1．（3分）有長分別為2cm，3cm，4cm，5cm的四根木棍，用其中的三根首尾順次相接不能組成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cmB．2cm，3cm，5cm
C．2cm，4cm，5cmD．3cm，4cm，5cm
2．（3分）下列運算正確的是（ ）
A．a(chǎn)3?a4＝a12B．（a3）﹣2＝a
C．（﹣3a2）﹣3＝﹣27a6D．（﹣a2）3＝﹣a6
3．（3分）把0.000000125這個數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法可表示為（ ）
A．0.125×10﹣7B．125×10﹣6
C．1.25×10﹣7D．0.125×10﹣8
4．（3分）下列式子：﹣5x，，，，，其中分式有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
5．（3分）已知鈍角三角形ABC，畫BC邊上的高，正確的畫法是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式可變形為（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）下列各式變形中，是因式分解的是（ ）
A．a(chǎn)2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1
B．2x2+2x＝2x2（1+）
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
D．x4﹣1＝（x2+1）（x+1）（x﹣1）
8．（3分）如果把分式中的x和y都擴大2倍，那么分式的值（ ）
A．擴大為原來的4倍B．擴大為原來的2倍
C．不變D．縮小為原來的倍
9．（3分）如圖，已知∠AOB＝60°，點P在邊OA上，OP＝10，點M，N在邊OB上，PM＝PN，若NM＝4，則OM的值（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．（3分）計算的結果是（ ）
A．B．C．D．
11．（3分）如圖在邊長為a的正方形紙片中剪去一個邊長為b的小正方形，把余下的部分沿虛線剪開，拼成一個矩形，分別計算這兩個圖形陰影部分的面積，可以驗證的等式是（ ）
A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）
12．（3分）如圖．P是等邊△ABC內(nèi)的一點，連接PA，PB，PC．以BP為邊作等邊△BPM，連接CM．若∠APC＝100°，△PMC為直角三角形．則∠BPC的度數(shù)是（ ）
A．50°B．60°
C．150°或110°D．150°或120°
二、填空怎（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）
13．（3分）已知am＝6，an＝3，則am﹣n＝ ．
14．（3分）分式的值為0，那么x的值為 ．
15．（3分）如圖，△ABC，AB＝AC，點D、E分別在邊BC、AB上，AD＝AE，∠CAD＝50°，那么∠EDB＝ 度．
16．（3分）方程的解為 ．
17．（3分）已知：x+＝3，則x2+＝ ．
18．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD是∠BAC的平分線且AD＝8，若P、Q分別是AD、AC上的動點，則PC+PQ的最小值是 ．
三、解答案題（本大題共8個小題，共66分）
19．（6分）整式乘法：
（1）（2x3y2﹣4x2y）÷2xy；
（2）（﹣2x）?（﹣x2+2x﹣3）．
20．（6分）把下列多項式分解因式：
（1）3a2﹣6ab+3b2；
（2）4m2﹣9n2．
21．（8分）先化簡：，再從﹣3，1，2中選取一個合適的數(shù)作為x的值代入求值．
22．（8分）如圖，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，∠ADB＝∠AMN．求證：∠B＝∠ANM．
23．（9分）如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD＝2.7cm，DE＝1.8cm．
（1）求證：△ACD≌△CBE．
（2）求BE的長．
24．（9分）已知：△ABC為等邊三角形，點D、E分別在BC和AC上，并且CD＝AE，連接AD、BE相交于點N，過點B作BM⊥AD于點M．
（1）求證：BE＝AD；
（2）若NE＝2，MN＝5，求AD的長．
25．（10分）我們定義：若一條線段將三角形分割成2個等腰三角形，則這條線段是這個三角形的“黃金線”．若兩條線段將一個三角形分割成3個等腰三角形，則這兩條線段是這個三角形的“鉆石線”．例如：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，過點C作∠ACD＝30°，△ACD和△BCD都是等腰三角形，則線段CD是△ABC的“黃金線”．延長CB至點E，使AB＝BE，連接AE，兩條線段AB、CD將△ACE分割成3個等腰三角形，則這兩條線段AB、CD是△ACE的“鉆石線”．
（1）如圖2，已知銳角△ABC中，∠BAC＝25°，∠ABC＝75°，若存在線段BD是△ABC的“黃金線”，則其中鈍角等腰三角形的頂角是 °；
（2）如圖3，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點O是AB的中點，過點C作∠BCD＝40°，交AB的延長線于點D，CD邊上的一點E恰好在OD的垂直平分線上，求證：線段CO、OE是△ACD的“鉆石線”；
（3）若一個等腰三角形有“黃金線”，則這個等腰三角形的底角度數(shù)是 °．
26．（10分）如圖，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點A、B分別在坐標軸上．
（1）如圖①，若C點的橫坐標為5，求B點的坐標；
（2）如圖②，若x軸恰好平分∠BAC，BC交x軸于點M，過C點作CD⊥x軸于D點，求的值；
（3）如圖③，若點A的坐標為（﹣4，0），點B在y軸的正半軸上運動時，分別以OB、AB為邊在第一、第二象限作等腰Rt△OBF，等腰Rt△ABE，連接EF交y軸于P點，當點B在y軸上移動時，PB的長度是否發(fā)生改變？若不變，求出PB的值，若變化，求PB的取值范圍．
2022-2023學年湖南省長沙市岳麓區(qū)周南梅溪湖中學八年級（上）第三次月考數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）
1．（3分）有長分別為2cm，3cm，4cm，5cm的四根木棍，用其中的三根首尾順次相接不能組成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cmB．2cm，3cm，5cm
C．2cm，4cm，5cmD．3cm，4cm，5cm
【分析】根據(jù)三角形的三邊關系：任意兩邊的和一定大于第三邊，即兩個短邊的和大于最長的邊，即可進行判斷．
【解答】解：A、2+3＞4，故能構成三角形，不符合題意；
B、2+3＝5，不能構成三角形，符合題意；
C、2+4＞5，能組成三角形，不符合題意；
D、3+4＞5，故能構成三角形，不符合題意．
故選：B．
【點評】本題考查了三角形的三邊的關系，正確理解三邊關系是解題關鍵．
2．（3分）下列運算正確的是（ ）
A．a(chǎn)3?a4＝a12B．（a3）﹣2＝a
C．（﹣3a2）﹣3＝﹣27a6D．（﹣a2）3＝﹣a6
【分析】直接利用積的乘方運算法則以及同底數(shù)冪的乘法運算法則、負指數(shù)冪的性質(zhì)分別計算得出答案．
【解答】解：A、a3?a4＝a7，故此選項錯誤；
B、（a3）﹣2＝，故此選項錯誤；
C、（﹣3a2）﹣3＝﹣，故此選項錯誤；
D、（﹣a2）3＝﹣a6，正確；
故選：D．
【點評】此題主要考查了積的乘方運算和同底數(shù)冪的乘法運算、負指數(shù)冪的性質(zhì)，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．
3．（3分）把0.000000125這個數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法可表示為（ ）
A．0.125×10﹣7B．125×10﹣6
C．1.25×10﹣7D．0.125×10﹣8
【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．
【解答】解：根據(jù)科學記數(shù)法和負整數(shù)指數(shù)冪的意義可知：0.000000125＝1.25×10﹣7．
故選：C．
【點評】本題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤a＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．
4．（3分）下列式子：﹣5x，，，，，其中分式有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】根據(jù)分母中含有字母的式子是分式，可得答案．
【解答】解：，的分母中含有字母，屬于分式，共有2個．
故選：B．
【點評】本題考查了分式，利用了分式的定義，注意π是常數(shù)．
5．（3分）已知鈍角三角形ABC，畫BC邊上的高，正確的畫法是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)三角形高的定義，過A點作BC的垂線，則垂線段為BC邊上的高，從而可對各選項進行判斷．
【解答】解：畫BC邊上的高，正確的畫法為．
故選：C．
【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關鍵．也考查了三角形的角平分線、中線和高．
6．（3分）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式可變形為（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣＝，
故選：D．
【點評】本題考查分式的基本性質(zhì)，解題的關鍵是熟練運用分式的基本性質(zhì)，本題屬于基礎題型．
7．（3分）下列各式變形中，是因式分解的是（ ）
A．a(chǎn)2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1
B．2x2+2x＝2x2（1+）
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
D．x4﹣1＝（x2+1）（x+1）（x﹣1）
【分析】根據(jù)因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，可得答案．
【解答】解：A a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1中不是把多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，故A錯誤；
B 2x2+2x＝2x2（1+）中不是整式，故B錯誤；
C （x+2）（x﹣2）＝x2﹣4是整式乘法，故C錯誤；
D x4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）＝（x2+1）（x+1）（x﹣1），故D正確．
故選：D．
【點評】本題考查了因式分解的意義，因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，注意B不是整式的積，A、C不是積的形式．
8．（3分）如果把分式中的x和y都擴大2倍，那么分式的值（ ）
A．擴大為原來的4倍B．擴大為原來的2倍
C．不變D．縮小為原來的倍
【分析】依題意，分別用2x和2y去代換原分式中的x和y，利用分式的基本性質(zhì)化簡即可．
【解答】解：分別用2x和2y去代換原分式中的x和y，
得＝＝，
可見新分式擴大為原來的2倍．
故選：B．
【點評】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，解題的關鍵是抓住分子、分母變化的倍數(shù)．
規(guī)律總結：解此類題首先把字母變化后的值代入式子中，然后約分，再與原式比較，最終得出結論．
9．（3分）如圖，已知∠AOB＝60°，點P在邊OA上，OP＝10，點M，N在邊OB上，PM＝PN，若NM＝4，則OM的值（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】作PH⊥MN于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出MH，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出OH，計算即可．
【解答】解：過點P作PH⊥MN于H，
∵PM＝PN，
∴MH＝NH＝MN＝2，
∵∠AOB＝60°，
∴∠OPH＝30°，
∵OP＝10，
∴OH＝OP＝5，
∴OM＝OH﹣MH＝3，
故選：B．
【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關鍵．
10．（3分）計算的結果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的定義可得答案．
【解答】解：＝﹣．
故選：A．
【點評】本題考查分式的乘方運算、負整數(shù)指數(shù)冪的意義，本題屬于基礎題型，掌握各公式是關鍵．
11．（3分）如圖在邊長為a的正方形紙片中剪去一個邊長為b的小正方形，把余下的部分沿虛線剪開，拼成一個矩形，分別計算這兩個圖形陰影部分的面積，可以驗證的等式是（ ）
A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）
【分析】第一個圖形中陰影部分的面積計算方法是邊長是a的正方形的面積減去邊長是b的小正方形的面積，等于a2﹣b2；第二個圖形陰影部分是一個長是（a+b），寬是（a﹣b）的長方形，面積是（a+b）（a﹣b）；這兩個圖形的陰影部分的面積相等．
【解答】解：∵圖中陰影部分的面積＝a2﹣b2，圖中陰影部分的面積＝（a+b）（a﹣b），
而兩個圖形中陰影部分的面積相等，
∴陰影部分的面積＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故選：A．
【點評】此題主要考查了乘法的平方差公式．即兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差，這個公式就叫做平方差公式．
12．（3分）如圖．P是等邊△ABC內(nèi)的一點，連接PA，PB，PC．以BP為邊作等邊△BPM，連接CM．若∠APC＝100°，△PMC為直角三角形．則∠BPC的度數(shù)是（ ）
A．50°B．60°
C．150°或110°D．150°或120°
【分析】證明△ABP≌△CBM得∠APB＝∠CMB，設∠APB＝x，∠CPM＝y(tǒng)，∠PMC＝z；首先證明y+z＝140°，再分兩種情形解決問題即可．
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，△BPM是等邊三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠PBM＝60°，BP＝BM，
∴∠ABP＝∠ABM，
∴△ABP≌△CBM，
設∠APB＝x，∠CPM＝y(tǒng)，∠PMC＝z，
∵△PBM為等邊三角形，
∴∠BPM＝∠BMP＝60°，
由∠APC＝100°知，x+y＝360°﹣100°﹣60°＝200°，
由△ABP≌△CBM知，∠BMC＝∠APB＝x，
∴60°+z+y＝200°，
故z+y＝140°，∠PCM＝40°，
∵△PMC為直角三角形，
∴z＝90°或y＝90°，
當z＝90°時，y＝50°，
∴∠BPC＝60°+50°＝110°
當y＝90°時，∠BPC＝60°+90°＝150°，
綜上所述∠BPC＝150°或110°．
故選：C．
【點評】本題考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)、等邊三角形的判定及其性質(zhì)等的應用問題；解題的關鍵是準確判斷出圖形中隱含的一對全等三角形，學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考常考題型．
二、填空怎（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）
13．（3分）已知am＝6，an＝3，則am﹣n＝ 2 ．
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則去做即可．
【解答】解：am﹣n＝am÷an＝6÷3＝2．
故答案為：2．
【點評】本題考查了同底數(shù)冪的除法，熟知同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減是解題的關鍵．
14．（3分）分式的值為0，那么x的值為 3 ．
【分析】分式的值為0的條件是：（1）分子為0；（2）分母不為0．兩個條件需同時具備，缺一不可．據(jù)此可以解答本題．
【解答】解：由題意可得：x2﹣9＝0且x+3≠0，
解得x＝3．
故答案為：3．
【點評】此題主要考查了分式值為零的條件，關鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個條件不能少．
15．（3分）如圖，△ABC，AB＝AC，點D、E分別在邊BC、AB上，AD＝AE，∠CAD＝50°，那么∠EDB＝ 25 度．
【分析】設∠BAD＝x，求出∠AED＝∠ADE＝，∠B＝∠C＝，再根據(jù)外角的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：設∠BAD＝x，
∵AD＝AE，∠CAD＝50°，
∴∠AED＝∠ADE＝，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝，
∵∠AED＝∠B+∠EDB，
∴∠EDB＝∠AED﹣∠B＝﹣＝25°，
故答案為：25．
【點評】本題考查了三角形的性質(zhì)，掌握三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．
16．（3分）方程的解為 x＝7 ．
【分析】觀察可得最簡公分母是（x﹣3），方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．
【解答】解：原方程可化為：，
方程的兩邊同乘（x﹣3），得
1＝2（x﹣3）﹣x，
解得x＝7．
經(jīng)檢驗x＝7是方程的解，
故原方程的解為：x＝7．
【點評】（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要驗根．
17．（3分）已知：x+＝3，則x2+＝ 7 ．
【分析】根據(jù)完全平方公式解答即可．
【解答】解：∵x+＝3，
∴（x+）2＝x2+2+＝9，
∴x2+＝7，
故答案為：7．
【點評】本題考查了完全平方公式，熟記完全平方公式是解題的關鍵．
18．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD是∠BAC的平分線且AD＝8，若P、Q分別是AD、AC上的動點，則PC+PQ的最小值是 9.6 ．
【分析】由等腰三角形的三線合一可得出AD垂直平分BC，過點B作BQ⊥AC于點Q，BQ交AD于點P，則此時PC+PQ取最小值，最小值為BQ的長，在△ABC中，利用面積法可求出BQ的長度，此題得解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
過點B作BQ⊥AC于點Q，BQ交AD于點P，則此時PC+PQ取最小值，最小值為BQ的長，如圖所示．
∵S△ABC＝BC?AD＝AC?BQ，
∴BQ＝＝9.6．
故答案為：9.6．
【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的面積，利用點到直線垂直線段最短找出PC+PQ的最小值為BQ是解題的關鍵．
三、解答案題（本大題共8個小題，共66分）
19．（6分）整式乘法：
（1）（2x3y2﹣4x2y）÷2xy；
（2）（﹣2x）?（﹣x2+2x﹣3）．
【分析】（1）利用乘法分配律以及整式運算法則解答即可；
（2）利用乘法分配律以及整式運算法則解答即可．
【解答】解：（1）（2x3y2﹣4x2y）÷2xy
＝
＝
＝x2y﹣2x．
（2）﹣2x（﹣x2+2x﹣3）
＝（﹣2x）?（﹣x2）+（﹣2x）?2x﹣（﹣2x）?3
＝2x3﹣4x2+6x．
【點評】本題考查整式運算法則，以及乘法分配律，解題的關鍵是掌握整式運算法則和乘法分配律．
20．（6分）把下列多項式分解因式：
（1）3a2﹣6ab+3b2；
（2）4m2﹣9n2．
【分析】（1）直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式得出答案；
（2）直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）3a2﹣6ab+3b2
＝3（a2﹣2ab+b2）
＝3（a﹣b）2；
（2）4m2﹣9n2＝（2m﹣3n）（2m+3n）．
【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運用公式法分解因式是解題關鍵．
21．（8分）先化簡：，再從﹣3，1，2中選取一個合適的數(shù)作為x的值代入求值．
【分析】先利用異分母分式加減法法則計算括號里，再算括號外，然后把x的值代入化簡后的式子進行計算即可解答．
【解答】解：
＝?
＝?
＝，
∵x+3≠0，x﹣1≠0，
∴x≠﹣3，x≠1，
∴當x＝2時，原式＝＝2．
【點評】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握因式分解是解題的關鍵．
22．（8分）如圖，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，∠ADB＝∠AMN．求證：∠B＝∠ANM．
【分析】先證∠BAD＝∠NAM，再證△BAD≌△NAM（AAS），即可得出結論．
【解答】證明：∵∠BAC＝∠DAM，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAM﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠NAM．
在△BAD和△NAM中，
，
∴△BAD≌△NAM（AAS），
∴∠B＝∠ANM．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△BAD≌△NAM是解題的關鍵．
23．（9分）如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD＝2.7cm，DE＝1.8cm．
（1）求證：△ACD≌△CBE．
（2）求BE的長．
【分析】（1）由垂直得∠ADC＝∠CEB＝90°，求出∠ACD＝∠CBE，然后利用AAS即可證明△ACD≌△CBE；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得CE＝AD＝2.7cm，BE＝CD，根據(jù)CD＝CE﹣DE求出CD即可得到BE的長．
【解答】（1）證明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCE＝90°﹣∠BCE，
∵∠CBE＝90°﹣∠BCE，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△ACD與△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）解：由（1）知，：△ACD≌△CBE，
∴CE＝AD＝2.7cm，BE＝CD，
∵CD＝CE﹣DE＝2.7﹣1.8＝0.9cm，
∴BE＝0.9cm．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理和全等三角形對應邊相等的性質(zhì)是解題的關鍵．
24．（9分）已知：△ABC為等邊三角形，點D、E分別在BC和AC上，并且CD＝AE，連接AD、BE相交于點N，過點B作BM⊥AD于點M．
（1）求證：BE＝AD；
（2）若NE＝2，MN＝5，求AD的長．
【分析】（1）SAS證明△ABE≌△CAD，進而解答即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．
【解答】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，
在△ABE與△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE＝AD；
（2）∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD，
∴∠BND＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°，
∴∠MBN＝30°，
∴BN＝2MN＝2×5＝10，
∴BE＝BN+NE＝10+2＝12，
∴AD＝12．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．
25．（10分）我們定義：若一條線段將三角形分割成2個等腰三角形，則這條線段是這個三角形的“黃金線”．若兩條線段將一個三角形分割成3個等腰三角形，則這兩條線段是這個三角形的“鉆石線”．例如：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，過點C作∠ACD＝30°，△ACD和△BCD都是等腰三角形，則線段CD是△ABC的“黃金線”．延長CB至點E，使AB＝BE，連接AE，兩條線段AB、CD將△ACE分割成3個等腰三角形，則這兩條線段AB、CD是△ACE的“鉆石線”．
（1）如圖2，已知銳角△ABC中，∠BAC＝25°，∠ABC＝75°，若存在線段BD是△ABC的“黃金線”，則其中鈍角等腰三角形的頂角是 130 °；
（2）如圖3，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點O是AB的中點，過點C作∠BCD＝40°，交AB的延長線于點D，CD邊上的一點E恰好在OD的垂直平分線上，求證：線段CO、OE是△ACD的“鉆石線”；
（3）若一個等腰三角形有“黃金線”，則這個等腰三角形的底角度數(shù)是 72或36或45°或 °．
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答即可；
（2）證明△AOC，△OCE，△CED都是等腰三角形即可；
（3）設底角度數(shù)為x，分三種情況利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答即可．
【解答】（1）解：如圖2中，
∵BD是“黃金線“，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA＝25°，
∴∠CDB＝∠A+∠DBA＝50°，
∵∠ABC＝75°，
∴∠CBD＝75°﹣25°＝50°，
∴∠CDB＝∠CBD＝50°，
∴△ADB，△CDB都是等腰三角形，
∴∠ADB＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
故答案為：130；
（2）證明：如圖3中，
∵∠ACB＝90°，AO＝OB，
∴OC＝OA＝OB，
∴△AOC是等腰三角形，
∵∠BCD＝40°，
∴∠ACD＝90°+40°＝130°，
∴∠D＝180°﹣130°﹣30°＝20°，
∵點E在OD的垂直平分線上，
∴ED＝EO，
∴∠D＝∠EOD＝20°，
∴∠OEC＝∠D+∠EOD＝40°，
∵∠OCA＝∠A＝30°，
∴∠OCB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ECO＝60°+40°＝100°，
∴∠COE＝180°﹣100°﹣40°＝40°，
∴∠COE＝∠CEO＝40°，
∴CO＝CE，
∴△CEO，△OED都是等腰三角形，
∴線段CO、OE是△ACD的“鉆石線”；
（3）解：①設△ABC是以AB、AC為腰的銳角三角形，BD為“雙等腰線”，如圖5，
當AD＝BD，BD＝BC時，
設∠A＝x°，則∠ABD＝x°，
∴∠BDC＝∠C＝2x°，
∴∠ABC＝∠C＝2x°，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x°+2x°+2x°＝180°，
∴x＝36°，2x＝72°，
∴∠C＝72°，
②設△ABC是以AB、AC為腰的鈍角三角形，AD為“雙等腰線”，如圖6，
當AB＝BD，AD＝CD時，
設∠B＝y(tǒng)°，則∠C＝y(tǒng)°，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝y(tǒng)°，
∴∠ADB＝2y°，
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠ADB＝2y°，
∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，
∴y°+2y°+2y°＝180°，
∴y＝36°，
∴∠B＝∠C＝36°，
③設△ABC是以AB、AC為腰的直角三角形，AD為“雙等腰線”，如圖7，
當AB＝BD，AD＝CD時，AD為BC的垂直平分線，
設∠B＝z°，則∠C＝z°，∠BAD＝z°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∴z°+z°＝90°，
∴z＝45°，
∴∠B＝∠C＝45°，
④設頂角為x，
可得，x+3x+3x＝180°
解得：x＝（）°，
∴∠C＝3x＝（）°，
故答案為：72或36或45°或．
【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是理解三角形的“黃金線”，“鉆石線”的定義，屬于中考創(chuàng)新題型．
26．（10分）如圖，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點A、B分別在坐標軸上．
（1）如圖①，若C點的橫坐標為5，求B點的坐標；
（2）如圖②，若x軸恰好平分∠BAC，BC交x軸于點M，過C點作CD⊥x軸于D點，求的值；
（3）如圖③，若點A的坐標為（﹣4，0），點B在y軸的正半軸上運動時，分別以OB、AB為邊在第一、第二象限作等腰Rt△OBF，等腰Rt△ABE，連接EF交y軸于P點，當點B在y軸上移動時，PB的長度是否發(fā)生改變？若不變，求出PB的值，若變化，求PB的取值范圍．
【分析】（1）作CD⊥BO，易證△ABO≌△BCD，根據(jù)全等三角形對應邊相等的性質(zhì)即可解題；
（2）設AB＝BC＝a，根據(jù)勾股定理求出AC＝a，根據(jù)MA（即x軸）平分∠BAC，得到＝＝，求得BM＝（﹣1）a，MC＝（2﹣）a，AM＝a，再證明Rt△ABM∽Rt△CDM，得到＝，即CD＝，即可解答，
（3）作EG⊥y軸，易證△BAO≌△EBG和△EGP≌△FBP，可得BG＝AO和PB＝PG，即可求得PB＝AO，即可解題．
【解答】解：（1）如圖1，作CD⊥BO于D，
∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBD＝∠BAO，
在△ABO和△BCD中，
，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴CD＝BO＝5，
∴B點坐標（O，5）；
（2）設AB＝BC＝a，
則AC＝a，
∵MA（即x軸）平分∠BAC，
∴＝＝，
即MC＝BM，
∵BC＝BM+MC＝a，
∴BM+BM＝a，
解得BM＝（﹣1）a，MC＝（2﹣）a
則AM＝＝a，
∵∠ABM＝∠CDM＝90°
且∠AMB＝∠CMD
∴Rt△ABM∽Rt△CDM，
∴＝，
即CD＝，
∴＝＝；
解法二：延長CD交AB的延長線于點T．
可證△ABM≌△CBT（AAS），
∴AM＝CT，
再證明CD＝DT，可得AM＝2CD，
∴＝．
（3）如圖3，作EG⊥y軸于G，
∵∠BAO+∠OBA＝90°，∠OBA+∠EBG＝90°，
∴∠BAO＝∠EBG，
在△BAO和△EBG中，
，
∴△BAO≌△EBG（AAS），
∴BG＝AO，EG＝OB，
∵OB＝BF，
∴BF＝EG，
在△EGP和△FBP中，
，
∴△EGP≌△FBP（AAS），
∴PB＝PG，
∴PB＝BG＝AO＝2．
【點評】本題考查了勾股定理、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的證明是解本題的關鍵．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2023/11/30 14:57:24；用戶：易老師；郵箱：18973713925；學號：40097700

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