一、單選題
1．復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【分析】化簡復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)平面的坐標(biāo)表示即可得出答案.
【詳解】，
則在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為.
故選：D
2．設(shè)命題，則命題為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)特稱量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷即可.
【詳解】命題為特稱量詞命題，
則為.
故選：B
3．“”是“”成立的（ ）條件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】由，則，所以，故充分性成立；
由，不一定得到，如，，滿足，
此時(shí)，，故必要性不成立，
所以“”是“”成立的充分不必要條件.
故選：A
4．隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，放射性同位素技術(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)?航天等眾多領(lǐng)域，并取得了顯著經(jīng)濟(jì)效益.假設(shè)某放射性同位素的衰變過程中，其含量P（單位：貝克）與時(shí)間t（單位：天）滿足函數(shù)關(guān)系，其中P0為時(shí)該放射性同位素的含量.已知時(shí)，該放射性同位素的瞬時(shí)變化率為，則該放射性同位素含量為4.5貝克時(shí)，衰變所需時(shí)間為（ ）
A．20天B．30天C．45天D．60天
【答案】D
【分析】根據(jù)題中條件，先求出，再令，代入解析式求解，即可得出結(jié)果.
【詳解】由得，
因?yàn)闀r(shí)，該放射性同位素的瞬時(shí)變化率為，
即，解得，
則，
當(dāng)該放射性同位素含量為貝克時(shí)，即，
所以，即，所以，解得.
故選：D.
5．二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象只可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)知同號，再結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸、二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)檢驗(yàn)即可得答案.
【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)知同號且不相等，可知二次函數(shù)的對稱軸，可排除，
對于選項(xiàng)，時(shí)，所以，又，所以，與指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減矛盾，故不正確.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了同一坐標(biāo)系中指數(shù)函數(shù)圖象與二次函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題.
\
6．為了得到 的圖象只需把函數(shù) 的圖象（ ）
A．向右平移B．向左平移C．向右平移D．向左平移
【答案】C
【分析】由三角函數(shù)的平移變換求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>，
由于，
故把函數(shù) 的圖象，向右平移個(gè)單位長度，
可得的圖象.
故選：C.
7．下列關(guān)于平面向量的說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．且，則與一定共線
B．且則
C．且，則
D．且，，則
【答案】C
【分析】考慮，中有無零向量，判斷得到A正確，計(jì)算，B正確，舉反例，得到C錯(cuò)誤，考慮，中有無零向量，判斷得到D正確，得到答案.
【詳解】對選項(xiàng)A：當(dāng)，中至少有一個(gè)零向量時(shí)，與共線；
當(dāng)，均不是零向量時(shí)，若，則，此時(shí)，，
故與共線；
若，則，，則與共線，正確；
對選項(xiàng)B：，，故，正確；
對選項(xiàng)C：當(dāng)，時(shí)，取滿足條件，此時(shí)，錯(cuò)誤；
對選項(xiàng)D：當(dāng)，中至少有一個(gè)零向量時(shí)，與共線；
當(dāng)，均不是零向量時(shí)，，則，，則，故，，故，正確；
故選：C.
8．已知函數(shù)，的定義域均為R，且，，若的圖像關(guān)于對稱，，則（ ）
A．14B．16C．18D．20
【答案】B
【分析】根據(jù)的圖象關(guān)于對稱得到，，然后結(jié)合，得到的周期為4，再通過賦值得到，，，，最后根據(jù)周期求值即可.
【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于對稱，所以，，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以，所以的周期?，
當(dāng)時(shí)，，所以，，
當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，，所以，
，
所以.
故選：B.
二、多選題
9．已知函數(shù)的圖像如圖所示，則 （ ）
A．B．的最小正周期為
C．D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)圖象可得及函數(shù)的周期，即可求出，再利用待定系數(shù)法求出即可得解.
【詳解】由圖可知，
，故B正確，
所以，
所以，
又，則，
所以，所以，
又，所以，故D正確，C錯(cuò)誤；
所以，
所以，故A正確.
故選：ABD.
10．已知鈍角三角形，為兩銳角，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由題意可得，，再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性及兩角和的正弦公式和兩角和的正切公式逐一判斷即可.
【詳解】對于A，由題意，，則，
所以，故A正確；
對于B，，
因?yàn)?，所以?br>所以，故B錯(cuò)誤；
對于C，，
所以，
所以，
又因，
所以，
所以，故C正確；
對于D，因?yàn)椋?br>所以，
所以，故D正確.
故選：ACD.
11．已知，，則下列說法正確的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，進(jìn)而判斷出，進(jìn)而得到，得到正確答案.
【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以?br>令，，
則，
因?yàn)椋院愠闪ⅲ?br>故在上單調(diào)遞減，
故，
則，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，
，故B正確；
CD選項(xiàng)，由AB選項(xiàng)可知，，C正確，D錯(cuò)誤.
故選：BC
【點(diǎn)睛】構(gòu)造函數(shù)比較大小是高考熱點(diǎn)和難點(diǎn)，結(jié)合代數(shù)式的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，通過導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出代數(shù)式的大小，本題中要比較出的大小關(guān)系，觀察出三個(gè)式子的特征，構(gòu)造出，，從而求出答案.
.
12．函數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的有（ ）
A．函數(shù)有唯一零點(diǎn)
B．函數(shù)的極大值小于1
C．
D．
【答案】BD
【分析】計(jì)算零點(diǎn)得到A正確，求導(dǎo)得到函數(shù)得到單調(diào)區(qū)間，計(jì)算極大值為，舉反例，，計(jì)算得到B錯(cuò)誤，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)圖像，根據(jù)圖像得到C正確，D錯(cuò)誤，得到答案.
【詳解】，函數(shù)定義域?yàn)?，?br>對選項(xiàng)A：，則，正確；
對選項(xiàng)B：取得到，
設(shè)，恒成立，函數(shù)在單調(diào)遞減，
，當(dāng)趨近時(shí)，趨近，
故方程有唯一解，，滿足，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.
故函數(shù)有極大值為，
取，則，，錯(cuò)誤；
對選項(xiàng)C：，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，且.
故函數(shù)單調(diào)遞減，
畫出函數(shù)圖像，如圖所示：
根據(jù)圖像知：，正確；
對選項(xiàng)D：根據(jù)C選項(xiàng)知D錯(cuò)誤.
故選：BD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，極值問題，函數(shù)值的不等關(guān)系，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像得到答案是解題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合的思想是重要的數(shù)學(xué)思想，需要熟練掌握.
三、填空題
13． ．
【答案】/
【分析】根據(jù)結(jié)合二倍角的正弦公式即可得解.
【詳解】
.
故答案為：.
14．因?yàn)椋?，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到不等式，解得即可，還需將與方向的情況排除.
【詳解】因?yàn)?，且與的夾角為鈍角，
所以，解得，
又當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)與的夾角為，
所以，
綜上可得且，即的取值范圍是.
故答案為：
15．為邊長為的正八邊形內(nèi)部及邊界上的一點(diǎn)，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】先求出在方向上的投影的最大值，再由數(shù)量積的定義求出的最大值即可.
【詳解】如圖，作的延長線于M，的延長線于N，
根據(jù)正八邊形的特征，可知，
于是在方向上的投影的最大值為，
結(jié)合向量數(shù)量積的定義可知，等于的模與在方向上的投影的乘積，
又，∴的最大值為.
故答案為：.
16．已知，則的最小值為 ．
【答案】.
【分析】設(shè)，得到，化簡得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】設(shè)，則，
因?yàn)?，可得?br>可得，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的最小值為.
故答案為：.
四、解答題
17．已知，且．
(1)求角的大小．
(2)，求函數(shù)的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）結(jié)合平方關(guān)系可求得和，然后利用正弦的二倍角公式即可求出角的大小.
（2）利用三角恒等變換，輔助角公式得到，即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>且，，
解得，.
又，
所以或，或（舍）.
所以.
（2）
，
因?yàn)?，所?
18．如圖所示，在中，角，，的對邊分別是，，，邊， ，點(diǎn)在線段上，滿足．
(1)求角的值；
(2)若， 求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、誘導(dǎo)公式和二倍角公式化簡得到，然后根據(jù)求即可；
（2）根據(jù)，得到為等邊三角形，設(shè)，，然后在中利用余弦定理得到，最后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求數(shù)量積即可.
【詳解】（1）由得，即，即，
因?yàn)?，所以，，所以?br>因?yàn)?，所以，?
（2）
設(shè)，，
因?yàn)椋?，所以為等邊三角形?
在中由余弦定理得，，
整理得，解得，所以，，
.
19．某種項(xiàng)目的射擊比賽規(guī)則是開始時(shí)在距離目標(biāo)60米處射擊，如果命中記４分，同時(shí)停止射擊；若第一次射擊未命中目標(biāo)，可以進(jìn)行第二次射擊，但目標(biāo)已在90米遠(yuǎn)處，這時(shí)命中記3分，同時(shí)停止射擊；若第二次射擊仍未命中目標(biāo)，還可以進(jìn)行第三次射擊，此時(shí)目標(biāo)已在120米遠(yuǎn)處，這時(shí)命中記2分，同時(shí)停止射擊；若三次都未命中，則記１分．已知甲射手在60米處擊中目標(biāo)的概率為，他命中目標(biāo)的概率與距離的平方成反比，且各次射擊都是獨(dú)立的．
(1)求射手甲分別在90米和120米處命中的概率；
(2)求射手甲進(jìn)行射擊比賽中命中目標(biāo)的概率；
(3)設(shè)為射手甲進(jìn)行射擊比賽的得分，求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由題意可得，，由甲射手在60米處擊中目標(biāo)的概率為求得，進(jìn)而可求解；
（2）設(shè)表示第次擊中，記：“射手甲在這次射擊比賽中命中目標(biāo)”，則利用概率的加法公式和乘法公式即可求解；
（3）求得的分布列，再根據(jù)均值公式即可求解.
【詳解】（1）令射手甲在60米、90米和120米處命中概率分別為，
由題意可得，，且，
則，，
，，
射手甲在90米和120米處命中概率分別為；
（2）設(shè)表示第次擊中，
記：“射手甲在這次射擊比賽中命中目標(biāo)”，則
；
（3）的取值有，
則，
，
.
20．王先生今年初向銀行申請個(gè)人住房貸款80萬元購買住房，按復(fù)利計(jì)算，并從貸款后的次月初開始還貸，分10年還清．銀行給王先生提供了兩種還貸方式：①等額本金：在還款期內(nèi)把本金總額等分，每月償還同等數(shù)額的本金和剩余本金在該月所產(chǎn)生的利息；②等額本息：在還款期內(nèi)，每月償還同等數(shù)額的貸款(包括本金和利息)．
(1)若王先生采取等額本金的還貸方式，已知第一個(gè)還貸月應(yīng)還12000元，最后一個(gè)還貸月應(yīng)還5000元，試計(jì)算王先生該筆貸款的總利息；
(2)若王先生采取等額本息的還貸方式，貸款月利率為0.3％，銀行規(guī)定每月還貸額不得超過家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入為 17000元，試判斷王先生該筆貸款能否獲批(不考慮其他因素)．參考數(shù)據(jù)
【答案】(1)元
(2)能，理由見解析
【分析】（1）每月還款金額構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)為，求和得到總金額，減去本金得到利息.
（2）設(shè)王先生每月還款為元，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得到方程，解得答案.
【詳解】（1）每月還款金額構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)為，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，
則，，故，
故總利息為：(元).
（2）設(shè)王先生每月還款為元，
則，
即，解得，，
故貸款能夠獲批.
21．設(shè)點(diǎn)是函數(shù)與的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)處有相同的切線．
(1)求證：；
(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)，和，化簡得到答案.
（2）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，確定，考慮和，根據(jù)不等關(guān)系計(jì)算得到答案.
【詳解】（1），；，，
故，，且，
整理得到，，，
則.
（2），
則，
函數(shù)在恒成立，即，
當(dāng)時(shí)，，故，解得；
當(dāng)時(shí)，，故，解得；
綜上所述：.
22．設(shè)函數(shù)，其中．
(1)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；
(2)若，成立，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出，令，由題意可知，函數(shù)在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，根據(jù)二次函數(shù)的零點(diǎn)分布可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）分析可知，，，對實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，驗(yàn)證在上能否恒成立，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）解：對于函數(shù)，，解得，
所以，函數(shù)的定義域?yàn)?，且?br>設(shè)，
因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則函數(shù)在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，必有.
當(dāng)時(shí)，則有，解得；
當(dāng)時(shí)，由于，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)，，
所以，函數(shù)在無零點(diǎn)，函數(shù)在有且只有一個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（2）解：，成立，注意到，
所以，，.
因?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，在上恒成立，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，
即當(dāng)時(shí)，，合乎題意；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上為增函數(shù)，
①若，即當(dāng)時(shí)，，，即且不恒為零，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，，合乎題意；
②若，即當(dāng)時(shí)，則存在，使得，
當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
則，不合乎題意；
當(dāng)時(shí)，令，其中，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，
所以，，
所以，，
則，
故當(dāng)時(shí)，，不合乎題意.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)，要注意到，由此轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的單調(diào)性來處理，進(jìn)而求解.

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