一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解不等式確定集合，再由交集定義計算．
【詳解】由題意，所以．
故選：D．
【點睛】本題考查集合的交集運算，考查解一元二次不等式，屬于基礎題．
2．復數(shù)在復平面上對應的點位于虛軸上，則實數(shù)a的值為（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【分析】先化簡復數(shù)z，然后根據(jù)實部為0可解.
【詳解】，
因為復數(shù)z對應點在虛軸上，
所以，解得.
故選：B
3．已知角是第一象限角，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系及兩角和余弦公式求解即可.
【詳解】因為角是第一象限角，，
所以，
所以.
故選：B
4．已知中，“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】由三角形大邊對大角可知，由在上的單調性可得，由此可確定結果.
【詳解】由正弦定理以及三角形大邊對大角可得：
，
又，在上單調遞減，
，即，
“”是“”成立的充分必要條件.
故選：C.
5．設是等比數(shù)列，且，，則（ ）
A．12B．24C．30D．32
【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件求得的值，再由可求得結果.
【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，
，
因此，.
故選：D.
【點睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計算，屬于基礎題．
6．若，且，那么是（ ）
A．等邊三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】利用余弦定理求出的值，結合角的取值范圍可得出角的值，再利用結合余弦定理可得出，即可得出結論.
【詳解】因為，則，可得，
由余弦定理可得，因為，所以，，
因為，則，整理可得.
所以，為等邊三角形.
故選：A.
7．設,,, 則( )
A． B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)，可得，從而可得，再根據(jù)，，可得，進而可求解.
【詳解】因為，所以，，即，
又，，則，
所以.
故選：C.
8．中國古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運城市永濟市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩人王之渙的詩作《登鸛雀樓》而流芳后世．如圖，某同學為測量鸛雀樓的高度MN，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物AB，高約為37m，在地面上點C處（B，C，N三點共線）測得建筑物頂部A，鸛雀樓頂部M的仰角分別為和，在A處測得樓頂部M的仰角為，則鸛雀樓的高度約為（ ）

A．74mB．60mC．52mD．91m
【答案】A
【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，從而得到的長度.
【詳解】在中，，
，，
在中，，
由，，
在中，.
故選：A
9．已知定義在上的奇函數(shù)滿足.當時，，則（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)且為奇函數(shù)得到4是的一個周期，根據(jù)為奇函數(shù)得到，可求得的解析式，然后利用周期性和奇偶性即可求.
【詳解】因為，且為奇函數(shù)，所以，，即，所以4是的一個周期，
因為為定義在R上的奇函數(shù)，所以，即，解得，則，
，
，
所以.
故選：B.
10．將函數(shù)的圖像向右平移個單位后得到函數(shù)的圖像，若對滿足的 有， 則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律求出，再利用三角函數(shù)圖象的性質求解即可.
【詳解】∵，∴，
由于，可知和分別為兩個函數(shù)的最大值和最小值，
不妨設,，
則，，
由于，可得，解得，
故選：D.
11．在四面體中，，平面平面，則該四面體外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先找到底面三角形的外接圓圓心和半徑，確定過該圓心與底面的垂線，在垂線上設球心，由勾股定理，求出半徑，可得答案.
【詳解】，，，，
為等邊三角形，又平面平面，
取中點，連接，則球心在上，如下圖：
則，有，解得，
該四面體外接球的表面積為.
故選：A.
12．函數(shù)的部分圖象如圖所示，，則下列四個選項中正確的個數(shù)為（ ）
①
②函數(shù)在上單調遞減；
③函數(shù)在上的值域為；
④曲線在處的切線斜率為．
A．0個B．1個C．2個D．3個
【答案】C
【分析】首先根據(jù)函數(shù)圖象求函數(shù)的解析式，根據(jù)，代入后，即可運算求值，即可判斷①；結合三角函數(shù)的性質，整體代入，即可判斷②③，利用函數(shù)導數(shù)的幾何意義，即可判斷④.
【詳解】由圖可知，，且，則，
周期，，
，得，，
則，，當時，，
所以，
對于①，令，得，，
當時，，即函數(shù)在軸左側離軸最近的對稱軸為，
由圖可知，，即，
且，即，
所以
，故①正確；
對于②，當，，
在區(qū)間不單調，所以在區(qū)間上不單調，故②錯誤；
對于③，當，，，
則，所以函數(shù)在上的值域為，故③錯誤；
對于④，因為，所以，
，所以曲線在處的切線斜率為，故④正確.
故選：C
二、填空題
13．已知拋物線的焦點為F，直線與拋物線交于點M，且，則 ．
【答案】4
【分析】求出點M的坐標，利用拋物線的焦半徑公式可得關于p的方程，即可求得答案.
【詳解】把代入拋物線方程（），得，
得，根據(jù)拋物線的定義有，解得，
故答案為：4
14．已知，與是方程的兩個根，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)與是方程的兩個根，頂頂頂，且，再利用兩角和的正切公式求解.
【詳解】解：因為，且與是方程的兩個根，
所以，且，
所以，且，
所以，
故答案為：
15．已知中，若的面積為為的平分線與邊的交點，則的長度是 .
【答案】
【分析】根據(jù)三角形面積公式，結合三角形角平分線的性質、余弦定理進行求解即可.
【詳解】因為的面積為，
所以，
由余弦定理可知：，
因為是角平分線，
所以，
在三角形中，由余弦定理可知：，
在三角形中，由余弦定理可知，
故答案為：
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用三角形角平分線的性質.
16．已知直線與曲線相切，則的最小值為 .
【答案】
【分析】設出切點，利用導數(shù)的幾何意義找出所滿足的關系式，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的最值求的最小值即可.
【詳解】設切點為 ，
則，解得：，
所以 .
令 , 所以 ，
令 ，解得 ，令 , 解得 ，
所以 在 上單調遞減，在 上單調遞增，
所以 .
故答案為：.
三、解答題
17．已知函數(shù).
（1）求的最小正周期和的單調遞減區(qū)間；
（2）當時，求函數(shù)的最小值及取得最小值時x的值.
【答案】（1）π；；（2）當時，函數(shù)取得最小值，最小值為．
【分析】（1）利用二倍角降冪公式、輔助角公式可得出，利用周期公式可計算出函數(shù)的最小正周期，解方程可得出函數(shù)的對稱中心坐標；解不等式，可得出函數(shù)的單調遞減區(qū)間；
（2）由，計算出的取值范圍，利用正弦函數(shù)的性質可得出該函數(shù)的最小值以及對應的的值.
【詳解】（1），
所以，函數(shù)的最小正周期為.
由，可得，
函數(shù)的對稱中心為；
解不等式，解得.
因此，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為；
（2）當時，，
當時，即當時，函數(shù)取得最小值，最小值為．
【點睛】本題考查正弦型函數(shù)周期、對稱中心、單調區(qū)間以及最值的求解，解題的關鍵就是要將三角函數(shù)解析式化簡，借助正弦函數(shù)的基本性質求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.
18．記等差數(shù)列的前項和為，已知，且．
(1)求和；
(2)設，求數(shù)列前項和．
【答案】(1)；；
(2)．
【分析】（1）利用等差數(shù)列性質求出通項公式和前項和；
（2）利用裂項相消法求和.
【詳解】（1）設的公差為，因為，所以，
又，所以，解得，
所以，
．
（2），
所以
．
19．在△ABC內，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
(1)求角B的值；
(2)若，點D是AC邊上靠近點C的三等分點，求BD的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先由正弦定理，邊化角，再根據(jù)三角函數(shù)恒等變換，化簡求角；（2）首先利用基底表示向量，再根據(jù)數(shù)量積的運算，結合條件，即可求解.
【詳解】（1）∵．
∴由正弦定理，得．
∴．
∴．
又，∴．
又∵，∴．又，∴．
（2）由題意可知，,
即，
所以，
，
，且，
所以，
，由可知，，
所以，則的取值范圍是.
20．已知橢圓的短軸長為，一個焦點為．
(1)求橢圓的方程和離心率；
(2)設直線與橢圓交于兩點，點在線段上，點關于點的對稱點為．當四邊形的面積最大時，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)求橢圓方程和離心率；
（2）首先直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理表示四邊形的面積，并利用基本不等式求最值.
【詳解】（1）由題設
解得
所以橢圓的方程為．
的離心率為．
（2）設橢圓的另一個焦點為，則直線過點．
由 得．
設，則，．
由題設，點為線段的中點，所以點和點到直線的距離相等．
所以四邊形的面積為面積的倍．
又，
所以
．
所以．
設，則．
所以．
當且僅當，即時，．
所以四邊形的面積最大時，．
21．函數(shù)的定義域為，并且在定義域內恰有兩個極值點，.
(1)求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若恒成立，求出實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求導得到導函數(shù)，根據(jù)兩個極值點得到，解得答案.
（2）題目轉化為，令，設，求導得到單調區(qū)間，計算最值得到答案.
【詳解】（1），在上有兩個極值點，
則方程在上有兩個不等根，所以， 解得：，故
（2），且，
若恒成立，即恒成立，則只需：，
令，則，設，
則，由得，
當時，，函數(shù)單調遞減；
當時，，函數(shù)單調遞增.
所以在處取得最小值，所以，
即 ，所以.
【點睛】關鍵點睛：本題考查了根據(jù)極值點求參數(shù)，利用導數(shù)解決不等式恒成立問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中將不等式轉化為函數(shù)的單調性求最值是解題的關鍵.
22．在直角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．
(1)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程；
(2)已知點，曲線和相交于A，B兩點，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用消參即可求解普通方程；
（2）結合條件寫出直線過點的標準參數(shù)方程，聯(lián)立方程，利用參數(shù)的幾何意義求解即可.
【詳解】（1）由的參數(shù)方程得：，
所以曲線的普通方程為：．
（2）由已知得：曲線為過點的直線，
其標準參數(shù)方程形式為：（t為參數(shù)），
聯(lián)立和的方程得：，即，，
設與的兩個交點A，B對應的參數(shù)分別為，，所以，，
因為，由t的幾何意義得：．
23．已知函數(shù)．
(1)解不等式；
(2)設函數(shù)的最小值為，若正數(shù)，，滿足，證明：．
【答案】(1)；
(2)證明見解析
【分析】（1）分，，三種情況討論解不等式，最后再取并集即可；
（2）先由絕對值三角不等式求出，再由結合基本不等式求解即可.
【詳解】（1）當時，，由可得，則；
當時，，由可得顯然成立，則；
當時，，由可得，則；
綜上：不等式的解集為；
（2），當且僅當即時取等，，則，
又，，均為正數(shù)，則
，當且僅當，即時等號成立，則.

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