專題1.4 充分條件與必要條件-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)重點題型專項訓(xùn)練（人教A版必修第一冊）

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\l "_Tc11948" 【題型1 命題的概念】 PAGEREF _Tc11948 \h 1
\l "_Tc894" 【題型2 判斷命題的真假】 PAGEREF _Tc894 \h 2
\l "_Tc2004" 【題型3 充分條件、必要條件及充要條件的判定】 PAGEREF _Tc2004 \h 5
\l "_Tc5470" 【題型4 充分條件、必要條件及充要條件的探索】 PAGEREF _Tc5470 \h 6
\l "_Tc29774" 【題型5 由充分條件、必要條件求參數(shù)】 PAGEREF _Tc29774 \h 8
\l "_Tc31563" 【題型6 充要條件的證明】 PAGEREF _Tc31563 \h 9
【知識點1 命題】
命題及相關(guān)概念
【題型1 命題的概念】
【例1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）下列語句為真命題的是（ ）
A．a(chǎn)>b
B．四條邊都相等的四邊形為矩形
C．1+2=3
D．今天是星期天
【解題思路】先根據(jù)命題的定義判斷是否是命題，然后再判斷真假即可
【解答過程】對于A，因為此語句不能判斷真假，所以不是命題，所以A錯誤，
對于B，此語句是命題，而在平面內(nèi)四條邊都相等的四邊形是菱形，所以B錯誤，
對于C，1+2=3是命題，且是真命題，所以C正確，
對于D，因為此語句不能判斷真假，所以不是命題，所以D錯誤，
故選：C.
【變式1-1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）以下語句：①0∈N；②x2+y2=0；③x2>x；④xx2+1=0，其中命題的個數(shù)是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
【解題思路】根據(jù)命題的定義進行判斷.
【解答過程】①是命題，且是假命題；②、③不能判斷真假，不是命題；④不是陳述句，不是命題．
故選：B.
【變式1-2】（2023·高一課時練習(xí)）下列語句中：①?11；③x2?1=0有一個根為0；④高二年級的學(xué)生；⑤今天天氣好熱！⑥有最小的質(zhì)數(shù)嗎？其中是命題的是（ ）
A．①②③B．①④⑤C．②③⑥D(zhuǎn)．①③
【解題思路】根據(jù)命題的定義即可求解.
【解答過程】命題是能判斷真假的陳述句，
由于⑤⑥不是陳述句，故不是命題，
②④無法判斷真假，故不是命題，
①③可以判斷真假且是陳述句，故是命題，
故選：D.
【變式1-3】（2022·高一課時練習(xí)）給出下列語句：①x>1．②3比5大．③這是一棵大樹．④求證：3是無理數(shù)．⑤二次函數(shù)的圖象太美啦?、?是集合1,2,3,4中的元素．其中是命題的個數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解題思路】根據(jù)命題的定義逐個分析判斷即可.
【解答過程】命題是指可以判斷真假的陳述句，所以②⑥是命題，
①不能判斷真假，不是命題；
③“大樹”沒有界定標準，不能判斷真假，不是命題；
④是祈使句，不是命題；
⑤是感嘆句，不是命題．
故選：A.
【題型2 判斷命題的真假】
【例2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）下列命題中真命題有（ ）
①mx2+2x?1=0是一元二次方程；
②函數(shù)y=2x?1的圖象與x軸有一個交點；
③互相包含的兩個集合相等；
④空集是任何集合的真子集．
A．1個B．2個
C．3個D．4個
【解題思路】對于①，舉反例m=0即可判斷；對于②，令y=0，求解即可判斷；對于③，根據(jù)包含關(guān)系即可判斷；對于④，根據(jù)空集不是本身的真子集即可判斷.
【解答過程】①中，當(dāng)m=0時，mx2+2x?1=0是一元一次方程，①錯誤；
②中，令y=0，則2x?1=0,x=12，所以函數(shù)y=2x?1的圖象與x軸有一個交點，②正確；
③中，互相包含的兩個集合相等，③正確；
④中，空集不是本身的真子集，④錯誤．
故選：B.
【變式2-1】（2022秋·重慶·高一?？计谥校┫铝忻}中，是真命題的是（ ）
A．如果a>b，那么a2>b2B．如果a>b，那么ac2>bc2
C．如果a>b,c>d，那么ad>bcD．如果a>b,cb?d
【解題思路】ABC選項舉出反例即可判斷，D選項結(jié)合不等式的性質(zhì)即可判斷.
【解答過程】A選項：若a=0,b=?1，滿足a>b，但是a2b，但是ac2=bc2，因此是假命題，故B錯誤；
C選項：若a=3,b=?1，c=2,d=?13，滿足a>b,c>d，但是adb，因此a?c>b?d，因此是真命題，故D正確，
故選：D.
【變式2-2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列命題：
①矩形既是平行四邊形又是圓的內(nèi)接四邊形;
②菱形是圓的內(nèi)接四邊形且是圓的外切四邊形;
③方程x2?3x?4=0的判別式大于0;
④周長相等的兩個三角形全等或面積相等的兩個三角形全等;
⑤集合A∩B 是集合A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命題的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解題思路】根據(jù)矩形以及菱形的性質(zhì)即可判斷①②，根據(jù)一元二次方程的判別式即可判斷③，根據(jù)三角形全等的判斷即可判斷④，根據(jù)集合的關(guān)系即可判斷⑤.
【解答過程】對于①，矩形是平行四邊形，同時矩形有外接圓，故正確;
對于②，菱形不一定有外接圓，故錯誤，
對于③，方程x2?3x?4=0的判別式為Δ=9?4×?4=25>0，故正確，
對于④，周長或者面積相等的三角形不一定全等，故錯誤，
對于⑤，A∩B?A,A?A∪B,故正確;
故選：C．
【變式2-3】（2023秋·上海黃浦·高一校考階段練習(xí)）設(shè)a∈R，關(guān)于x,y的方程組x?ay=1ax+y=a.對于命題：①存在a，使得該方程組有無數(shù)組解；②對任意a，該方程組均有一組解，下列判斷正確的是（ ）
A．①和②均為真命題B．①和②均為假命題
C．①為真命題，②為假命題D．①為假命題，②為真命題
【解題思路】通過解方程組的知識求得正確答案.
【解答過程】由x?ay=1得x=ay+1，則aay+1+y=a，a2+1y=0，所以y=0，
則x=1ax=a，解得x=1，
所以關(guān)于x,y的方程組x?ay=1ax+y=a有唯一解x=1y=0.
所以①為假命題，②為真命題.
故選：D.
【知識點2 充分、必要與充要條件】
1．充分條件與必要條件
一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個充分條件．
數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個必要條件．
2．充要條件
如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，記作p?q.此時p既是q的充分條件，也是q的必要條件．我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．
如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p?q，那么p與q互為充要條件．
【注】：“?”的傳遞性
若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p?q，q?s，則有p?s，即p是s的充要條件．
3．充分、必要與充要條件的判定
(1)如果既有p?q，又有q?p，則p是q的充要條件，記為p?q.
(2)如果p?且q?，則p是q的既不充分也不必要條件.
(3)如果p?q且q?，則稱p是q的充分不必要條件.
(4)如p?且q?p，則稱p是q的必要不充分條件.
(5)設(shè)與命題p對應(yīng)的集合為A={x|p(x)}，與命題q對應(yīng)的集合為B={x|q(x)}，
若AB，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；
若A=B，則p是q的充要條件.
【題型3 充分條件、必要條件及充要條件的判定】
【例3】（2023·上海普陀·上海市?？寄M預(yù)測）“x>1”是“1x0?a+ba?b>0?a2?b2>0?a2>b2?|a|>|b|為充要條件．
故選：C.
【變式3-3】（2020秋·上海浦東新·高一?？茧A段練習(xí)）已知p是r的充分不必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，現(xiàn)有下列命題：① s是q的充要條件；② p是q的充分不必要條件；③ r是q的必要不充分條件；④ r是s的充分不必要條件；正確的命題序號是（ ）
A．①④B．①②C．②③D．③④
【解題思路】根據(jù)條件及充分條件和必要條件的的確定p,q,r,s之間的關(guān)系，然后逐一判斷命題①②③④即可.
【解答過程】因為p是r的充分不必要條件，所以p?r，r ? p，
因為q是r的充分條件，所以q?r，
因為s是r的必要條件，所以r?s，
因為q是s的必要條件，所以s?q，
因為q?r，r?s，所以q?s，又s?q，
所以s是q的充要條件；命題①正確，
因為p?r，r?s，s?q，所以p?q，
若q?p，則r?s，s?q，q?p，故r?p，與r ? p矛盾，
所以q ? p，
所以p是q的充分不必要條件，命題②正確；
因為r?s，s?q，所以r?q，r是q的充分條件，命題③錯誤；
因為s?q，q?r，所以s?r，又r?s，
所以r是s的充要條件，命題④錯誤；
故選：B.
【題型4 充分條件、必要條件及充要條件的探索】
【例4】（2023·高一課時練習(xí)）關(guān)于x的方程ax+1=0有實根的一個充分條件是（ ）
A．a(chǎn)=0B．a(chǎn)=1
C．a(chǎn)≠1D．a(chǎn)y”的一個充分不必要條件可以是（ ）
A．x>yB．x2>y2
C．xy>1D．2x?y>2
【解題思路】根據(jù)充分不必要條件的概念，逐項判斷，即可得出結(jié)果.
【解答過程】由x>y，x2>y2推不出x>y，排除AB；
由xy>1可得x?yy>0，解得x>y>0或xy的既不充分也不必要條件，排除C；
2x?y>2?x>y，反之不成立，D正確；
故選：D．
【變式4-2】（2022秋·江蘇連云港·高一校考期中）使x∈x|x≤0或x>3}成立的一個充分不必要條件是（ ）
A．x≤0或x>3B．x3
C．x≤0或x>1D．x≥0
【解題思路】根據(jù)充分不必要條件的定義和集合間的包含關(guān)系判斷可得答案.
【解答過程】對于A，因為x|x≤0或x>3= x∈x|x≤0或x>3，故錯誤；
對于B，因為x∈x|x3?x|x≤0或x>3，故正確；
對于C，因為x|x≤0或x>3?x|x≤0或x>1，故錯誤；
對于D，因為x|x≥0不是x|x≤0或x>3的真子集，故錯誤.
故選：B.
【變式4-3】（2023春·陜西商洛·高二?？茧A段練習(xí)）不等式“x2+2x?m≥0在x∈R上恒成立”的一個充分不必要條件是（ ）
A．m4C．2