1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.
2回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
3.拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）
A. B.
C. D.
4.如果隨機(jī)變量，且，則（ ）
A. B. C. D.
5.已知，則（ ）
A. B. C. D.
6.某興趣小組組織四項(xiàng)比賽，只有甲?乙?丙?丁四人報(bào)名參加且每項(xiàng)比賽四個(gè)人都參加，每項(xiàng)比賽冠軍只有一人，若每項(xiàng)比賽每個(gè)人獲得冠軍的概率均相等，則甲恰好拿到其中一項(xiàng)比賽冠軍的概率為（ ）
A. B. C. D.
7.已知雙曲線的離心率為的一條漸近線截圓所得的弦長為（ ）
A. B. C. D.
8.已知正三棱錐的外接球?yàn)榍?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作球的截面，則所得截面圖形面積的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的值可以是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
10.記等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，且，若，則的可能取值為（ ）
A. B.5 C.6 D.7
11.已知函數(shù)的定義域均為的圖象關(guān)于對(duì)稱，是奇函數(shù)，且，則下列說法正確的有（ ）
A. B.
C. D.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知一組數(shù)據(jù)為，則這組數(shù)據(jù)第60百分位數(shù)為__________.
13.已知圓的半徑為是圓的兩條直徑，若，則__________.
14.已知函數(shù)若存在實(shí)數(shù)滿足，且，則的取值范圍為__________.
四?解答題：本題共小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（13分）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.
（1）求的值；
（2）若，求的面積.
16.（15分）如圖，在三棱柱中，平面.
（1）求證：平面平面；
（2）設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值.
17.（15分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)分別是軸和軸上的動(dòng)點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)滿足.
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）已知直線與曲線相交于兩點(diǎn)，直線，過點(diǎn)作，垂足為，設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值.
18.（17分）已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，設(shè)，證明：對(duì)任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，不等式恒成立.
19.（17分）已知數(shù)集具有性質(zhì)：對(duì)任意的與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于.
（1）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；
（2）（i）證明：且；
（ii）當(dāng)時(shí)，若，寫出集合.
2025屆高三開學(xué)摸底聯(lián)考
數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分意見
1.D 【解析】由題知，，所以.故選D.
2.C 【解析】解不等式，得或，則，所以.故選C.
3.B 【解析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選B.
4.C 【解析】由題可得解得，故選C.
5.A 【解析】.故選A.
6.C 【解析】由題知概率.故選C.
7.D 【解析】由，得，解得，所以雙曲線的一條漸近線為，則圓心到漸近線的距離，所以弦長為.故選D.
8.B 【解析】作平面，則是等邊的中心，是正三棱錐外接球的球心，點(diǎn)在上，連接，連接交于點(diǎn)（圖略），則.設(shè)該球半徑為，則.由，可得.在中，，解得.因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，在中，，所以.設(shè)球心到過點(diǎn)的截面圓的距離為，可知，截面圓半徑，所以截面圓的面積的取值范圍為.故選B.
9.CD 【解析】由解得：.因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以.故選CD.
10.BD 【解析】.又或7.故選BD.
11.ACD 【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱，所以是偶函數(shù)，故A正確；因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以即，故B錯(cuò)誤；由得，又，所以，又，即，即，則，所以，所以①，即②，②-①得，所以函數(shù)的周期為4，令，由，得，再令，則，所以
，又，所以由，
所以
，故C，D正確.故選ACD.
12.80 【解析】將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：，共8個(gè)，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)第60百分位數(shù)為第5個(gè)數(shù)據(jù)，即為80.
13. 【解析】由題意可得，
14. 【解析】結(jié)合解析式可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所?令，得，則，故.令，則，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所?所以的取值范圍為.
15.解：（1）由和正弦定理得，
即，
化簡(jiǎn)得.
因?yàn)?，所?
因?yàn)?，所?
（2）由余弦定理，得，
所以，
解得或（舍），
所以的面積.
16.（1）證明平面平面，
.
又，且平面，
平面.
平面.
又，且平面，
平面.
平面，
平面平面.
（2）解：由（1）知，所以四邊形為正方形，即，且有.
以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，以過點(diǎn)和垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，
所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則即取，
同理可得平面的一個(gè)法向量，
所以，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
17.解：（1）設(shè).
因?yàn)?，所以，?
由得，，
所以，
將，代入得，，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.
（2）由得①
設(shè)，則，
顯然，
所以，即.
因?yàn)椋灾本€的方程為.
令，得②.
將代入②，
得，
故直線過定點(diǎn)，即定點(diǎn).
在①中，，
所以
.
又直線過定點(diǎn)，
所以
.
令，
則.
又在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞減，
故當(dāng)，即時(shí)，面積取最大值，.
18.解：（1）的定義域?yàn)?
令，
當(dāng)，即時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)，即時(shí)，由得，
，且，
由得或，
由得，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）因?yàn)?，所?不妨設(shè)，
則要證明，
只需證明，
即，
即證.
設(shè)，則只需證明，化簡(jiǎn)得.
設(shè)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時(shí)，，即，得證.
19.（1）解：因?yàn)榕c均不屬于數(shù)集，所以數(shù)集不具有性質(zhì).
因?yàn)槎紝儆跀?shù)集，
所以數(shù)集具有性質(zhì).
（2）（i）證明：因?yàn)榫哂行再|(zhì)，所以與中至少有一個(gè)屬于.
因?yàn)?，所以，?
從而，所以.
因?yàn)?，所以，?
由具有性質(zhì)可知.
又因?yàn)?br>所以，
從而，
即.
（ii）解：由（i）知，，即，
因?yàn)?，所以，則，
由于數(shù)集具有性質(zhì)，所以.
由，可得，且，所以
故，因此.
所以數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，即，所以

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