一、單選題
1．設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題意首先計(jì)算復(fù)數(shù)的值，然后利用共軛復(fù)數(shù)的定義確定其共軛復(fù)數(shù)即可.
【詳解】由題意可得，
則.
故選：B.
2．設(shè)集合，集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由題意逐一考查所給的選項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果是否為即可.
【詳解】由題意可得，則，選項(xiàng)A正確；
，則，選項(xiàng)B錯誤；
，則或，選項(xiàng)C錯誤；
或，則或，選項(xiàng)D錯誤；
故選：A.
3．已知向量滿足，則在上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由得到，根據(jù)投影向量的公式即可得出結(jié)果.
【詳解】，
，
，
在上的投影向量為.
故選：C.
4．已知，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先對兩式進(jìn)行平方，進(jìn)而可求出的值，根據(jù)二倍角公式求出結(jié)論.
【詳解】解：因?yàn)?，?br>所以平方得，，，
即，，
兩式相加可得，
即，
故，
.
故選：D.
5．記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）
A．6B．C．D．18
【答案】D
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)條件即可求得，進(jìn)而求得，利用，即可求得答案.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
若，則由得，不合題意；
故，則由得，
則，所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，
故選：D
6．已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合中間量法即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>又，
所以.
故選：A.
7．等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，則“”是“對任意的，，，構(gòu)成等比數(shù)列的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分條件也不必要條件
【答案】C
【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行分析運(yùn)算即可得出結(jié)果.
【詳解】先證明：若，則對任意的，，，構(gòu)成等比數(shù)列.
若，則，
，
，
可得對任意的，，，構(gòu)成等比數(shù)列，公比為.
再證明：若對任意的，，，構(gòu)成等比數(shù)列，則.
若，則n為偶數(shù)時，，此時，，不能構(gòu)成等比數(shù)列，與已知矛盾，故成立.
故選：C.
8．已知的半徑為1，直線與相切于點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】利用數(shù)形結(jié)合方法與轉(zhuǎn)換法，從而可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以設(shè)，的方程為：，具體如下圖所示：
連接，因?yàn)椋本€與相切，所以，，連接，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，設(shè)，，則；
當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)在軸同側(cè)時可得：
，
又因?yàn)?，所以，?dāng)時有最大值，
所以：的最大值為：；
當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)在軸異側(cè)時可得：
，
又因?yàn)椋?，?dāng)時有最大值，
所以：的最大值為：.
綜上可知：則的最大值為：.
故選：A.
二、多選題
9．將函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，然后將所得圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象．則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．
B．
C．的單調(diào)遞增區(qū)間為
D．為圖象的一條對稱軸
【答案】ABD
【分析】利用三角函數(shù)圖象變換求出，的解析式，即可判斷AB,驗(yàn)證在處是否取得最值，即可判斷D，直接求出的單調(diào)遞增區(qū)間即可判斷C.
【詳解】由于函數(shù)，
將函數(shù)的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，得到，然后其圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，
所以，又，
所以，由于且,故，故，
因此，故AB正確，
對選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以是函?shù)的一條對稱軸，故D正確；
對選項(xiàng)C：由得，
故單調(diào)遞增區(qū)間為，C不正確；
故選：ABD．
10．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．有兩個極值點(diǎn)
B．的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱
C．有三個零點(diǎn)
D．是的一個零點(diǎn)
【答案】ACD
【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，作圖，根據(jù)圖像變換，結(jié)合奇偶性，函數(shù)零點(diǎn)的定義，可得答案.
【詳解】
對于函數(shù)，求導(dǎo)可得：，
令，解得，可得下表：
則，，即可作圖，
通過圖像可知，有兩個極值點(diǎn)，故A正確；
函數(shù)的圖像不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故B錯誤；
函數(shù)有三個零點(diǎn)，故C正確；
因?yàn)?br>即
將代入解析式可得，
，故D正確.
故選:ACD
11．設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，滿足，且，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．
B．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列
C．當(dāng)時有最大值
D．設(shè)，則當(dāng)或時數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值
【答案】ABD
【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)求出為等差數(shù)列，公差為，首項(xiàng)為，得到通項(xiàng)公式；B選項(xiàng)，計(jì)算出，得到，從而得到，得到B正確；C選項(xiàng)，根據(jù)及二次函數(shù)的最值得到C錯誤；D選項(xiàng)，先得到時，，，，當(dāng)時，，且，得到結(jié)論.
【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時，，
又，解得，
當(dāng)時，①，
②，①-②得，
，
即，故，
因?yàn)?，所以不能對任意的恒成立?br>故，
所以，
故為等差數(shù)列，公差為，首項(xiàng)為，
所以通項(xiàng)公式為，A正確；
B選項(xiàng)，，
故，則當(dāng)時，，
故為等差數(shù)列，B正確；
C選項(xiàng)，，
故當(dāng)時，取得最大值，C錯誤；
D選項(xiàng)，令得，令得，
則當(dāng)時，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
又，，
則當(dāng)或時數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值，D正確.
故選：ABD
12．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若滿足，的圖象關(guān)于直線對稱，且，則（ ）
A．B．為奇函數(shù)
C．D．
【答案】ACD
【分析】對于A由，得，等式兩邊同時求導(dǎo)，即可得到的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；對于B由函數(shù)的性質(zhì)可知應(yīng)滿足（為常數(shù)），當(dāng)時，不是奇函數(shù)；對于C可知，，所以；對于D由對稱性及周期性可知，即可判斷.
【詳解】由，得，等式兩邊同時求導(dǎo)，得
即，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故A正確；
因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對稱，故的圖象關(guān)于直線對稱，
即為偶函數(shù)，則，所以應(yīng)滿足（為常數(shù)），
當(dāng)時，不是奇函數(shù)，故B錯誤；
因?yàn)?，，所以，故C正確；
因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對稱，關(guān)于軸對稱，且，所以，，，在一個周期內(nèi)，，
所以，故D正確．
故選：ACD
三、填空題
13．已知點(diǎn)在拋物線C：上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為 .
【答案】
【分析】由題意首先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為，最后利用點(diǎn)的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程計(jì)算點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離即可.
【詳解】由題意可得：，則，拋物線的方程為，
準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為.
故答案為：.
14．已知圓臺的上下底面半徑分別為2，4，母線長為6，則該圓臺的表面積是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)圓臺的表面積，即可求解.
【詳解】設(shè)上底面半徑，下底面半徑，母線，
則圓臺的表面積.
故答案為：
15．已知函數(shù)，且，則的最小值是 .
【答案】2
【分析】利用，單調(diào)性與對稱性，可知，若有，則必有成立.再利用基本不等式求的最小值即可.
【詳解】∵在為單調(diào)遞增的奇函數(shù)，
∴有且僅有一個對稱中心，
∴單調(diào)遞增，有且僅有一個對稱中心，
又∵，
∴，則，
∴
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，
∴的最小值是.
故答案為：.
16．已知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，是函數(shù)的一條對稱軸，且函數(shù)為奇函數(shù)，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意得到，求得，再由，得到，結(jié)合為奇函數(shù)，求得，進(jìn)而得到，求得，，得到，代入即可求解.
【詳解】由函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，且是函數(shù)的一條對稱軸，
可得，即，則，因?yàn)?，所以?br>且，可得，則，
由函數(shù)為奇函數(shù)，所以，
可得，
因?yàn)椋?，可得?br>因?yàn)椋?，所以?br>所以.
故答案為：.
四、解答題
17．研學(xué)旅行作為一種新興的教學(xué)方式，越來越受中學(xué)生的青睞，國家也頒布了一系列政策推進(jìn)研學(xué)旅行發(fā)展．為了解學(xué)生對“暑期研學(xué)旅行”的滿意度，某教育部門對180名初一至高三的中學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查．參與問卷調(diào)查的男女比例為5：4，女生初、高中比例為3：1．
(1)完成下面的列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷“暑期研學(xué)旅行”的滿意度與性別是否有關(guān)聯(lián)；
(2)該教育部門采用分層隨機(jī)抽樣的方法從參與問卷調(diào)查的女生中抽取了8名學(xué)生．現(xiàn)從這8名學(xué)生中隨機(jī)抽取4人進(jìn)行座談，設(shè)抽取的女生是初中生的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
附：，其中．
【答案】(1)表格見解析，認(rèn)為“暑期研學(xué)旅行”的滿意度與性別有關(guān)聯(lián)
(2)分布列見解析，3
【分析】（1）先求出男，女生抽取的人數(shù)，列出列聯(lián)表，求出，然后對照參照表，從而得出答案.
（2）先求出取的初中女生，高中女生的人數(shù)，得出的可能取值，并求出對應(yīng)的概率，得出分布列，然后求出數(shù)學(xué)期望.
【詳解】（1）男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，
則列聯(lián)表如下表所示：
零假設(shè)為：“暑期研學(xué)旅行”的滿意度與性別無關(guān)聯(lián)．
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為“暑期研學(xué)旅行”的滿意度與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01．
（2）抽取的初中女生有（人），高中女生有（人），
則的可能取值為2，3，4，
，，，
所以的分布列為
故
18．已知等比數(shù)列的第二?三?四項(xiàng)分別是等差數(shù)列的第二?五?十四項(xiàng)，且等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差.
(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列對任意均有成立，求的值.
【答案】(1).
(2)
【分析】（1）由題意得，再利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)列方程可求出，從而可求出公比，進(jìn)而可求得數(shù)列與的通項(xiàng)公式；
（2）由，得，兩式相減可求得，再驗(yàn)證，然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由題意，，
，解得，或（舍去），
，
.
（2）由題意，，①
，②
②-①得，
當(dāng)時，不滿足上式，所以，
.
19．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．
(1)求角的大?。?br>(2)若，與的平分線交于點(diǎn)，求周長的最大值．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）用正弦定理結(jié)合三角函數(shù)誘導(dǎo)公式求得結(jié)果；
（2）設(shè)，則，由正弦定理得, 將的周長表示成關(guān)于的三角函數(shù)，化簡求其最大值.
【詳解】（1）由正弦定理得：，
因?yàn)?，所以?br>所以，即，
所以，故．
（2）
由（1）知，，有，
而與的平分線交于點(diǎn)，即有，于是，
設(shè)，則，且，
在中，由正弦定理得，，
所以，
所以的周長為
，由，得，
則當(dāng)，即時，的周長取得最大值，
所以周長的最大值為．
五、證明題
20．如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形是邊長為的正方形，為中點(diǎn)，且.
(1)求證：平面；
(2)若點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由勾股定理證明，再由，可證平面，即得，由，可證平面；（2）由題意證明得兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)，求解平面的法向量，設(shè)，再由向量夾角的公式代入計(jì)算得，根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式代入計(jì)算，可得答案.
【詳解】（1）證明：由題知，
，
又，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以，
在正中，為中點(diǎn)，于是，
又，平面，所以平面
（2）取中點(diǎn)為中點(diǎn)為，則，
由（1）知，平面，且平面，
所以，又，
所以，平面
所以平面，于是兩兩垂直.
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S?軸?軸的正方向，
建立空間直角坐標(biāo)系，則，
，所以，
.
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，于是.
設(shè)，
則.
由于直線與平面所成角的正弦值為，
，
即，整理得
，由于，所以
于是.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.
六、解答題
21．已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的極值點(diǎn)個數(shù)；
(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)極值的定義，結(jié)合一元二次方程根的判別式分類討論進(jìn)行求解即可；
（2）利用換元法構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1），，.
令，方程的判別式為，
①：當(dāng)即時，，單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；
②：當(dāng)即時，函數(shù)有兩個零點(diǎn)，，
（i）當(dāng)時.，，當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，有一個極小值點(diǎn)；
（ii）當(dāng)時，，
當(dāng)與時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，有兩個極值點(diǎn).
綜上：當(dāng)時無極值點(diǎn)；當(dāng)時有兩個極值點(diǎn)；
當(dāng)時有一個極小值點(diǎn).
（2）不等式恒成立，即.
，令，，
.
令，，則需，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又，
時，不合題意，.
當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時單調(diào)遞增，.
而，，
又由可得，
所以需，
令，，當(dāng)時單調(diào)遞增，
當(dāng)時單調(diào)遞減，
，
.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)換元法把變形為.
22．已知雙曲線的離心率為，右頂點(diǎn)到的一條漸近線的距離為.
(1)求的方程；
(2)是軸上兩點(diǎn)，以為直徑的圓過點(diǎn)，若直線與的另一個交點(diǎn)為，直線與的另一個交點(diǎn)為，試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由.
【答案】(1)
(2)直線與圓相交，理由見解析
【分析】（1）由題意列出關(guān)于的方程，求解即可.
（2）設(shè)，由點(diǎn)在圓上，得出，由的坐標(biāo)，得出直線方程，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，得點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)坐標(biāo).從而得到直線方程，通過直線過定點(diǎn)，，從而得出點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓相交.
【詳解】（1）因?yàn)榈碾x心率為，所以，
所以，漸近線方程，
因?yàn)辄c(diǎn)到一條漸近線距離為，所以，解得，
所以的方程為.
（2）直線與圓相交，理由如下：
設(shè)，則，
因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓上，所以，
所以，
即，

由（1）得，直線方程為：與雙曲線方程聯(lián)立，
消去得，，因?yàn)橹本€與都有除以外的公共點(diǎn)，
所以，所以，即，
同理當(dāng)，.
，
所以直線方程為：，
令得，，
即直線經(jīng)過定點(diǎn).
因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓相交.
極大值
極小值
性別
滿意度
合計(jì)
滿意
不滿意
男生
80
女生
50
合計(jì)
0.1
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
性別
滿意度
合計(jì)
滿意
不滿意
男生
80
20
100
女生
50
30
80
合計(jì)
130
50
180
2
3
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湖北省襄陽市第五中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題及答案

湖北省襄陽市第五中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題及答案
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