2024濰坊高三10月聯(lián)考數學試題含解析-試卷下載-教習網

1．本試題滿分150分，考試時間為120分鐘．答卷前，務必將姓名和準考證號填涂在答題紙上．
2．使用答題紙時，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰；超出答題區(qū)書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效．
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）
1. 設集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據題意，求出集合，再由交集與補集的定義求解即可.
【詳解】由題意，或，
則，
故.
故選：A.
2. 設，，分別是的三條邊，且.則“”是“為鈍角三角形”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】利用充分條件、必要條件的定義即可得出答案.
詳解】由題意可知，
若，則，
所以，所以為鈍角三角形，充分性滿足；
若為鈍角三角形，由，
則，即，所以，必要性滿足.
所以“”是“為鈍角三角形”的充要條件.
故選：C
3. 設，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用對數函數的單調性比較，，與的大小關系即可得正確選項.
【詳解】，
，
，
所以，
故選：D.
4. 已知，，，則的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把待求式中“1”用替換，然后用基本不等式求得最小值．
【詳解】因為，，，
所以，
當且僅當，即時，等號成立．
故選：C．
5. 設為所在平面內一點，，為的中點，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知即可求解.
【詳解】解：因為，為的中點，
所以，
故選：A.
6. 曲線在處的切線的傾斜角為，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出的導函數，進而求出時，，由導函數的幾何意義和傾斜角與斜率的關系，求出，利用萬能公式求出結果.
【詳解】，當時，，所以，由萬能公式得：
所以
故選：B
7. 已知函數的圖象上存在點，函數的圖象上存在點，且、關于軸對稱，則實數的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據題意問題可轉化為方程在上有解，令，，求出的值域即可得的取值范圍.
【詳解】依題意可知，方程在上有解，
即上有解，
令，，則，
時，時，
所以上單調遞減，在上單調遞增，
則的最小值為，
又，，
則的最大值為，
所以的值域為，
即可得的取值范圍是.
故選：C
8. 設是定義域的奇函數，是偶函數，且當，.若，則( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用函數的奇偶性求出，再利用的對稱性和奇函數性質求解即可.
【詳解】因為是定義域的奇函數，所以，，
因為當，，所以，從而，
因為是偶函數，即的圖像關于軸對稱，
因為圖像是圖像向左平移一個單位得到的，
所以的圖像關于對稱，故，
因為，所以，
因為，，
所以.
故選：B.
二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的給0分）
9. 下列四個函數中，以為周期且在上單調遞增的偶函數有（）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根據題意，結合三角函數的圖象性質以及圖象的變換，一一判斷即可.
【詳解】對于選項A，因為在上單調遞減，所以上單調遞減，故A錯；
對于選項B，結合的圖象性質，易知是以為周期且在上單調遞增的偶函數，故B正確；
對于選項C，結合的圖象性質，易知沒有周期性，故C錯；
對于選項D，令，易知是以為周期且在上單調遞增的偶函數，因也是單調遞增的，所以是以為周期且在上單調遞增的偶函數，故D正確.
故選：BD.
10. 下列命題正確的是（）
A. 若，，則
B. 若，，則
C. 已知，，且，則
D. 已知，，且，則
【答案】BC
【解析】
【分析】A選項做差法即可比較大小從而得出結果；B選項結合均值不等式即可判斷；C選項結合二次不等式的恒成立問題即可判斷；D選項舉出反例即可說明.
【詳解】A因為，，則，即，故A錯誤；
B因為，，則當且僅當時等號成立，故B正確；
C因為，則，當時等號成立，故C正確；
D當時，滿足，，且，但，故D錯誤.
故選：BC.
11. 設函數，若在有且僅有5個極值點，則（）
A. 在有且僅有3個極大值點B. 在有且僅有4個零點
C. 的取值范圍是D. 在上單調遞增
【答案】AD
【解析】
【分析】根據三角函數的極值點（也即最值點）的性質，求出極值點，然后根據條件，結合圖像列出關于的不等式組，解出的范圍，然后再逐一判斷每個選項.
【詳解】作出的草圖如下：
的極值點滿足，即，
因為在有且僅有5個極值點，所以，
則需，且，解得，故C錯誤；
因為，則由圖可知時，是在上的第一個極大值點，
根據正弦型三角函數的圖像規(guī)律可知，極大值點與極小值點總是交替出現的，
時是的兩個極大值點，另外兩個為極小值點，故A正確；
如圖可知，在點之前已有4個零點，也可能落在點的右側，
從而使在上有5個零點，故B錯誤；
當時，的周期最小，此時第一個極大值點為，
而在上單調遞增，故在上單調遞增，故D正確.
故選：AD
12. 關于函數，，下列說法正確的是（）
A. 對，恒成立
B. 對，恒成立
C. 函數的最小值為
D. 若不等式對恒成立，則正實數的最小值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用導數證明恒成立，判斷A，A中不等式絕對值變形的轉換可判斷B，利用導數求出函數的最小值判斷C，把不等式進行變形轉化為不等式恒成立，然后求得的范圍判斷D．
【詳解】設，，
時，，遞減，時，，遞增，
所以，所以，即恒成立，A正確；
在中令，則，，，
再令得，B正確；
設，定義域為，
，
定義域內恒成立，令是增函數，，，
所以在即在上存在唯一零點，，，
時，，即，遞減，時，，即，遞增，
所以，C錯；
不等式為，，
，所以，即，
令，則，時，，遞減，時，，遞增，，
因為，所以，
因此不等式恒成立，則恒成立，，即，
設，，
時，，遞增，時，，遞減，
所以，所以，即的最小值是，D正確．
故選：ABD．
【點睛】本題考查用導數研究函數的性質，研究不等式恒成立問題，解題關鍵是掌握導數與函數單調性的關系，深深需要不斷求導才能確定函數的單調性與極值．這是問題的難點所在，解題過程中需要不斷引進新函數，研究新函數的單調性、極值點、零點等性質，本題屬于困難題．
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 已知向量，，.若，則________.
【答案】
【解析】
【分析】根據求解即可.
【詳解】因為，
所以，解得.
故答案為：
14. 已知，則______．
【答案】
【解析】
【分析】由余弦二倍角公式結合誘導公式即可求解.
【詳解】因為，所以
.
故答案為：
15. 已知，若函數有兩個零點，則實數的取值范圍是________.
【答案】
【解析】
【分析】畫出的圖象，數形結合解決問題
【詳解】有兩個零點，即有兩個根，即函數與有兩個交點，如圖所示，顯然，當或時，函數與有兩個交點，符合題意

故答案為：
16. 已知函數在上單調遞增，則實數的取值范圍________.
【答案】
【解析】
【分析】首先求導，根據題意得到，恒成立，再利用導數求解最值即可得到答案.
【詳解】，，
因為函數在上單調遞增，
所以，恒成立，
即，恒成立，
設，
，
，，為減函數，
，，為增函數，
所以，即.
故答案為：
四、解答題（本題共6小題，共70分）
17. 已知函數.
（1）求的單調遞增區(qū)間；
（2）求在的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用兩角和的余弦公式以及輔助角公式可得，再由正弦函數單調區(qū)間，整體代入即可求解.
（2）根據三角函數的單調性即可求解.
小問1詳解】
，
，
解得，
所以函數的單調遞增區(qū)間為
【小問2詳解】
由（1），
解得
函數的單調遞減區(qū)間為，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，
，，所以函數的最大值為.
18. 在中，內角，，所對的邊長分別為，，，是1和的等差中項．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若邊上的中線長為，，求的面積．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
【分析】（Ⅰ）根據是1和的等差中項得到，再利用正弦定理結合商數關系，兩角和與差的三角函數化簡得到，從而得出，即可求出角；
（Ⅱ）設中線交于，則，由余弦定理求得，再由求得，最后根據三角形的面積公式，進行求解即可.
【詳解】解：（Ⅰ）由題意及正弦定理得，
所以，
化簡得，
因為，所以，
而在中，，
所以；
（Ⅱ）設中線交于，則，
由余弦定理得，
即，
化簡得，
因為，
所以，
所以．
19. 首屆中國（寧夏）國際葡萄酒文化旅游博覽會于2021年9月24-28日在銀川國際會展中心拉開帷幕，家酒莊、企業(yè)攜各類葡萄酒、葡萄酒加工機械設備、酒具等葡萄酒產業(yè)相關產品亮相.某酒莊帶來了2021年葡萄酒新品參展，供購商洽談采購，并計劃大量銷往海內外.已知該新品年固定生產成本萬元，每生產一箱需另投入元.若該酒莊一年內生產該葡萄酒萬箱且全部售完，每萬箱的銷售收入為萬元，.
（1）寫出年利潤（萬元）關于年產量（萬箱）的函數解析式；（利潤＝銷售收入－成本）
（2）年產量為多少萬箱時，該酒莊的利潤最大？并求出最大利潤.
【答案】（1）
（2）年產量為28萬箱時，該酒莊的利潤最大，最大利潤為萬元.
【解析】
【分析】（1）分和兩種情況列出解析式即可；
（2）分別結合二次函數在某區(qū)間上的最值以及利用均值不等式求出最值，進而比較即可求出結果.
【小問1詳解】
當時，，
所以，
當時，；
所以，
因此；
【小問2詳解】
由（1）知當時，，對稱軸為，開口向下，所以在上單調遞增，因此當時；
當時，
，
當且僅當，即時，等號成立，
因為，所以年產量為28萬箱時，該酒莊的利潤最大，最大利潤為萬元.
20. 在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題.在中，內角，，的對邊分別為，，，且滿足________.
（1）求；
（2）若的面積為，的中點為，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）選①，利用正弦定理邊角互化以及誘導公式可求解；選②，利用正弦定理的邊角互化即可求解；選③，利用正弦定理的邊角互化以及兩角差的正弦公式即可求解.
（2）利用三角形的面積公式可得，再由余弦定理以及基本不等式即可求解.
【小問1詳解】
選①，
由正弦定理可得，
又因為，可得，
即，所以，
又因為，所以，
所以，解得.
②，
由正弦定理可得，
即，
整理可得，
又因為，解得，
因為，所以.
③，
由正弦定理可得，
整理可得，
即，
即，
所以或（舍），
即，即，解得.
【小問2詳解】
，
解得，
由余弦定理可得
，
所以，當且僅當時，即取等號，
所以的最小值為.
21. 已知函數.
（1）討論函數的單調性；
（2）證明不等式恒成立.
【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）求出函數導數，討論的范圍結合導數即可得出單調性；
（2）構造函數，利用導數可得在上有唯一實數根，且，則可得，即得證.
【詳解】（1），
當時，，所以在上單調遞增；
當時，令，得到，
所以當時，，單調遞增，當，，單調遞減.
綜上所述，當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減.
（2）設函數，
則，可知在上單調遞增.
又由，知，在上有唯一實數根，且，
則，即.
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增；
所以，結合，知，
所以，
則，
即不等式恒成立.
【點睛】關鍵點睛：本題考查不等式恒成立的證明，解題的關鍵是轉化為證明的最小值大于0.
22. 已知函數，其中為正實數.
（1）當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積；
（2）當時，，求的取值范圍.
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）由導數的幾何意義求出切線方程即可求解；
（2）當時，成立，所以；當時，，令，，利用導數研究函數的單調性，可得在上單調遞減，然后利用求出即可得答案.
【小問1詳解】
解：當時，，，
所以，，
所以曲線在點處的切線方程為，即，
設切線與兩坐標軸交點為，
所以；
【小問2詳解】
解：由題意，當時，即恒成立，
當時，成立，所以；
當時，因為，所以恒成立，即，
令，，則，
令，，則，
，
令，，
由二次函數的知識有在上單調遞減，
因為，，所以存在使得，
所以時，，時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
又，所以，
所以存在，使得，
所以當時，，時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，又，
所以，即，
所以在上單調遞減，
所以，
所以，
綜上，的取值范圍為.

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