一、單選題（本大題共8小題）
1．已知，，若，則（ ）
A．B．C．4D．
2．設(shè)直線分別是長方體的相鄰兩個面的對角線所在的直線，則a與b（ ）
A．平行B．相交
C．是異面直線D．可能相交，也可能是異面直線
3．已知直線：與直線：平行，則（ ）
A．6B．5C．4D．3
4．已知直線與平面相交，點，在上，，且線段在內(nèi)的射影長為，則與所成角的大小為（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，在四面體中，為棱的中點，點，分別滿足，，則（ ）
A．B．
C．D．
6．已知一條光線從點發(fā)出被直線反射，若反射光線過點，則反射光線所在的直線方程為（ ）
A．B．C．D．
7．已知圓：，直線：，若與交于兩點，則的最小值為（ ）
A．B．2C．D．
8．已知球是正三棱柱的內(nèi)切球，，是球表面上一點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．以下說法正確的是（ ）
A．過直線外一點，可以作無數(shù)個平面與該直線平行
B．過直線外一點，可以作無數(shù)個平面與該直線垂直
C．如果兩個平面不相交，則它們就沒有公共點
D．若一條直線與一個平面不垂直，則這條直線與這個平面內(nèi)的任何直線都不垂直
10．已知圓：和圓：，點，分別是，上的動點，過點作的兩條切線，切點分別為，，則（ ）
A．的圓心在直線上
B．和相離
C．的最小值為
D．若，則四邊形面積的最大值為
11．如圖所示，正四棱錐與正三棱錐的棱長均為1，一凸多面體是由該四棱錐與該三棱錐組合而成，其中點，，分別與點，，重合，在該多面體中（ ）
A．二面角的余弦值為
B．，，，四點共面
C．平面
D．三棱錐的外接球體積為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知是直線的一個方向向量，則的傾斜角為 .
13．已知圓：，寫出一條過點且與相切的直線方程 .
14．在四面體中，點，分別為，的重心，過作直線與棱，交于點，已知，，則 .若四面體的體積為3，則四棱錐的體積最大值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知的三個頂點分別是，，.
(1)求邊的高所在直線方程；
(2)求的面積.
16．如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱的中點.
(1)證明：平面；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.
17．已知圓經(jīng)過，兩點，且圓心在直線上.
(1)求的方程；
(2)設(shè)直線：與交于，兩點.
①證明：直線與平行；
②求四邊形的面積.
18．在四棱臺中，平面，平面平面.
(1)證明：平面；
(2)已知四邊形為梯形，，，，二面角的大小為.
①求點到平面的距離；
②求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
19．已知圓：，圓：，若平面內(nèi)一點到的切線長與到的切線長之比為定值（，且），則稱點為“型切圓關(guān)聯(lián)點”，記時，點的軌跡為.
(1)求的方程；
(2)過點的直線交于，兩點，過與垂直的直線交于，兩點.
①求四邊形面積的最大值；
②設(shè)為線段的中點，為線段的中點，證明：直線過定點.
參考答案
1．【答案】B
【詳解】向量，，由，得，所以.
故選：B
2．【答案】D
【分析】按直線的三種位置關(guān)系分析．
【詳解】如圖，長方體中，
當(dāng)所在直線為a，所在直線為b時，a與b相交；
當(dāng)所在直線為a，所在直線為b時，a與b異面.
故選：D.
3．【答案】B
【詳解】由于兩直線平行，所以，
此時，符合題意.
故選：B
4．【答案】B
【詳解】設(shè)與所成角為，
因為點，在上，，且線段在內(nèi)的射影長為，
依題意作圖如下，則，
所以與所成角的大小為.
故選：B

5．【答案】D
【詳解】由已知
.
故選：D．
6．【答案】A
【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，
因此反射光線所在直線過點，方程為，即.
故選：A
7．【答案】C
【詳解】直線：過定點，圓：的圓心，半徑，
，即點在圓內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)時，最短，
所以的最小值為
故選：C
8．【答案】B
【詳解】設(shè)等邊三角形內(nèi)切圓的半徑為，
則，
則正三棱柱的內(nèi)切球半徑，則正三棱柱的高為.
設(shè)等邊三角形外接圓半徑為，則，
所以，設(shè)是等邊三角形的中心，是的中點，
連接，則，，
是球表面上一點，則
，
，（同向是為，反向時為），
所以，所以的取值范圍是.
故選：B
9．【答案】AC
【詳解】對于A，過直線外一點可作一條直線與這條直線平行，經(jīng)過所作直線有無數(shù)個平面與該直線平行，A正確；
對于B，過直線外一點，有且只有一個平面與該直線垂直，B錯誤；
對于C，兩個平面不相交，則它們平行，沒有公共點，C正確；
對于D，正四面體的相對棱垂直，而任意棱都不垂直于對棱所在的平面，D錯誤.
故選：AC
10．【答案】BC
【詳解】圓：的圓心，半徑，
圓：的圓心，半徑，
對于A，點的坐標(biāo)不滿足方程，A錯誤；
對于B，，和相離，B正確；
對于C，，C正確；
對于D，當(dāng)時，，，，
四邊形的面積，D錯誤.
故選：BC

11．【答案】BCD
【詳解】設(shè)是的中點，連接，設(shè)，連接，
則平面.
由于三角形、三角形都是等邊三角形，所以，
所以是二面角的平面角，，
所以，所以A選項錯誤.
由于，所以是二面角的平面角，，
所以，所以，
所以四點共面，B選項正確.
，所以四邊形是菱形，所以，
由于平面平面，所以平面，所以C選項正確.
由于，所以是三棱錐外接球的球心，
且外接球的半徑為，所以外接球的體積是，所以D選項正確.
故選：BCD
12．【答案】
【詳解】依題意，直線的斜率，其傾斜角為.
故答案為：
13．【答案】或（只寫一條即可）．
【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心為，半徑為5，
過且斜率不存在的直線為，它與圓相切，
過且斜率存在的直線設(shè)其方程為，即，
由，解得，
直線方程為，即，
故答案為：或（只寫一條即可）．
14．【答案】
【詳解】設(shè)是的中點，所以三點共線，三點共線，
，，
所以，由于三點共線，
所以.
依題意，.
.
由于，所以到平面的距離是到平面的距離的三分之一，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
所以四棱錐的體積最大值為.
故答案為：；
15．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1），邊的高所在直線的斜率為，
所以邊的高所在直線方程為.
（2），直線的方程為，
到直線的距離為，
所以.
16．【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由于為棱的中點，所以，所以四邊形是平行四邊形，
所以，由于平面，平面，
所以平面.
（2）依題意可知平面，而平面，所以，
，所以.而，
由此可以為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
，
，
設(shè)平面的法向量為，
則，故可設(shè)，
設(shè)直線與平面所成角為，
所以.
17．【答案】(1)
(2)①證明見解析；②
【詳解】（1）設(shè)圓心為，由，則，
所以，解得.
且，，
所以圓的方程為.
（2）①直線的方程為，
直線：，即，
所以直線與平行；
②由解得，
即，則三點共線，所以是圓的直徑，
，，
所以四邊形的面積為.

18．【答案】(1)證明見解析；
(2)①；②．
【詳解】（1）作，垂足為，作，垂足為，
∵平面，平面，所以，
又∵，平面，所以平面，
∵平面平面，平面平面，，平面，
∴平面，
∴與重合，即為平面與平面的交線，
∴平面;
（2）由題意，以為原點，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
由（1）平面，平面，∴，
在直角梯形中，，
，
所以，
∴，
是棱臺，則，
因此
則，，，設(shè)，，
則，，
，
設(shè)平面的一個法向量是，
則，
取，可得，，
則為平面的一個法向量，
平面的一個法向量是，
二面角的大小為，
則，
解得（負值舍去），
①∴，，，又，
點到平面的距離為，
②，
設(shè)平面的一個法向量是，
則，
取，則，，
則為平面的一個法向量，
，
∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．
19．【答案】(1)（坐標(biāo)原點除外）
(2)①；②證明見解析
【詳解】（1）圓：的圓心為，半徑為，
圓：的圓心為，半徑為，
設(shè)Px,y，點到圓的切線長為，
點到圓的切線長為
所以，
兩邊平方并化簡得（坐標(biāo)原點除外）.
所以的方程為（坐標(biāo)原點除外）.
（2）①依題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為（），直線的斜率為，
則直線的方程為，即，
圓心到直線的距離，
所以，
用替換，可得，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以四邊形面積的最大值為.
②由消去并化簡得，
所以，
用替換，可得，
當(dāng)時，，
所以直線的方程為，
即，
所以直線恒過定點，
當(dāng)時，，此時直線恒過定點，
當(dāng)時，，此時直線恒過定點，
綜上所述，直線恒過定點.
2.結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系證明定點性質(zhì)：通過直線與圓的交點，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，推導(dǎo)出直線方程，從而證明直線恒過定點.

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