一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請(qǐng)用2B鉛筆把答題卡上相應(yīng)的選項(xiàng)標(biāo)號(hào)涂黑）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列一元二次方程中，沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是（ ）
A．B．C．D．
4．一元二次方程配方后可化為（ ）
A．B．C．D．
5．某種服裝原價(jià)每件160元，經(jīng)兩次降價(jià)，現(xiàn)售價(jià)每件102.4元．設(shè)該服裝平均每次降價(jià)的百分率為x，可列方程（ ）
A．B．
C．D．
6．已知的半徑為6cm，圓心O到直線l的距離為5cm，則直線l與的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．2個(gè)B．1個(gè)C．0個(gè)D．無(wú)法判斷
7．下列語(yǔ)句：（1）三點(diǎn)確定一個(gè)圓；（2）直徑所對(duì)的圓周角是直角；（3）三角形的外心到三角形各邊的距離相等；（4）同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等．其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
8．如圖，PA、PB是的切線，切點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)C在上，過(guò)點(diǎn)C的切線分別交PA、PB于點(diǎn)D、E，若，則的周長(zhǎng)為（ ）
（第8題圖）
A．B．2C．3D．6
9．如圖，的半徑為3，A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L是它的十二等分點(diǎn)，則圖中陰影部分（即四邊形BCKL和四邊形EFHI）的面積之和為（ ）
（第9題圖）
A．9B．18C．D．
10．如圖．在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，若點(diǎn)C是以點(diǎn)P為圓心，1為半徑的圓上一點(diǎn)，則的面積最小值為（ ）
（第10題圖）
A．B．C．D．
二、填空題（本大題共8小題，每題3分，共24分，其中第18題第一空1分，第2空2分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，只需把答案直接填寫(xiě)在答題卡上相應(yīng)的位置）
11．已知關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根為1，則______．
12．如圖，AB是的直徑，AC切于A，BC交于點(diǎn)D，若，則的度數(shù)為_(kāi)_____°．
（第12題圖）
13．一個(gè)等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是方程的兩根，則該等腰三角形的周長(zhǎng)是______．
14．已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則______．
15．用一個(gè)半徑為20cm，面積為的扇形鐵皮，制作一個(gè)無(wú)底的圓錐（不計(jì)損耗），則圓錐的底面半徑r為_(kāi)_____cm．
16．勾股容圓最早見(jiàn)于《九章算術(shù)》“勾股”章，該章第16題為：“今有勾八步，股十五步，問(wèn)勾中容圓，徑幾何？”意思是：今有直角三角形，勾（短直角邊）長(zhǎng)為8步，股（長(zhǎng)直角邊）長(zhǎng)為15步，問(wèn)該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）直徑是多少？”此問(wèn)題中，該內(nèi)切圓的直徑是______步．
17．如圖，半徑為1的與正五邊形ABCDE的邊AE、CD相切，切點(diǎn)分別是點(diǎn)A、C，則劣弧AC的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．
（第17題圖）
18．已知，點(diǎn)，點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且垂直于y軸，點(diǎn)P是直線l上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的角平分線與直線l交于點(diǎn)Q，則的形狀一定是______；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至某一位置時(shí)，的外接圓與一條坐標(biāo)軸相切，則所有符合情況的點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____．
三、解答題（本大題共10小題，共96分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
19．（本題滿分10分）解方程：
（1）；（2）．
20．（本題滿分8分）已知一個(gè)數(shù)的平方與20的差等于這個(gè)數(shù)與10的和，求這個(gè)數(shù)．
21．（本題滿分8分）如圖，長(zhǎng)5m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端到墻面的距離比梯子的頂端到地面的距離少1m．求梯子的底端到墻面的距離．
（第21題圖）
22．（本題滿分10分）如圖，BD是的角平分線，點(diǎn)O是BD上一點(diǎn)，與AB相切于點(diǎn)M，與BD交于點(diǎn)E、F．
（第22題圖）
（1）求證：BC是的切線；
（2）連接EM，若，求的度數(shù)．
23．（本題滿分10分）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是矩形的長(zhǎng)和寬，該矩形外接圓的半徑為2，求實(shí)數(shù)m的值．
24．（本題滿分10分）如圖，在中，，以AB為直徑的圓交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接OD．
（第24題圖）
（1）求證：；
（2）若，，求BD的長(zhǎng)．
25．（本題滿分10分）一商店銷售某種商品，規(guī)定：不超過(guò)60件，每件售價(jià)120元．如果購(gòu)買(mǎi)商品件數(shù)超過(guò)60件，每增加一件，所售出的商品每件售價(jià)均降低0.5元，但每件商品價(jià)格不得少于100元．
（1）若購(gòu)買(mǎi)商品63件，則每件商品的價(jià)格為_(kāi)_____元；
（2）若小明在此商店購(gòu)買(mǎi)該商品共支付8800元，請(qǐng)問(wèn)小明共買(mǎi)了多少件商品？
26．（本題滿分10分）如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（第26題圖） （備用圖）
（1）當(dāng)點(diǎn)E、F的距離是點(diǎn)E、A距離的兩倍時(shí)，求t的值；
（2）當(dāng)以EF為直徑的圓與BC相切時(shí)，求t的值；
（3）在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)B到EF的最遠(yuǎn)距離為_(kāi)_____．
27．（本題滿分10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，過(guò)點(diǎn)A、B的與y軸交于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D上方），連接AC、BD，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)．
（第27題圖） （備用圖1） （備用圖2）
（1）連接OE，求證：；
（2）若的半徑為2，AB、CD的平方和等于24，求OP的長(zhǎng)度；
（3）連接PE，若，點(diǎn)P在內(nèi)部，且，則B點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____．
28．（本題滿分10分）平面內(nèi)一個(gè)正n邊形，將平面內(nèi)與正n邊形的各頂點(diǎn)距離都小于等于邊長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形稱為這個(gè)正n邊形的“伴侶形”．將正n邊形內(nèi)與其各頂點(diǎn)距離都大于等于邊長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形稱為這個(gè)正n邊形的“遠(yuǎn)伴侶形”．
【觀察】如圖1，邊長(zhǎng)為1的等邊，分別以A、B、C為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，則三條弧AB，BC，AC及其內(nèi)部所組成的圖形上的點(diǎn)到各頂點(diǎn)距離都小于等于1，我們把這個(gè)圖形稱為正的“伴侶形”．
【判斷】（1）______（填“是”或“不是”）所有的正多邊形都有“伴侶形”，______（填“是”或“不是”）所有的正多邊形都有“遠(yuǎn)伴侶形”；
【操作】（2）如圖2，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，請(qǐng)作出正方形ABCD的“伴侶形”（將此“伴侶形”打上陰影），求此正方形ABCD的“伴侶形”的周長(zhǎng)；
圖1 圖2
【探究】（3）結(jié)合圖3分析，若正n邊形的邊長(zhǎng)為1，則當(dāng)時(shí)，其“遠(yuǎn)伴侶形”的周長(zhǎng)為_(kāi)_____，則當(dāng)時(shí)，“遠(yuǎn)伴侶形”的周長(zhǎng)為_(kāi)_____；
【歸納】（4）邊長(zhǎng)為1的正n邊形（），其“遠(yuǎn)伴侶形”的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．
圖3
2023—2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試
初三數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．）
1．D 2．C 3．C 4．D 5．D 6．A 7．B 8．B 9．A 10．B
二、填空題（本大題共8小題，每空3分，共24分．）
11．－6 12．40° 13．12 14．
15．15 16．6 17． 18．等腰三角形；或
三、解答題（本大題共10小題，共96分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）
19．（1）解：或，，．
（2）解：，，．（公式法判別式算對(duì)給2分）
20．解：設(shè)這個(gè)數(shù)為x，則，∴，．
21．解：設(shè)梯子的底端到墻面的距離為x米，
由勾股定理可得：．解之得：，．
∵，∴，答：梯子的底端到墻面的距離為3米．
22．證明：（1）連接OM，過(guò)O作于N．
∵AB與相切于M，∴．
∵BD是的角平分線，，，
∴半徑．∴BC是的切線．
（2）∵，∴．
∵BD是的角平分線，∴，
∴，∵，∴．
∵，∴，，
∴，∴．
23．（1）由題可知：，∴．
（2）由題可知：，
∴，∵，∴．
24．解：（1）∵AB為直徑，∴．
∵，∴．
∵，∴，
∴．∴．
（法二：中位線）
（2）連接BE．則．
∵，，∴．
∵．由勾股定理得：．
∵．由勾股定理得：．
∵，∴．
25．解：（1）118.5．
（2）設(shè)買(mǎi)了x件商品．
①當(dāng)時(shí)，舍去．
②當(dāng)時(shí)，．解之得，．
∵每件價(jià)格不得少于100元，∴．
③當(dāng)時(shí)，舍去．
答：小明共買(mǎi)了80件商品．
26．解：（1）（過(guò)程略）．
（2）連接AC，與EF交于點(diǎn)O，
∵，∴，即EF的中點(diǎn)為矩形ABCD中心．
∴圓半徑為3，則，由勾股定理可得：，
解之得，．綜上：或．
（3）．
27．（１）延長(zhǎng)EO交BD于F，
∵，，∴，∴.
∵，，
∴，∴.
（2）由題可知：，
過(guò)P作于M，作于N．
∴，.
由勾股定理可知：，，
相加可得：，∴．
（3）．
28．（1）不是；不是． （2）畫(huà)出圖形 （3） （4）

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