)收集的數(shù)據(jù)繪制了圖①和圖②兩幅不完整的統(tǒng)計圖．
根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
（1）本次調(diào)查的學生共有 人；在扇形統(tǒng)計圖中，B所對應的扇形的圓心角的度數(shù)是 ；
（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整；
（3）在被調(diào)查選修古典舞的學生中有4名團員，其中有1名男生和3名女生，學校想從這4人中任選2人進行古典舞表演．請用列表或畫樹狀圖的方法求被選中的2人恰好是1男1女的概率．
四、解答題（第21題12分，第22題12分，共24分）
21．（12分）在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別是A（﹣1，1），B（﹣4，1），C（﹣3，3）
（1）將△ABC向下平移5個單位長度后得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1；并判斷以O，A1，B為頂點的三角形的形狀（直接寫出結(jié)果）；
（2）將△ABC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2B2C2，請畫出△A2B2C2，并求出點C旋轉(zhuǎn)到C2所經(jīng)過的路徑長．
22．（12分）如圖，一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象與x軸、y軸分別交于A，B兩點，與反比例函數(shù)y＝的圖象分別交于C，D兩點，點C（2，4），點B是線段AC的中點．
（1）求一次函數(shù)y＝k1x+b與反比例函數(shù)y＝的解析式；
（2）求△COD的面積；
（3）直接寫出當x取什么值時，k1x+b＜．
五、解答題（滿分12分）
23．（12分）某公司研發(fā)了一款成本為50元的新型玩具，投放市場進行試銷售．其銷售單價不低于成本，按照物價部門規(guī)定，銷售利潤率不高于90%，市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，在一段時間內(nèi)，每天銷售數(shù)量y（個）與銷售單價x（元）符合一次函數(shù)關系，如圖所示：
（1）根據(jù)圖象，直接寫出y與x的函數(shù)關系式；
（2）該公司要想每天獲得3000元的銷售利潤，銷售單價應定為多少元
（3）銷售單價為多少元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？
六、解答題（滿分12分）
24．（12分）如圖，點M是矩形ABCD的邊AD延長線上一點，以AM為直徑的⊙O交矩形對角
線AC于點F，在線段CD上取一點E，連接EF，使EC＝EF．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若cs∠CAD＝，AF＝6，MD＝2，求FC的長．
七、解答題（滿分12分）
25．（12分）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是射線CB上一點（點D不與點B重合），以AD為斜邊作等腰直角三角形ADE（點E和點C在AB的同側(cè)），連接CE．
（1）如圖①，當點D與點C重合時，直接寫出CE與AB的位置關系；
（2）如圖②，當點D與點C不重合時，（1）的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；
（3）當∠EAC＝15°時，請直接寫出的值．
八、解答題（滿分14分）
26．（14分）如圖，直線y＝﹣x+4與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過B，C兩點，與x軸另一交點為A．點P以每秒個單位長度的速度在線段BC上由點B向點C運動（點P不與點B和點C重合），設運動時間為t秒，過點P作x軸垂線交x軸于點E，交拋物線于點M．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖①，過點P作y軸垂線交y軸于點N，連接MN交BC于點Q，當＝時，求t的值；
（3）如圖②，連接AM交BC于點D，當△PDM是等腰三角形時，直接寫出t的值．
2019年葫蘆島市中考數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目）
1．﹣6的絕對值是（ ）
A．6B．﹣6C．D．﹣
【解答】解：|﹣6|＝6，
故選：A．
2．下列運算正確的是（ ）
A．x2?x2＝x6B．x4+x4＝2x8
C．﹣2（x3）2＝4x6D．xy4÷（﹣xy）＝﹣y3
【解答】解：∵x2?x2＝x4，
∴選項A不符合題意；
∵x4+x4＝2x4，
∴選項B不符合題意；
∵﹣2（x3）2＝﹣2x6，
∴選項C不符合題意；
∵xy4÷（﹣xy）＝﹣y3，
∴選項D符合題意．
故選：D．
3．甲、乙、丙、丁四位同學都參加了5次數(shù)學模擬測試，每個人這5次成績的平均數(shù)都是125分，方差分別是S甲2＝0.65，S乙2＝0.55，S丙2＝0.50，S丁2＝0.45，則這5次測試成績最穩(wěn)定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【解答】解：∵S甲2＝0.65，S乙2＝0.55，S丙2＝0.50，S丁2＝0.45，
∴S丁2＜S丙2＜S乙2＜S甲2，
∴成績最穩(wěn)定的是丁．
故選：D．
4．如圖是由5個完全相同的小正方體組成的立體圖形，它的俯視圖是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：從上面看是四個小正方形，如圖所示：
故選：B．
5．某校女子排球隊12名隊員的年齡分布如下表所示：
則該校女子排球隊12名隊員年齡的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（ ）
A．13，14B．14，15C．15，15D．15，14
【解答】解：∵這組數(shù)據(jù)中15出現(xiàn)5次，次數(shù)最多，
∴眾數(shù)為15歲，
中位數(shù)是第6、7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
∴中位數(shù)為＝15歲，
故選：C．
6．不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：解不等式3x＜2x+2，得：x＜2，
解不等式﹣x≤1，得：x≥﹣1，
則不等式組的解集為﹣1≤x＜2，
故選：A．
7．某工廠計劃生產(chǎn)300個零件，由于采用新技術，實際每天生產(chǎn)零件的數(shù)量是原計劃的2倍，因此提前5天完成任務．設原計劃每天生產(chǎn)零件x個，根據(jù)題意，所列方程正確的是（ ）
A．﹣＝5B．﹣＝5
C．﹣＝5D．﹣＝5
【解答】解：由題意可得，
，
故選：C．
8．二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝ax+b的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由二次函數(shù)圖象，得出a＜0，﹣＜0，b＜0，
A、一次函數(shù)圖象，得a＞0，b＞0，故A錯誤；
B、一次函數(shù)圖象，得a＜0，b＞0，故B錯誤；
C、一次函數(shù)圖象，得a＞0，b＜0，故C錯誤；
D、一次函數(shù)圖象，得a＜0，b＜0，故D正確；
故選：D．
9．如圖，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，則∠ABO的度數(shù)為（ ）
A．70°B．55°C．45°D．35°
【解答】解：連接OA、OC，
∵∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，
∴∠AOB＝2（∠ADC+∠BAC）＝70°，
∵OA＝OB（都是半徑），
∴∠ABO＝∠OAB＝（180°﹣∠AOB）＝55°．
故選：B．
10．如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E在BD上由點B向點D運動（點E不與點B重合），連接AE，將線段AE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段AF，連接BF交AO于點G．設BE的長為x，OG的長為y，下列圖象中大致反映y與x之間的函數(shù)關系的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：連接FD，
∵∠BAE+∠EAD＝90°，∠FAD+∠EAD＝90°，
∴∠BAE＝∠FAD．
又BA＝DA，EA＝FA，
∴△BAE≌△DAF（SAS）．
∴∠ADF＝∠ABE＝45°，F(xiàn)D＝BE．
∴∠FDO＝45°+45°＝90°．
∵GO⊥BD，F(xiàn)D⊥BD，
∴GO∥FD．
∵O為BD中點，
∴GO為△BDF的中位線．
∴OG＝FD．
∴y＝x，且x＞0，是在第一象限的一次函數(shù)圖象．
故選：A．
二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）
11．太陽的半徑大約為696000000，將數(shù)據(jù)696000000用科學記數(shù)法表示為 6.96×108 ．
【解答】解：將數(shù)據(jù)6 9600 0000用科學記數(shù)法表示為6.96×108．
故答案為：6.96×108．
12．分解因式：x3y﹣xy3＝ xy（x+y）（x﹣y） ．
【解答】解：x3y﹣xy3，
＝xy（x2﹣y2），
＝xy（x+y）（x﹣y）．
13．若關于x的一元二次方程x2+（2+a）x＝0有兩個相等的實數(shù)根，則a的值是 ﹣2 ．
【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2+（2+a）x＝0有兩個相等的實數(shù)根，
∴△＝（2+a）2﹣4×1×0＝0，
解得：a＝﹣2，
故答案為：﹣2．
14．在一個不透明的袋子中只裝有n個白球和2個紅球，這些球除顏色外其他均相同．如果從袋子中隨機摸出一個球，摸到紅球的概率是，那么n的值為 4 ．
【解答】解：根據(jù)題意得＝，
解得n＝4，
經(jīng)檢驗：n＝4是分式方程的解，
故答案為：4．
15．如圖，河的兩岸a，b互相平行，點A，B，C是河岸b上的三點，點P是河岸a上的一個建筑物，某人在河岸b上的A處測得∠PAB＝30°，在B處測得∠PBC＝75°，若AB＝80米，則河兩岸之間的距離約為 54.6 米．（≈1.73，結(jié)果精確到0.1米）
【解答】解：過點A作AE⊥a于點E，過點B作BD⊥PA于點D，
∵∠PBC＝75°，∠PAB＝30°，
∴∠DPB＝45°，
∵AB＝80，
∴BD＝40，AD＝40，
∴PD＝DB＝40，
∴AP＝AD+PD＝40+40，
∵a∥b，
∴∠EPA＝∠PAB＝30°，
∴AE＝AP＝20+20≈54.6，
故答案為：54.6
16．如圖，BD是?ABCD的對角線，按以下步驟作圖：①分別以點B和點D為圓心，
大于BD的長為半徑作弧，兩弧相交于E，F(xiàn)兩點；②作直線EF，分別交AD，BC于點M，N，連接BM，DN．若BD＝8，MN＝6，則?ABCD的邊BC上的高為 ．
【解答】解：由作法得MN垂直平分BD，
∴MB＝MD，NB＝ND，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠MDB＝∠NBD，
而MB＝MD，
∴∠MBD＝∠MDB，
∴∠MBD＝∠NBD，
而BD⊥MN，
∴△BMN為等腰三角形，
∴BM＝BN，
∴BM＝BN＝ND＝MD，
∴四邊形BMDN為菱形，
∴BN＝＝5，
設?ABCD的邊BC上的高為h，
∵MN?BD＝2BN?h，
∴h＝＝，
即?ABCD的邊BC上的高為．
故答案為．
17．如圖，在Rt△ABC的紙片中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13．點D在邊BC上，以AD
為折痕將△ADB折疊得到△ADB′，AB′與邊BC交于點E．若△DEB′為直角三角形
，則BD的長是 7或 ．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝＝＝12，
（1）當∠EDB′＝90°時，如圖1，
過點B′作B′F⊥AC，交AC的延長線于點F，
由折疊得：AB＝AB′＝13，BD＝B′D＝CF，
設BD＝x，則B′D＝CF＝x，B′F＝CD＝12﹣x，
在Rt△AFB′中，由勾股定理得：
（5+x）2+（12﹣x）2＝132，
即：x2﹣7x＝0，解得：x1＝0（舍去），x2＝7，
因此，BD＝7．
（2）當∠DEB′＝90°時，如圖2，此時點E與點C重合，
由折疊得：AB＝AB′＝13，則B′C＝13﹣5＝8，
設BD＝x，則B′D＝x，CD＝12﹣x，
在Rt△B′CD中，由勾股定理得：（12﹣x）2+82＝x2，解得：x＝，
因此BD＝．
故答案為：7或．
18．如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD延長線上的一點，連接PA，過點P作PE⊥PA交BC的延長線于點E，過點E作EF⊥BP于點F，則下列結(jié)論中：
①PA＝PE；②CE＝PD；③BF﹣PD＝BD；④S△PEF＝S△ADP
正確的是 ①②③ （填寫所有正確結(jié)論的序號）
【解答】解：①解法一：如圖1，在EF上取一點G，使FG＝FP，連接BG、PG，
∵EF⊥BP，
∴∠BFE＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠FBC＝∠ABD＝45°，
∴BF＝EF，
在△BFG和△EFP中，
∵，
∴△BFG≌△EFP（SAS），
∴BG＝PE，∠PEF＝∠GBF，
∵∠ABD＝∠FPG＝45°，
∴AB∥PG，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝∠APF+∠FPE＝∠FPE+∠PEF＝90°，
∴∠APF＝∠PEF＝∠GBF，
∴AP∥BG，
∴四邊形ABGP是平行四邊形，
∴AP＝BG，
∴AP＝PE；
解法二：如圖2，連接AE，∵∠ABC＝∠APE＝90°，
∴A、B、E、P四點共圓，
∴∠EAP＝∠PBC＝45°，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝90°，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴AP＝PE，
故①正確；
②如圖3，連接CG，由①知：PG∥AB，PG＝AB，
∵AB＝CD，AB∥CD，
∴PG∥CD，PG＝CD，
∴四邊形DCGP是平行四邊形，
∴CG＝PD，CG∥PD，
∵PD⊥EF，
∴CG⊥EF，即∠CGE＝90°，
∵∠CEG＝45°，
∴CE＝CG＝PD；
故②正確；
③如圖4，連接AC交BD于O，由②知：∠CGF＝∠GFD＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴∠COF＝90°，
∴四邊形OCGF是矩形，
∴CG＝OF＝PD，
∴BD＝OB＝BF﹣OF＝BF﹣PD，
故③正確；
④如圖4中，在△AOP和△PFE中，
∵，
∴△AOP≌△PFE（AAS），
∴S△AOP＝S△PEF，
∴S△ADP＜S△AOP＝S△PEF，
故④不正確；
本題結(jié)論正確的有：①②③，
故答案為：①②③．
三、解答題（第19題10分，第20題12分，共22分）
19．（10分）先化簡，再求值：÷（﹣），其中a＝（）﹣1﹣（﹣2）0．
【解答】解：÷（﹣）
＝
＝
＝
＝，
當a＝（）﹣1﹣（﹣2）0＝3﹣1＝2時，原式＝．
20．（12分）某學校為了解學生“第二課堂“活動的選修情況，對報名參加A．跆拳道，B．聲樂，C．足球，D．古典舞這四項選修活動的學生（每人必選且只能選修一項）進行抽樣調(diào)查．并根據(jù)收集的數(shù)據(jù)繪制了圖①和圖②兩幅不完整的統(tǒng)計圖．
根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
（1）本次調(diào)查的學生共有 200 人；在扇形統(tǒng)計圖中，B所對應的扇形的圓心角的度數(shù)是 144° ；
（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整；
（3）在被調(diào)查選修古典舞的學生中有4名團員，其中有1名男生和3名女生，學校想從這4人中任選2人進行古典舞表演．請用列表或畫樹狀圖的方法求被選中的2人恰好是1男1女的概率．
【解答】解：（1）本次調(diào)查的學生共有30÷15%＝200（人），
扇形統(tǒng)計圖中，B所對應的扇形的圓心角的度數(shù)是360°×＝144°，
故答案為：200、144；
（2）C活動人數(shù)為200﹣（30+80+20）＝70（人），
補全圖形如下：
（3）畫樹狀圖為：
或列表如下：
∵共有12種等可能情況，1男1女有6種情況，
∴被選中的2人恰好是1男1女的概率＝．
四、解答題（第21題12分，第22題12分，共24分）
21．（12分）在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別是A（﹣1，1），B（﹣4，1），C（﹣3，3）
（1）將△ABC向下平移5個單位長度后得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1；并判斷以O，A1，B為頂點的三角形的形狀（直接寫出結(jié)果）；
（2）將△ABC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2B2C2，請畫出△A2B2C2，并求出點C旋轉(zhuǎn)到C2所經(jīng)過的路徑長．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作，
∵OB＝＝，OA1＝＝，BA1＝＝，
∴OB2+OA12＝BA12，
∴以O，A1，B為頂點的三角形為等腰直角三角形；
（2）如圖，△A2B2C2為所作，點C旋轉(zhuǎn)到C2所經(jīng)過的路徑長＝＝π．
22．（12分）如圖，一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象與x軸、y軸分別交于A，B兩點，與反比例函數(shù)y＝的圖象分別交于C，D兩點，點C（2，4），點B是線段AC的中點．
（1）求一次函數(shù)y＝k1x+b與反比例函數(shù)y＝的解析式；
（2）求△COD的面積；
（3）直接寫出當x取什么值時，k1x+b＜．
【解答】解：（1）∵點C（2，4）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，
∴k2＝2×4＝8，
∴y2＝；
如圖，作CE⊥x軸于E，
∵C（2，4），點B是線段AC的中點，
∴B（0，2），
∵B、C在y1＝k1x+b的圖象上，
∴，
解得k1＝1，b＝2，
∴一次函數(shù)為y1＝x+2；
（2）由，
解得或，
∴D（﹣4，﹣2），
∴S△COD＝S△BOC+S△BOD＝×2×2+×2×4＝6；
（3）由圖可得，當0＜x＜2或x＜﹣4時，k1x+b＜．
五、解答題（滿分12分）
23．（12分）某公司研發(fā)了一款成本為50元的新型玩具，投放市場進行試銷售．其銷售單價不低于成本，按照物價部門規(guī)定，銷售利潤率不高于90%，市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，在一段時間內(nèi)，每天銷售數(shù)量y（個）與銷售單價x（元）符合一次函數(shù)關系，如圖所示：
（1）根據(jù)圖象，直接寫出y與x的函數(shù)關系式；
（2）該公司要想每天獲得3000元的銷售利潤，銷售單價應定為多少元
（3）銷售單價為多少元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？
【解答】解：（1）設y＝kx+b（k≠0，b為常數(shù)）
將點（50，160），（80，100）代入得
解得
∴y與x的函數(shù)關系式為：y＝﹣2x+260
（2）由題意得：（x﹣50）（﹣2x+260）＝3000
化簡得：x2﹣180x+8000＝0
解得：x1＝80，x2＝100
∵x≤50×（1+90%）＝95
∴x2＝100＞95（不符合題意，舍去）
答：銷售單價為80元．
（3）設每天獲得的利潤為w元，由題意得
w＝（x﹣50）（﹣2x+260）
＝﹣2x2+360x﹣13000
＝﹣2（x﹣90）2+3200
∵a＝﹣2＜0，拋物線開口向下
∴w有最大值，當x＝90時，w最大值＝3200
答：銷售單價為90元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是3200元．
六、解答題（滿分12分）
24．（12分）如圖，點M是矩形ABCD的邊AD延長線上一點，以AM為直徑的⊙O交矩形對角
線AC于點F，在線段CD上取一點E，連接EF，使EC＝EF．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若cs∠CAD＝，AF＝6，MD＝2，求FC的長．
【解答】（1）證明：連接OF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD+∠DCA＝90°，
∵EC＝EF，
∴∠DCA＝∠EFC，
∵OA＝OF，
∴∠CAD＝∠OFA，
∴∠EFC+∠OFA＝90°，
∴∠EFO＝90°，
∴EF⊥OF，
∵OF是半徑，
∴EF是⊙O的切線；
（2）連接MF，
∵AM是直徑，
∴∠AFM＝90°，
在Rt△AFM中，cs∠CAD＝＝，
∵AF＝6，
∴＝，
∴AM＝10，
∵MD＝2，
∴AD＝8，
在Rt△ADC中，cs∠CAD＝＝，
∴＝，
∴AC＝，
∴FC＝﹣6＝
七、解答題（滿分12分）
25．（12分）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是射線CB上一點（點D不與點B重合），以AD為斜邊作等腰直角三角形ADE（點E和點C在AB的同側(cè)），連接CE．
（1）如圖①，當點D與點C重合時，直接寫出CE與AB的位置關系；
（2）如圖②，當點D與點C不重合時，（1）的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；
（3）當∠EAC＝15°時，請直接寫出的值．
【解答】解：（1）當點D與點C重合時，CE∥AB，
理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE＝45°，
∴∠CAB＝∠ADE，
∴CE∥AB；
（2）當點D與點C不重合時，（1）的結(jié)論仍然成立，
理由如下：在AC上截取AF＝CD，連接EF，
∵∠AED＝∠ACB＝90°，
∴∠EAF＝∠EDC，
在△EAF和△EDC中，
，
∴△EAF≌△EDC（SAS），
∴EF＝EC，∠AEF＝∠DEC，
∵∠AED＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ECA＝45°，
∴∠ECA＝∠CAB，
∴CE∥AB；
（3）如圖②，∠EAC＝15°，
∴∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD，AC＝CD，
∴FC＝（﹣1）CD，
∵△CEF為等腰直角三角形，
∴EC＝FC＝CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝CD，
∴＝＝，
如圖③，∠EAC＝15°，
由（2）得，∠EDC＝∠EAC＝15°，
∴∠ADC＝30°，
∴CD＝AC，AB＝AC，
延長AC至G，使AG＝CD，
∴CG＝AG﹣AC＝DC﹣AC＝AC﹣AC，
在△EAG和△EDC中，
，
∴△EAG≌△EDC（SAS），
∴EG＝EC，∠AEG＝∠DEC，
∴∠CEG＝90°，
∴△CEG為等腰直角三角形，
∴EC＝CG＝AC，
∴＝，
綜上所述，當∠EAC＝15°時，的值為或．
八、解答題（滿分14分）
26．（14分）如圖，直線y＝﹣x+4與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過B，C兩點，與x軸另一交點為A．點P以每秒個單位長度的速度在線段BC上由點B向點C運動（點P不與點B和點C重合），設運動時間為t秒，過點P作x軸垂線交x軸于點E，交拋物線于點M．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖①，過點P作y軸垂線交y軸于點N，連接MN交BC于點Q，當＝時，求t的值；
（3）如圖②，連接AM交BC于點D，當△PDM是等腰三角形時，直接寫出t的值．
【解答】解：（1）直線y＝﹣x+4中，當x＝0時，y＝4
∴C（0，4）
當y＝﹣x+4＝0時，解得：x＝4
∴B（4，0）
∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過B，C兩點
∴ 解得：
∴拋物線解析式為y＝﹣x2+3x+4
（2）∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90°
∴OB＝OC
∴∠OBC＝∠OCB＝45°
∵ME⊥x軸于點E，PB＝t
∴∠BEP＝90°
∴Rt△BEP中，sin∠PBE＝
∴BE＝PE＝PB＝t
∴xM＝xP＝OE＝OB﹣BE＝4﹣t，yP＝PE＝t
∵點M在拋物線上
∴yM＝﹣（4﹣t）2+3（4﹣t）+4＝﹣t2+5t
∴MP＝y(tǒng)M﹣yP＝﹣t2+4t
∵PN⊥y軸于點N
∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90°
∴四邊形ONPE是矩形
∴ON＝PE＝t
∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t
∵MP∥CN
∴△MPQ∽△NCQ
∴
∴
解得：t1＝，t2＝4（點P不與點C重合，故舍去）
∴t的值為
（3）∵∠PEB＝90°，BE＝PE
∴∠BPE＝∠PBE＝45°
∴∠MPD＝∠BPE＝45°
①若MD＝MP，則∠MDP＝∠MPD＝45°
∴∠DMP＝90°，即DM∥x軸，與題意矛盾
②若DM＝DP，則∠DMP＝∠MPD＝45°
∵∠AEM＝90°
∴AE＝ME
∵y＝﹣x2+3x+4＝0時，解得：x1＝﹣1，x2＝4
∴A（﹣1，0）
∵由（2）得，xM＝4﹣t，ME＝y(tǒng)M＝﹣t2+5t
∴AE＝4﹣t﹣（﹣1）＝5﹣t
∴5﹣t＝﹣t2+5t
解得：t1＝1，t2＝5（0＜t＜4，舍去）
③若MP＝DP，則∠PMD＝∠PDM
如圖，記AM與y軸交點為F，過點D作DG⊥y軸于點G
∴∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠CDF
∴CF＝CD
∵A（﹣1，0），M（4﹣t，﹣t2+5t），設直線AM解析式為y＝ax+m
∴ 解得：
∴直線AM：y＝tx+t
∴F（0，t）
∴CF＝OC﹣OF＝4﹣t
∵tx+t＝﹣x+4，解得：x＝
∴DG＝xD＝
∵∠CGD＝90°，∠DCG＝45°
∴CD＝DG＝
∴4﹣t＝
解得：t＝﹣1
綜上所述，當△PDM是等腰三角形時，t＝1或t＝﹣1．
年齡（歲）
13
14
15
16
人數(shù)（人）
1
2
5
4
年齡（歲）
13
14
15
16
人數(shù)（人）
1
2
5
4
男
女1
女2
女3
男
﹣﹣﹣
（女，男）
（女，男）
（女，男）
女1
（男，女）
﹣﹣﹣
（女，女）
（女，女）
女2
（男，女）
（女，女）
﹣﹣﹣
（女，女）
女3
（男，女）
（女，女）
（女，女）
﹣﹣﹣