一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)集合描述法的理解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)定義域與值域，再進行集合運算，依次判斷選擇支即可.
【詳解】由解得；
由，則；
所以，，
則，且或，
則，，.
故選：A.
2．復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（ ）
A．第四象限B．第三象限
C．第二象限D(zhuǎn)．第一象限
【答案】A
【分析】借助復(fù)數(shù)的四則運算可計算出，即可得，即可得解.
【詳解】，
故，故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限.
故選：A.
3．已知，，且，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)，求出的值，再求出的坐標(biāo)，
由平面向量坐標(biāo)模長公式求解即可.
【詳解】因為，所以，解得，所以，
，所以.
故選：B.
4．已知，且，則（ ）
A．B．C．2D．6
【答案】A
【分析】關(guān)鍵是角的構(gòu)造，將構(gòu)造成，再由正弦的和差角公式展開化簡求解.
【詳解】由題，，
則，
，
，
，
故選：A.
5．已知某圓錐的側(cè)面積是其底面積的兩倍，則圓錐的高與底面半徑的比值為（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】先由題意得得，接著由圓錐結(jié)構(gòu)特征得即可求解.
【詳解】設(shè)圓錐的高與底面半徑以及母線長依次為，
則由題意，即，
所以由圓錐結(jié)構(gòu)特征得.
故選：B.
6．設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義．對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)設(shè)函數(shù)．當(dāng)時，函數(shù)的嚴(yán)格增區(qū)間為（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義得到相應(yīng)函數(shù)，畫出圖象求解.
【詳解】解：圖像，如圖所示：
當(dāng)時，，
如圖所示：
所以當(dāng)時，函數(shù)的嚴(yán)格增區(qū)間為，
故選：C
7．函數(shù)在上的零點個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】將函數(shù)在上的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點的個數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合，可得答案.
【詳解】由題意函數(shù)在上的零點，
即為，即的根，
也即函數(shù)的圖象的交點的橫坐標(biāo)，
作出的圖象如圖示：
由圖象可知在上兩函數(shù)圖像有3個交點，
故函數(shù)在上的零點個數(shù)為3，
故選：C
8．已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分奇數(shù)項和偶數(shù)項求遞推關(guān)系，然后記，利用構(gòu)造法求得，然后分組求和可得.
【詳解】因為，
所以，，且，
所以，
記，則，所以，
所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以，，
記的前n項和為，則.
故選：A
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題關(guān)鍵在于先分奇數(shù)項和偶數(shù)項求遞推公式，然后再并項得的遞推公式，利用構(gòu)造法求通項，將問題轉(zhuǎn)化為求的前50項和.
二、多選題
9．若隨機變量，，則（ ）
A．B．
C．D．若，則
【答案】ACD
【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)逐項判斷即可.
【詳解】對于A，隨機變量滿足正態(tài)分布，且，
故，故A正確；
對于B，當(dāng)時，
此時，故B錯誤；
對于C，
，故C正確；
對于D，，故單調(diào)遞增，
故，即，
解得，故D正確.
故選：ACD
10．設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．是的極小值點
B．
C．不等式的解集為
D．當(dāng)時，
【答案】BD
【分析】對于A：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和極值；
對于B：根據(jù)解析式代入運算即可；對于C：取特值檢驗即可；
對于D：分析可得，結(jié)合的單調(diào)性分析判斷.
【詳解】對于選項A：因為的定義域為R，
且，
當(dāng)時，；當(dāng)或時，；
可知在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以是函數(shù)的極大值點，故A錯誤；
對于選項B：因為，故B正確；
對于選項C：對于不等式，
因為，即為不等式的解，但，
所以不等式的解集不為，故C錯誤；
對于選項D：因為，則，
且，可得，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故D正確；
故選：BD.
11．已知曲線C是平面內(nèi)到定點和定直線的距離之和等于4的點的軌跡，若在曲線C上，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．曲線C關(guān)于x軸對稱B．曲線C關(guān)于y軸對稱
C．D．
【答案】BD
【分析】設(shè)曲線C上任意一點，根據(jù)題意列式化簡求出曲線C的軌跡方程，再結(jié)合圖象判斷AB，再根據(jù)拋物線的性質(zhì)判斷CD即可
【詳解】由題，曲線C上任意一點，則.當(dāng)時，即，
化簡得，且；當(dāng)時，，
化簡可得，且，畫出曲線C的圖象：
對A,B，顯然圖象不關(guān)于軸對稱，關(guān)于軸對稱，故A錯誤，B正確；
對C，當(dāng)時，解得，故，故C錯誤；
對D，因為即的焦點為，故拋物線的焦點為，
同理也是拋物線的焦點.
故的最小值為到的距離1，最大值為方程左右端點到的距離，故，故D正確；
故選：BD
三、填空題
12．已知雙曲線與有相同的漸近線，若的離心率為2，則的離心率為 .
【答案】
【分析】根據(jù)兩雙曲線有相同的漸近線，可得到，再利用的離心率為2，可推得，從而利用雙曲線的離心率的平方可求得答案.
【詳解】雙曲線的漸近線方程為 ，
的漸近線方程為，
由題意可得，
由的離心率為2得： ，則 ，
所以設(shè)的離心率為 ，則，
故 ，
故答案為：
13．曲線與的公切線方程為 .
【答案】
【分析】設(shè)出兩曲線的切點和，由導(dǎo)數(shù)的意義可得，再由點斜式得出公切線方程，把點代入直線方程可得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性得到，進而得出，最后得到直線方程.
【詳解】設(shè)曲線上的切點為，曲線上的切點為.
因為，
則公切線的斜率，所以.
因為公切線的方程為，即，
將代入公切線方程得，
由，得.
令，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，0，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
所以，
故公切線方程為，即.
故答案為：.
14．袋中有大小質(zhì)地均相同的1個黑球，2個白球，3個紅球，現(xiàn)從袋中隨機取球，每次取一個，不放回，直到某種顏色的球全部取出為止，則最后一個球是白球的概率是 ．
【答案】
【分析】設(shè)直到某種顏色的球全部取出為止，最后一個球是白球的概率是；
兩次取球便結(jié)束，最后一個球是白球的概率為；三次取球便結(jié)束，最后一個球是白球的概率為；四次取球便結(jié)束，最后一個球是白球的概率為.則.
【詳解】由題可知，要使直到某種顏色的球全部取出為止，最后一個球是白球，則摸球次數(shù)可能為2，3，4次.
設(shè)兩次取球便結(jié)束，最后一個球是白球的概率為.
兩次取球便結(jié)束，且最后一球為白球的情況為：兩個球都是白球，情況數(shù)為2種.故
設(shè)三次取球便結(jié)束，最后一個球是白球的概率為.
三次取球便結(jié)束，且最后一球為白球的情況為：前兩次為一白一紅，情況數(shù)為：
.故.
設(shè)四次取球便結(jié)束，最后一個球是白球的概率為.
四次取球便結(jié)束，且最后一球為白球的情況為：前三次為兩紅一白，情況數(shù)為：
.故.
設(shè)直到某種顏色的球全部取出為止，最后一個球是白球的概率是，
則.
故答案為：
四、解答題
15．在中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且，．
(1)求的值；
(2)若的面積為，求AB邊上的高．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由二倍角的正弦公式、正弦定理和余弦定理求解即可.
（2）由（1）求出，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，最后由三角形的面積公式求解即可.
【詳解】（1）∵，
∴，
由正余弦邊角關(guān)系得，①，
又，②
由①②得，，
∴，∴
（2）由（1）得，，
（或由余弦定理得）
∵為銳角，∴，
∴的面積，
∴，
設(shè)邊上的高為，
則的面積，
∴，即邊上的高為.
16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點P到直線的距離與點P到點的距離之比為常數(shù)2.記P的軌跡為C，曲線C的上頂點為B.
(1)推導(dǎo)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過B的直線與C相交于另一點A.若面積為，求直線的方程.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）設(shè)，由題意可得,化簡即可；
（2）由（1）可得，設(shè)直線的方程為,與曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)韋達定理可得.直線與軸的交點為，根據(jù)即可求解.
【詳解】（1）設(shè),由題意可得,
化簡可得,即.
所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由（1）可得，
設(shè)直線的方程為,
聯(lián)立，可得.
設(shè)，則，即，
所以，即.
設(shè)直線與軸的交點為，
在中，令,可得,即.
由橢圓方程可得,
則
，
所以，即，解得或.
所以直線的方程為或，
即直線的方程為或.
17．如圖，三棱柱中，側(cè)面為矩形，底面ABC為等邊三角形．
(1)證明：；
(2)若，，
①證明：平面平面ABC；
②求平面ABC與平面的夾角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析，平面ABC與平面的夾角的余弦值為
【分析】（1）根據(jù)線線垂直可證明平面 ，即可結(jié)合中點求證，
（2）根據(jù)線線垂直可得二面角的平面角，即可根據(jù)長度關(guān)系判斷二面角為直角，進而可求證，
（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解.
【詳解】（1）取的中點為，連接,
由于側(cè)面為矩形，所以,
由于底面ABC為等邊三角形,所以,
平面，
所以平面 ，
由于故四邊形為平行四邊形，
故平面 ，故，
又是中點，所以，
（2）①由于是中點，所以,
又且，所以，
由于，,故為的平面角，
由于,所以，
故平面平面ABC；
②由于兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
,
則
設(shè)平面的法向量為，
則，取，則，
由于平面ABC的法向量為,
故
故平面ABC與平面的夾角的余弦值為
18．在三維空間中，立方體的坐標(biāo)可用三維坐標(biāo)表示，其中，而在維空間中，以單位長度為邊長的“立方體”的頂點坐標(biāo)可表示為維坐標(biāo)，其中．現(xiàn)有如下定義：在維空間中兩點間的曼哈頓距離為兩點與坐標(biāo)差的絕對值之和，即為．回答下列問題：
(1)求出維“立方體”的頂點數(shù)；
(2)在維“立方體”中任取兩個不同頂點，記隨機變量為所取兩點間的曼哈頓距離．
①求的分布列與期望；
②求的方差．
【答案】(1)個
(2)①分布列見解析，；②
【分析】（1）由題根據(jù)分步計數(shù)乘法原理，即可確定頂點個數(shù)；
（2）由離散型隨機變量的分布列步驟，數(shù)學(xué)期望公式，方差公式及二項式定理計算即可．
【詳解】（1）對于維坐標(biāo)，，
所以共有種不同的點，即共有個頂點．
（2）①對于的隨機變量，在坐標(biāo)與中有個坐標(biāo)值不同，剩下個坐標(biāo)相同，此時對應(yīng)情況數(shù)有種，
所以，
則的分布列為：
所以，
倒序相加得，，
所以；
②
，
設(shè)，
兩邊求導(dǎo)得，，
兩邊乘以后得，，
兩邊求導(dǎo)得，，
令得，，
所以．
【點睛】方法點睛：在計算數(shù)學(xué)期望和方差時，應(yīng)用兩個等式：①；②．
19．已知是自然對數(shù)的底數(shù)，常數(shù)，函數(shù).
(1)求、的單調(diào)區(qū)間；
(2)討論直線與曲線的公共點的個數(shù)；
(3)記函數(shù)、，若，且，則，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是
(2)無公共點
(3)
【分析】（1）求導(dǎo)后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)出函數(shù)，根據(jù)該函數(shù)的最小值與1的關(guān)系即可得解；
（3）結(jié)合前兩問，設(shè)，可得，有，則可得到使時的對應(yīng)中的，即有，設(shè)，可將雙變量換為單變量，即可將轉(zhuǎn)化為，通過構(gòu)造新函數(shù)可得，即可得，構(gòu)造，研究導(dǎo)數(shù)可得，即可得解.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為.
，
，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；
函數(shù)的定義域為，常數(shù)，
當(dāng)時，，當(dāng)時，.
的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；
（2）設(shè)，它的定義域為，
當(dāng)時，，即單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，即單調(diào)遞增，
的最小值為，
不成立，即方程無實數(shù)解，
故方程無實數(shù)解，直線與曲線無公共點；
（3）根據(jù)已知，的定義域為，
設(shè)，由（2）得，且，
由，記，則，
由得，
由（1）知在上單調(diào)遞減，故，
，
記，則，由，得，
，若，且，則，
，
，
設(shè)，則，
解得，
由得，由得，
，
設(shè)，則，
，
由是自然對數(shù)的底數(shù)，得，
由（1）知，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增；由得，
又，
存在唯一，使，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，故；
當(dāng)時，單調(diào)遞減，故；
當(dāng)時，單調(diào)遞增，故.
綜上所述，當(dāng)時，，
.
實數(shù)的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題中最后一問關(guān)鍵點在于觀察得出其與第二問的關(guān)聯(lián)，從而設(shè)，得到，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，設(shè)出，從而將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題.
1
2

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