2024山西省實驗中學高二上學期期中考試數(shù)學PDF版含答案-試卷下載-教習網(wǎng)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．
1．若，，三點共線，則（）
A．4B．C．1D．0
【答案】A
【分析】根據(jù)空間向量平行坐標關(guān)系計算求解即可.
【詳解】因為，，所以，
解得．故．
故選：A.
2. 已知兩條平行直線：與：間的距離為4，則C的值為（）
A. 14 B. －2C. －10 D. 14或－10
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)兩平行直線的距離公式可得，求解即可.
【詳解】根據(jù)兩平行直線的距離公式可得，解得或，
又因為，所以.
故選：B.
3. 已知，，過點的直線l與線段AB有公共點，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】畫出圖象，結(jié)合斜率公式求得傾斜角的取值范圍.
【詳解】畫出圖象如下圖所示，
，所以直線的傾斜角為，
，所以直線的傾斜角為，
結(jié)合圖象可知，直線的傾斜角的取值范圍是.
故選：D.

4. 一條光線從點射向x軸，經(jīng)過x軸上的點P反射后通過點，則點P的坐標為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如圖，由題可得點B關(guān)于軸的對稱點，后可得直線方程，則直線與軸交點即為點P.
【詳解】如圖，由題可得關(guān)于軸的對稱點為，
則直線方程為：，令，得，
則點P.
故選：D

5.已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為M，設(shè)A是圓上任意一點，N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是( )
A．圓 B．橢圓
C．雙曲線 D．線段
答案 B
解析點P在線段AN的垂直平分線上，故|PA|＝|PN|.又AM是圓的半徑，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由橢圓的定義知，動點P的軌跡是橢圓．
6. 如圖，在平行六面體中，，，若，則為（）

A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)，且，以為一個空間基底，求得，，結(jié)合，列出方程，即可求解.
【詳解】設(shè)，且，
因為，以為一個空間基底，
可得，，
又因為，可得，
即，即，
解得或（舍去），即的值為.
故選：D.
7．在橢圓上求一點，使點到直線的距離最大時，點的坐標為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先利用判別式法，求出與橢圓相切的直線方程，然后即可求得本題答案.
【詳解】設(shè)直線與橢圓相切，
聯(lián)立方程，得①，
因為直線與橢圓相切，所以，得，
當時，與的距離最大，最大距離為，
把代入①得，，得，
代入，得，
所以點的坐標為，
故選：A
8．已知橢圓，為兩個焦點，O為原點，P為橢圓上一點，，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合余弦定理求出的值，利用，根據(jù)向量模的計算即可求得答案.
【詳解】由題意橢圓，為兩個焦點，可得，

則①，即，
由余弦定理得，
，故，②
聯(lián)立①②，解得：，
而，所以，
即，
故選：B
【點睛】方法點睛：本題綜合考查了橢圓和向量知識的結(jié)合，解答時要注意到O為的中點，從而可以利用向量知識求解.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9．關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）
A．空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面
B．若對空間中任意一點，有，則四點共面
C．已知向量組是空間的一個基底，則也是空間的一個基底
D．若，則是鈍角
【答案】ABC
【分析】根據(jù)向量共面的定義可判斷A，根據(jù)共面定理可判斷B，根據(jù)基底的定義可判斷C，利用向量夾角的取值范圍判斷D.
【詳解】對于A，因為有兩個向量共線，所以這三個向量一定共面，A正確；
對于B，因為且，
所以P，A，B，C四點共面，B正確；
對于C，因為是空間中的一組基底，所以不共面且都不為，
假設(shè)共面，則，
即，則，與其為基底矛盾，所以不共面，
所以也是空間的一組基底，C正確；
對于D，若，則是鈍角或是，D錯誤；
故選：ABC
10．已知直線：和圓O：，則（）
A．直線恒過定點
B．存在k使得直線與直線：垂直
C．直線與圓相交
D．直線被圓截得的最短弦長為
【答案】BC
【分析】利用直線方程求定點可判斷選項A；利用兩直線的垂直關(guān)系與斜率的關(guān)系判斷選項B；利用直線恒過定點在圓內(nèi)可判斷選項C；利用弦長公式可判斷選項D.
【詳解】對A，由可得，，
令，即，此時，
所以直線恒過定點，A錯誤；
對B，因為直線：的斜率為，
所以直線的斜率為，即，
此時直線與直線垂直，滿足題意，B正確；
對C，因為定點到圓心的距離為，
所以定點在圓內(nèi)，所以直線與圓相交,C正確；
對D，設(shè)直線恒過定點，
圓心到直線的最大距離為,
此時直線被圓截得的弦長最短為，D錯誤；
故選：BC.
11．下列命題中正確的是（）
A．雙曲線與直線有且只有一個公共點
B．平面內(nèi)滿足的動點P的軌跡為雙曲線
C．若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則
D．已知雙曲線的焦點在y軸上，焦距為4，且一條漸近線方程為，則雙曲線的標準方程為
【答案】AC
【分析】A選項，聯(lián)立求出雙曲線與直線只有一個交點，A正確；B選項，舉出反例；C選項，根據(jù)焦點在軸上，得到不等式組，求出；D選項，由雙曲線焦距和漸近線方程，得到，，得到雙曲線方程.
【詳解】對于A，解方程組得唯一解,
所以雙曲線與直線有且只有一個公共點，所以A對；
對于B，當時，滿足的動點P的軌跡為兩條射線，不是雙曲線，所以B錯；
對于C，若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，
則且，解得，所以C對；
對于D，設(shè)雙曲線標準方程為，由，則，
漸近線方程為，即，由，解得，，
雙曲線的標準方程為，所以D錯.
故選：AC
12. 如圖，在棱長為1的正方體中，E，F(xiàn)分別為，的中點，則下列選項正確的是（）

A. 直線與底面ABCD所成的角為30°
B. 平面與底面ABCD夾角的余弦值為
C. 直線與直線AE的距離為
D. 直線到平面的距離為
【答案】BC
【解析】
【分析】以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法分別求出線面角，面面角，平行線間距離及線面距離.
【詳解】
如圖所示，以點為坐標原點，為軸，為軸，為軸，
則，，，，，，
A選項：，平面的法向量，
設(shè)直線與底面所成的角為，
則，
直線與底面所成的角不為，故A錯誤；
B選項：，，
設(shè)平面的法向量，則，令，則
設(shè)平面與底面的夾角為，
則，
平面與底面夾角的余弦值為，故B正確；
C選項，，
直線與直線的距離為：，故C正確；
D選項，，平面，平面，
又，平面的法向量，
直線與平面的距離為：，故D錯誤；
故選：BC.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 經(jīng)過點，且在兩坐標軸上的截距之和為2的直線的一般式方程為________.
【答案】
【解析】
【分析】由題可知，直線在x上軸截距為-3，再利用截距式可直接求得直線方程
【詳解】∵直線過（0，5），
∴直線在y軸上的截距為5，
又直線在兩坐標軸上的截距之和為2，
∴直線在x軸上的截距為2-5=-3
∴直線方程為,即5x-3y+15=0
【點睛】直線方程有五種基本形式，在只知道橫縱截距的情況下，截距式是最快捷的一種方式
14. 在我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中，四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑．已知在鱉臑中，平面ABC，．M為PC的中點，則點P到平面MAB的距離為______．
【答案】
【解析】
【分析】利用等體積法求得到平面的距離.
【詳解】因為平面ABC，平面ABC，所以，
依題意可知平面，
所以平面，
由于是的中點，所以到平面的距離是到平面的距離的一半，
即到平面的距離是.
,，
所以，
由于，所以，
，
設(shè)到平面的距離為，則，
即.
故答案為：
15．已知雙曲線的焦點為F，O為坐標原點，P為C上一點，且為正三角形，則雙曲線的離心率為．
【答案】/
【分析】依題意畫出圖形，根據(jù)余弦定理與雙曲線的定義建立等量關(guān)系求解離心率.
【詳解】由對稱性，不妨設(shè)F為右焦點，則在右支上，設(shè)雙曲線左焦點為，
依題意，三角形為正三角形，
則，連接，
在中，，
由余弦定理得，
，
可得，又，即，
所以.
故答案為：.

16．已知點是直線：和：的交點，點是圓：上的動點，則的最大值是．
【答案】
【分析】根據(jù)題意分析可知點的軌跡是以的中點，半徑的圓，結(jié)合圓的性質(zhì)運算求解.
【詳解】因為直線：，即，
令，解得，可知直線過定點，
同理可知：直線過定點，
又因為，可知，
所以直線與直線的交點的軌跡是以的中點，半徑的圓，
因為圓的圓心，半徑，
所以的最大值是.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 如圖，在空間直角坐標系中，正方體的棱長為1，在上，在上，且．

（1）求向量，的坐標；
（2）求與所成角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用空間向量的坐標表示求解即可；
（2）利用空間向量異面直線夾角的求法即可得解.
【小問1詳解】
由題意可得，，
故．
【小問2詳解】
由（1）可知，
所以．
．
所以．
故與所成角的余弦值為．
18. 求滿足以下條件的參數(shù)的值．
（1）若直線：和直線：平行，求m的值．
（2）已知直線經(jīng)過點，，直線經(jīng)過點，，若，求a的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由兩直線平行，根據(jù)平行的判定求的值即可.
（2）當兩直線的斜率都存在時，由斜率之積等于求解；若一條直線的斜率不存在，由另一條直線的斜率為0求解.
【小問1詳解】
直線和直線平行，
，解得或，
當時，直線：和直線：平行，
當時，直線：和直線：重合，
所以；
【小問2詳解】
由題意，知直線的斜率一定存在，直線的斜率可能不存在.
當直線的斜率不存在時，，即，此時，則，滿足題意.
當直線的斜率存在時，，
由斜率公式，得.
由，知，即，解得.
綜上所述，或.
19. 已知直線l：．
（1）證明：直線l恒過第二象限；
（2）若直線l交x軸的負半軸于點A，交y軸的正半軸于點B，O為坐標原點，設(shè)的面積為S，求S的最小值及此時直線l的一般式方程．
【答案】（1）證明見解析
（2），
【解析】
【分析】（1）直線含參先求出定點，進而可證明；
（2）直線過定點求面積的最值，可將直線直接設(shè)為截距式，再利用基本不等式求出其面積最小值及直線方程.
【小問1詳解】
因為直線方程為：，
因為，所以，解得，
所以直線恒過點，
而點在第二象限，所以直線l恒過第二象限；
【小問2詳解】
設(shè)直線l為，
因為在直線上，所以，
又，
所以，兩邊同時平方得：，，
當且僅當，即，時取等號，
所以的面積為，即S的最小值為，
此時直線方程為，化簡得：.
20．（12分）在四棱錐中，底面為直角梯形，，側(cè)面底面，且分別為的中點．
(1)證明：平面；
(2)若直線與平面所成的角為，求平面與平面的夾角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取中點，連接，通過證明四邊形為平行四邊形，即可證明結(jié)論；
（2）由直線與平面所成的角為，可得，建立以G為原點的空間直角坐標系，利用向量方法可得答案.
【詳解】（1）證明：取中點，連接，
為的中點，
，又，
，
四邊形為平行四邊形：
，
平面平面，
平面；
（2）平面平面，平面平面平面，平面，
取中點，連接，則平面，
，
，又，
如圖以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，
，
，設(shè)平面的一個法向量，，
則，取，則，
平面的一個法向量可取，
設(shè)平面與平面所成的夾角為，
,平面與平面所成的夾角的余弦為
21．（12分）已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距為2eq \r(6)，且過點A(2,1)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若不經(jīng)過點A的直線l：y＝kx＋m與橢圓C交于P，Q兩點，且直線AP與直線AQ的斜率之和為0，證明：直線PQ的斜率為定值．
解 (1)因為橢圓C的焦距為2eq \r(6)，且過點A(2，1)，
所以eq \f(4,a2)＋eq \f(1,b2)＝1,2c＝2eq \r(6).
又因為a2＝b2＋c2，由以上三式解得a2＝8，b2＝2，
所以橢圓C的方程為eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1.
(2)證明：設(shè)點P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1≠x2≠2，則y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,8)＋\f(y2,2)＝1，))
消去y并整理，得
(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－8＝0，
則x1＋x2＝eq \f(－8km,4k2＋1)，x1x2＝eq \f(4m2－8,4k2＋1).
因為kAP＋kAQ＝0，所以eq \f(y1－1,x1－2)＋eq \f(y2－1,x2－2)＝0，
化簡得x1y2＋x2y1－(x1＋x2)－2(y1＋y2)＋4＝0.即2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4m＋4＝0.
所以eq \f(2k?4m2－8?,4k2＋1)－eq \f(8km?m－1－2k?,4k2＋1)－4m＋4＝0，
整理得(2k－1)(m＋2k－1)＝0.
因為直線l不經(jīng)過點A，
所以2k＋m－1≠0，所以k＝eq \f(1,2).
所以直線PQ的斜率為定值．
22．（12分）已知橢圓的上頂點到右頂點的距離為，點在上，且點到右焦點距離的最大值為3，過點且不與軸垂直的直線與交于兩點.
(1)求的方程；
(2)記為坐標原點，求面積的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題設(shè)及橢圓性質(zhì)、參數(shù)關(guān)系列方程求參數(shù)，即可得橢圓方程；
（2）設(shè)，直線，聯(lián)立橢圓，應用韋達定理、弦長公式、點線距離公式寫出面積關(guān)于k的表達式，進而求其最大值.
【詳解】（1）由題意得，，解得，故的方程為.--
（2）設(shè)，直線，
聯(lián)立，整理得：.
由得，且，
，
點到直線的距離，
，

令，故，故，
當且僅當，即時等號成立，
故面積的最大值為.-

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