1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，并認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)及科類名稱.
2．請(qǐng)將準(zhǔn)考證條形碼粘貼在右側(cè)的[考生條形碼粘貼處]的方框內(nèi).
3．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡的簽字筆填寫，字體工整、筆跡清楚.
4．請(qǐng)按題號(hào)順序在各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效.
5．保持答題卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀.
第Ⅰ卷（選擇題，共58分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知函數(shù)，則（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】，所以.
故選：C.
2. 為了了解全國(guó)觀眾對(duì)2024年春晚語(yǔ)言類節(jié)目的滿意度，某網(wǎng)站對(duì)2024年春晚的3000名觀眾，按性別比例分層隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行抽樣調(diào)查，已知這3000名觀眾中男、女人數(shù)之比為，若樣本容量為300，則不同的抽樣結(jié)果共有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】在這3000名觀眾中，男性人數(shù)為：人；
女性人數(shù)為：人.
因?yàn)橐葱詣e比例分層隨機(jī)抽樣，且樣本容量為300，
所以抽取的樣本中，男性觀眾的人數(shù)為：，女性觀眾人數(shù)為：.
所以不同的抽取結(jié)果共有：.
故選：B
3. 已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
則，
所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即.
故選：D.
4. 現(xiàn)有兩種不同的顏色要對(duì)如圖形中的三個(gè)部分進(jìn)行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
對(duì)這三個(gè)部分著色，只需要三步完成，第一步給區(qū)域①著色有2種方法，第二步給區(qū)域②著色有2種方法，
第三步給區(qū)域③著色有2種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)乘法原理，對(duì)這三部分著色共有種不同方法，
若要對(duì)這三個(gè)部分著色且任意有公共邊的兩塊著不同顏色，則按如下三步完成，第一步給區(qū)域①著色有2種方法，
第二步給區(qū)域②著色僅有1種方法，第三步給區(qū)域③著色僅有1種方法，
根據(jù)分步計(jì)數(shù)乘法原理，對(duì)這三部分著色共有種不同方法，
設(shè)事件“任意有公共邊的兩塊著不同顏色”，
則由古典概型概率公式得，
故選：B.
5. 的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A. 20B. 15C. 6D. 3
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>其中展開式的通項(xiàng)為（且），
令，解得，
所以，
即的展開式中的系數(shù)為.
故選：B
6. 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由得，
當(dāng)在區(qū)間上單調(diào)遞增時(shí)，即在上恒成立，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
對(duì)應(yīng)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，故.
故選：A
7. 現(xiàn)將《論語(yǔ)》、《孟子》、《大學(xué)》、《中庸》、《詩(shī)經(jīng)》5本不同的書籍分發(fā)給甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《論語(yǔ)》分發(fā)給了甲，則不同的分發(fā)方式種數(shù)是（ ）
A. 50B. 80C. 120D. 150
【答案】A
【解析】5本書分給甲乙丙3人，每人至少本，則人書籍本數(shù)分為，，；，，兩類；
第一類，，的情況：
若甲分本，已分得書籍，則另兩人一人本，人本，共有種，
若甲分本，即再取本，則剩余2本書分給乙丙，一人一本，則共有種，
故第一類情況共有+種；
第二類，，情況：若甲分本，已分得書籍，另兩人各本，共有種，
若甲分本，另兩人一人本，人本，共有種，
故第二類情況共有+種；
所以不同的分發(fā)方式種數(shù)共.
故答案為：.
8. 已知是函數(shù)導(dǎo)數(shù)，且，則不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】不等式可化，
設(shè)，則原不等式可化為，
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，
因?yàn)?，所以?br>所以函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，
所以．
故不等式的解集為.
故選：B.
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 甲、乙、丙等5人排成一列，下列說法正確的有（ ）
A. 若甲和乙相鄰，共有48種排法B. 若甲不排第一個(gè)共有96種排法
C. 若甲與丙不相鄰，共有36種排法D. 若甲在乙的前面，共有60種排法
【答案】ABD
【解析】選項(xiàng)A:若甲和乙相鄰，將甲和乙捆綁，形成一個(gè)大元素，與其余四個(gè)元素排序
共有種排法，A對(duì);
選項(xiàng)B：若甲不排第一個(gè)，則甲有4種排法，其余全排，共有種，B對(duì)；
選項(xiàng)C，若甲與丙不相鄰，將除甲和丙以外的人全排，然后將甲與丙插入人所形成的個(gè)空中的個(gè)空，所以，共有種排法，C錯(cuò)；
選項(xiàng)D，若甲在乙的前面，只需在5個(gè)位置中先選兩個(gè)位置排甲、乙，且甲排在乙的前面，然后將其余3個(gè)人全排，共有種排法，D對(duì).
故選：ABD.
10. 小明在超市購(gòu)買大米，共有包裝相同的10袋大米，其中一級(jí)大米有4袋，二級(jí)大米有6袋，從中不放回地依次抽取2袋，用A表示事件“第一次取到一級(jí)大米”，用B表示事件“第二次取到二級(jí)大米”，則（ ）
A. B.
C. D. 事件相互獨(dú)立
【答案】AC
【解析】對(duì)于A：，故A正確；
對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：，故C正確；
對(duì)于D：因?yàn)椋?，所以事件不相互?dú)立，故D錯(cuò)誤.故選：AC.
11. 定義：在區(qū)間上，若函數(shù)是減函數(shù)，且是增函數(shù)，則稱在區(qū)間上是“弱減函數(shù)”.根據(jù)定義可得（ ）
A. 在上是“弱減函數(shù)”
B. 在上是“弱減函數(shù)”
C. 若在上是“弱減函數(shù)”，則
D. 若在上是“弱減函數(shù)”，則
【答案】BCD
【解析】對(duì)于A，在上單調(diào)遞減，不單調(diào)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，在上，函數(shù)單調(diào)遞減，
，，
∴在單調(diào)遞增，故B正確；
對(duì)于C，若在單調(diào)遞減，
由，得，
∴，在單調(diào)遞增，故C正確；
對(duì)于D，在上單調(diào)遞減，
在上恒成立，
令，，
令，
，
∴在上單調(diào)遞減，，
∴，∴在上單調(diào)遞減，，
∴，
在上單調(diào)遞增，
在上恒成立，
∴，
令，，
∴在上單調(diào)遞增，，
∴，
綜上：，故D正確.
故選：BCD.
第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 除以7余數(shù)是______．
【答案】1
【解析】
，
所以除以7的余數(shù)為1.故答案為：1.
13. 先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件“第一次擲出的點(diǎn)數(shù)小于3”，事件“兩次點(diǎn)數(shù)之和大于4”，則______．
【答案】
【解析】用表示隨機(jī)試驗(yàn)“先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子”的結(jié)果，
表示第一次擲出的點(diǎn)數(shù)，表示第二次擲出的點(diǎn)數(shù)，
則，
隨機(jī)試驗(yàn)“先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子”的樣本空間中共有個(gè)樣本點(diǎn)，
事件所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)，
事件所包含的樣本點(diǎn)的有，共7個(gè)，
由古典概型概率公式可得，，
由條件概率公式可得，
故答案為：.
14. 已知對(duì)任意，且當(dāng)時(shí)，都有，則的取值范圍是______．
【答案】
【解析】由，且，
所以.
設(shè)，，
則原問題轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞減.
所以在上恒成立，
即，恒成立.
因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”）
所以.故答案為：
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知展開式中，第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)比為．
（1）求的值；
（2）求展開式中有理項(xiàng)的系數(shù)之和．（用數(shù)字作答）
解：（1）依題意，展開式的通項(xiàng)公式為:
，
顯然第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)系數(shù)為，
因此，
解得，
所以的值為6.
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)是有理項(xiàng)，
當(dāng)時(shí)，展開式中對(duì)應(yīng)的有理項(xiàng)為；
當(dāng)時(shí)，展開式中對(duì)應(yīng)的有理項(xiàng)為
當(dāng)時(shí)，展開式中對(duì)應(yīng)的有理項(xiàng)為
所以展開式中有理項(xiàng)的系數(shù)之和為
16. 已知函數(shù)在時(shí)取得極值．
（1）求實(shí)數(shù)值；
（2）若對(duì)于任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：（1）易知，
依題意，解得，
此時(shí)，
當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因此函數(shù)在時(shí)取得極值，
所以；
（2）由（1）得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
所以，
由題意可得，
解得，
所以的取值范圍為.
17. 第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)即將于2024年在巴黎舉辦，其中男子100米比賽分為預(yù)賽、半決賽和決賽三個(gè)階段，只有預(yù)賽、半決賽都獲勝才有資格進(jìn)入決賽．已知甲在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，乙在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，丙在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，其中．
（1）甲、乙、丙三人中，哪個(gè)人進(jìn)入決賽的可能性更大？
（2）在的條件下，設(shè)甲、乙、丙三人中進(jìn)入決賽的人數(shù)為，求的分布列．
解：（1）甲進(jìn)入決賽的概率為，乙進(jìn)入決賽的概率為，
丙進(jìn)入決賽的概率為，
因?yàn)?，所以?br>所以乙進(jìn)入決賽的概率最大，
所以乙進(jìn)入決賽的可能性最大．
（2）當(dāng)時(shí)，丙進(jìn)入決賽的概率為，
所以甲、乙、丙三人進(jìn)入決賽的概率分別為，
根據(jù)題意，得到隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，3，
可得；
，，
，
所以隨機(jī)變量的分布列為：
18. 已知函數(shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn).
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，求的值.
解：（1）由已知，
因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，
所以，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；
（2）由（1）得，，
即兩個(gè)極值點(diǎn)為方程的兩根，
則，
所以
代入得
，其中，
則，得，
設(shè)，
則，當(dāng)時(shí)，，
即在上單調(diào)遞增，又，
所以.
19. 設(shè)函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，且軸，求兩點(diǎn)間的最短距離；
（3）若時(shí)，函數(shù)的圖象恒在的圖象上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，
，則，
所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.
（2）當(dāng)時(shí)，且軸，由，
得：，
所以．
令，
令，在上單調(diào)遞增，
故，則在上單調(diào)遞增，
所以時(shí)，的最小值為，
所以.
（3）令，
，
設(shè)為的導(dǎo)數(shù)，則，
因?yàn)樵跁r(shí)恒成立，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上恒成立，
當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，即，
故當(dāng)時(shí)，恒成立，
當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，總存在，
使得在區(qū)間上，導(dǎo)致在上單調(diào)遞減，
而，
所以當(dāng)時(shí)，，
這與在恒成立矛盾，
所以不符合題意，
綜上所述，的取值范圍是．
0
1
2
3

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