高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第7章立體幾何第5節(jié)空間向量的運算及應(yīng)用學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

　空間向量的運算及應(yīng)用[考試要求]　1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.4.理解直線的方向向量及平面的法向量.5.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系.6.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理．1．空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共線向量(或平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量共面向量平行于同一個平面的向量2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空間的一個基底．3．兩個向量的數(shù)量積(1)非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空間向量數(shù)量積的運算律：①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|夾角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝5.空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n·m＝01．對空間任一點O，若＝x＋y(x＋y＝1)，則P，A，B三點共線．2．對空間任一點O，若＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，則P，A，B，C四點共面．3．平面的法向量的確定：設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩不共線向量，n為平面α的法向量，則求法向量的方程組為一、易錯易誤辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)空間中任意兩非零向量a，b共面． (　　)(2)若A，B，C，D是空間任意四點，則有＋＋＋＝0. (　　)(3)對于非零向量b，由a·b＝b·c，則a＝c. (　　)(4)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同． (　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×二、教材習(xí)題衍生1．已知平面α，β的法向量分別為n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，則(　　)A．α∥β　　　　　　　　 B．α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不對C　[∵n1≠λn2，且n1·n2＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直．]2.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點．若＝a，＝b，＝c，則下列向量中與相等的向量是(　　)A．－a＋b＋c B．a＋b＋cC．－a－b＋c D．a－b＋cA　[＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.]3．O為空間中任意一點，A，B，C三點不共線，且＝＋＋t，若P，A，B，C四點共面，則實數(shù)t＝ .　[∵P，A，B，C四點共面，∴＋＋t＝1，∴t＝.]4．正四面體ABCD的棱長為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，則EF的長為．　[||2＝2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，所以||＝，所以EF的長為.]考點一　空間向量的線性運算　用基向量表示指定向量的方法(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形．(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中．(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來．1.如圖所示，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N分別為OA，BC的中點，點G在線段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，則x＋y＋z＝ .　[連接ON，設(shè)＝a，＝b，＝c，則＝－＝(＋)－＝b＋c－a，＝＋＝＋＝a＋＝a＋b＋c.又＝x＋y＋z，所以x＝，y＝，z＝，因此x＋y＋z＝＋＋＝.]2.如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)＝a，＝b，＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3)＋.[解]　(1)因為P是C1D1的中點，所以＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.(2)因為N是BC的中點，所以＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.(3)因為M是AA1的中點，所以＝＋＝＋＝－a＋＝a＋b＋c，又＝＋＝＋＝＋＝c＋a，所以＋＝＋＝a＋b＋c.點評：空間向量的線性運算類似于平面向量中的線性運算．考點二　共線(共面)向量定理的應(yīng)用　證明三點共線和空間四點共面的方法比較三點(P，A，B)共線空間四點(M，P，A，B)共面＝λ且同過點P＝x＋y對空間任一點O，＝＋t對空間任一點O，＝＋x＋y對空間任一點O，＝x＋(1－x)對空間任一點O，＝x＋y＋(1－x－y)[典例1]　如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別為空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點．(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)求證：BD∥平面EFGH.[證明]　(1)連接BG，EG，則＝＋＝＋＝＋＋＝＋.由共面向量定理的推論知E，F(xiàn)，G，H四點共面．(2)因為＝－＝－＝(－)＝，所以EH∥BD．又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.點評：證明點共面問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問題，如要證明P，A，B，C四點共面，只要能證明＝x＋y，或?qū)臻g任一點O，有＝＋x＋y，或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)即可．1．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，則λ與μ的值可以是(　　)A．2，　　　　　　　 B．－，C．－3,2 D．2,2A　[∵a∥b，∴設(shè)b＝xa，∴解得或故選A．]2．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，則實數(shù)λ等于．　[∵a與b不共線，故存在實數(shù)x，y使得c＝xa＋yb，∴解得故填.]考點三　空間向量數(shù)量積的應(yīng)用　空間向量數(shù)量積的應(yīng)用[典例2]　如圖所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°.(1)求AC1的長；(2)求證：AC1⊥BD；(3)求BD1與AC夾角的余弦值．[解]　(1)記＝a，＝b，＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝.|1|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6，∴||＝，即AC1的長為.(2)證明：∵1＝a＋b＋c，＝b－a，∴1·＝(a＋b＋c)·(b－a)＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c＝b·c－a·c＝|b||c|cos 60°－|a||c|cos 60°＝0.∴1⊥，∴AC1⊥BD．(3)1＝b＋c－a，＝a＋b，∴|1|＝，||＝，1·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.∴cos〈1，〉＝＝.∴AC與BD1夾角的余弦值為.點評：解決數(shù)量積的兩條常用途徑：一是數(shù)量積的定義，常借助基向量運算求解；二是坐標(biāo)法，常用于可好建系的幾何體(如正方體、長方體等)．如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是A1B1，A1A的中點．(1)求的模；(2)求cos〈，〉的值；(3)求證：A1B⊥C1M.[解]　(1)如圖，以點C作為坐標(biāo)原點O，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．由題意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，所以||＝＝.(2)由題意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，所以＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，·＝3，||＝，||＝，所以cos〈，〉＝＝.(3)證明：由題意得C1(0,0,2)，M，＝(－1,1，－2)，＝，所以·＝－＋＋0＝0，所以⊥，即A1B⊥C1M.考點四　利用向量證明平行與垂直　1.利用空間向量證明平行的方法線線平行證明兩直線的方向向量共線線面平行①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行面面平行①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題2.利用空間向量證明垂直的方法線線垂直證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零線面垂直證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示面面垂直證明兩個平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?/span> [典例3]　如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，點M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°角，求證：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD．[解]　(1)證明：由題意知，CB，CD，CP兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點，CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°.∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4，∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)，＝.設(shè)n＝(x，y，z)為平面PAD的一個法向量，由即令y＝2，得n＝(－，2,1)．∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0，∴n⊥.又CM?平面PAD，∴CM∥平面PAD．(2)法一：由(1)知＝(0,4,0)，＝(2，0，－2)，設(shè)平面PAB的一個法向量為m＝(x0，y0，z0)，由即令x0＝1，得m＝(1,0，)．又∵平面PAD的一個法向量n＝(－，2,1)，∴m·n＝1×(－)＋0×2＋×1＝0，∴平面PAB⊥平面PAD．法二：取AP的中點E，連接BE，則E(，2,1)，＝(－，2,1)．∵PB＝AB，∴BE⊥PA．又∵·＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0，∴⊥.∴BE⊥DA．又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD．又∵BE?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．點評：利用向量法證明空間位置關(guān)系的關(guān)鍵是相應(yīng)坐標(biāo)元素的正確求解．如本例中的點M可借助＝4可得．如圖所示，在長方體ABCD -A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD中點．(1)求證：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．[解]　以A為原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AB＝a.(1)證明：A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故＝(0,1,1)，＝.因為·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，因此⊥，所以B1E⊥AD1.(2)存在滿足要求的點P，假設(shè)在棱AA1上存在一點P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，此時＝(0，－1，z0)，再設(shè)平面B1AE的一個法向量為n＝(x，y，z)．＝(a,0,1)，＝.因為n⊥平面B1AE，所以n⊥，n⊥，得取x＝1，則y＝－，z＝－a，則平面B1AE的一個法向量n＝.要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝.所以存在點P，滿足DP∥平面B1AE，此時AP＝.

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