2023屆山東省濰坊市高三三模數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________ 一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B． C． D．2．已知為虛數(shù)單位，則“復數(shù)是純虛數(shù)”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知平面向量與的夾角是，且，則（    ）A． B． C． D．4．我國古代名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有方錐，下廣二丈，高三丈．欲斬末為方亭，令上方六尺．問：斬高幾何？”大致意思是：“有一個正四棱錐的下底面邊長為二丈，高為三丈，現(xiàn)從上面截去一段，使之成為正四棱臺，且正四棱臺的上底面邊長為六尺，則截去的正四棱錐的高是多少？”按照上述方法，截得的該正四棱臺的體積為（    ）（注：1丈尺）A．11676立方尺 B．3892立方尺C．立方尺 D．立方尺5．已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，，則（    ）A．函數(shù)為偶函數(shù) B．C． D．6．若為函數(shù)圖象上的一個動點，以為切點作曲線的切線，則切線傾斜角的取值范圍是（    ）A． B．C． D．7．已知事件,,，，則（    ）A． B． C． D．8．已知，則的大小關系為（    ）A． B．C． D． 二、多選題9．如圖所示的幾何體，是將棱長為3的正四面體沿棱的三等分點，作平行于底面的截面所得，且其所有棱長均為1，則（    ）  A．直線與直線所成角為 B．直線與平面所成角為C．該幾何體的體積為 D．該幾何體中，二面角的余弦值為10．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若是的一個單調(diào)遞增區(qū)間，則（    ）A．的最小正周期為 B．在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的最大值為 D．方程在上有5個實數(shù)根11．函數(shù)的圖象是雙曲線，且直線和是它的漸近線．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（    ）A．， B．對稱軸方程是C．實軸長為 D．離心率為12．已知函數(shù)，實數(shù)滿足不等式，則的取值可以是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3 三、填空題13．已知,則_________.（用數(shù)字作答）14．已知圓，與圓總相切的圓的方程是_________．15．已知函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是_________．16．已知過點的直線與拋物線交于兩點，過點作拋物線的切線，切點是（在軸的上方），直線和的傾斜角分別是，則的取值范圍為_________． 四、解答題17．已知數(shù)列和滿足．(1)證明：和都是等比數(shù)列；(2)求的前項和．18．定義平面凸四邊形為平面上每個內(nèi)角度數(shù)都小于的四邊形．已知在平面凸四邊形中，，，，的平分線為，且．(1)求的面積；(2)求的取值范圍．19．某品牌中性筆研發(fā)部門從流水線上隨機抽取100件產(chǎn)品，統(tǒng)計其性能指數(shù)并繪制頻率分布直方圖（如圖1）產(chǎn)品的性能指數(shù)在的適合兒童使用（簡稱A類產(chǎn)品），在的適合少年使用（簡稱B類產(chǎn)品），在的適合青年使用（簡稱C類產(chǎn)品），三類產(chǎn)品的銷售利潤分別為每件1.5，3.5，5.5（單位：元）．以這100件產(chǎn)品的性能指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的性能指數(shù)位于該區(qū)間的概率．(1)該公司為了解年營銷費用（單位：萬元）對年銷售量（單位：萬件）的影響，對近5年的年營銷費用和年銷售量的數(shù)據(jù)做了初步處理，得到散點圖（如圖2）及一些統(tǒng)計量的值（如下表）．16.3024.870.411.64表中．根據(jù)散點圖判斷，可以作為年銷售量（萬件）關于年營銷費用（萬元）的回歸方程，求關于的回歸方程；（取）(2)求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤；并用所求的回歸方程估計該公司應投入多少營銷費，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達到最大？（收益=銷售利潤-營銷費用）參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為．20．如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長為，點在母線上，且.  (1)求證：直線平面；(2)求證：平面平面；(3)若點為線段上的動點．當直線與平面所成角的正弦值最大時，求此時點到平面的距離.21．已知橢圓的離心率為，且過點．(1)求橢圓的標準方程；(2)若動直線：與橢圓交于兩點，且在坐標平面內(nèi)存在兩個定點，使得（定值），其中分別是直線的斜率，分別是直線的斜率．①求的值；②求四邊形面積的最大值．22．已知函數(shù)有兩個極值點．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)證明：．
參考答案：1．C【分析】根據(jù)交集與補集的定義求解.【詳解】，，，故選：C.2．A【分析】先根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡復數(shù)，再根據(jù)純虛數(shù)的定義及充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】，因為復數(shù)是純虛數(shù)所以，即，故不同時為，所以，當時，不是純虛數(shù)，所以“復數(shù)是純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選：A.3．C【分析】利用模的公式可得到，然后利用數(shù)量積的運算律即可得到答案【詳解】由可得，因為平面向量與的夾角是，且所以故選：C4．B【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用棱錐與棱臺的結構特征求出正四棱臺的高，再計算它的體積．【詳解】如圖所示，正四棱錐的下底邊長為二丈，即尺，高三丈，即尺；截去一段后，得正四棱臺，且上底邊長為尺，所以，解得，所以該正四棱臺的體積是（立方尺）．故選：．5．A【分析】由函數(shù)的對稱性，周期性求解即可.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以，所以的圖象關于對稱.所以又因為，所以的圖象關于對稱，所以由得，所以是周期為的函數(shù).由得，所以為偶函數(shù).故選：A.6．D【分析】設出切點，利用處的導數(shù)幾何意義，即可得出，然后利用正切值即可得出答案.【詳解】設點坐標為，由，，得，則以為切點的切線斜率為，令切線傾斜角為，，則，則.故選：D.7．C【分析】由條件概率的公式以及對立事件之間的關系列出方程組，解方程組即可得.【詳解】由條件概率公式可知,即①,,即②,而，所以③，又已知④,②③④聯(lián)立可得.故選：C8．D【分析】構造函數(shù)，求出導函數(shù)得出單調(diào)性，從而可得，即，得出大小，同理可得大小，得出答案.【詳解】∵，構造函數(shù)，，令，則，∴在上單減，∴，故，所以在上單減，∴，∵，構造函數(shù)，，令，則，∴在上單減，∴，故，所以在上單減，∴，故.故選：D.9．AC【分析】將該幾何體還原為原正四面體，對A：直線與直線所成角即為MQ與QN所成角；對B：直線與平面所成角為QN與底面MNS所成的角；對C：該幾何體的體積為大正四面體的體積減去4個棱長為1的小正四面體的體積；對D：二面角的大小與的大小互補.【詳解】將該幾何體還原為原正四面體，棱長為，設中心為O，連接OQ，ON，則,對A：因為，所以直線與直線所成角即為MQ與QN所成角為，故A正確；對B：直線與平面所成角為QN與底面MNS所成的角，即為所求角，，，故B錯誤；對C：該幾何體的體積為大正四面體的體積減去4個棱長為1的小正四面體的體積，，故C正確；對D：二面角的大小與的大小互補，顯然的大小為銳角，所以二面角的大小一定為鈍角，故D錯誤.故選：AC10．ACD【分析】根據(jù)函數(shù)平移規(guī)則得出解析式，根據(jù)單調(diào)區(qū)間代入特殊點即可求出，即可得出和解析式，根據(jù)三角函數(shù)性質即可選出答案.【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到，所以的最小正周期為，則是的半個最小正周期，又是的一個單調(diào)遞增區(qū)間，所以，即，，解得，，因為，所以，故，的最小正周期，故A正確；令，，解得，，即的遞增區(qū)間為，，所以在上單調(diào)遞增，故B錯誤；，所以，所以函數(shù)的最大值為，故C正確；當時，令，則、、、、，即方程在上有5個實數(shù)根，故D正確.故選：ACD.11．ABD【分析】由基本不等式可判斷A，由雙曲線的性質判斷B，C，D.【詳解】時，，當且僅當即時取等號，時，，當且僅當即時取等號，故A正確；依題意，此雙曲線兩條漸近線為和，，由雙曲線的對稱性，雙曲線的漸近線關于雙曲線的對稱軸對稱，故得雙曲線的兩條對稱軸方程為，故B正確；由雙曲線的性質，雙曲線實軸的兩個頂點為對稱軸與雙曲線的兩個交點，則由得雙曲線實軸的兩個頂點分別為，，故此雙曲線的實軸長即為，故C錯誤；依題意，此雙曲線兩條漸近線和的夾角為，則漸近線與對稱軸的夾角為，由雙曲線的性質有，所以，解得，故D正確.故選：ABD12．CD【分析】根據(jù)函數(shù)解析式判斷出函數(shù)對稱性，根據(jù)函數(shù)導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性將外函數(shù)的大小比較轉化為內(nèi)函數(shù)大小比較即可.【詳解】因為，所以，所以關于對稱，，當且僅當，即時等號成立，又因，所以恒成立，則是增函數(shù)，因為，所以，則.故選：CD.13．33【分析】令可得,令可得,令可得,兩式相加得,再減去即可得出結果.【詳解】因為.令,得;令,得①;令,得②;①+②得,所以.故答案為:.14．【分析】根據(jù)圓標準方程可知圓心軌跡，由圓心軌跡與圓軌跡可確定圓上總有點與原點距離為4即可求出圓的方程.【詳解】圓標準方程為，圓的圓心為，半徑為2，由圓心坐標可知圓心軌跡是以原點為圓心，半徑為2的圓，故圓上總有點與原點距離為4，由圓的標準方程可知圓的方程是：.故答案為：.15．【分析】令，問題轉化為與在上有兩個交點，且互為反函數(shù)，交點在上，則它們有交點的臨界情況為與相切，設切點，利用導數(shù)幾何意義求切點坐標，進而確定臨界情況下的值，即可得出范圍.【詳解】由題知，，令，，則與在上有兩個交點， 又與互為反函數(shù)，且交點在上，設、與相切時，切點為，，則，解得， 又，所以，所以當時，和只有一個交點；      當時，此時圖像為，無交點；      當時，此時圖像為，有兩個交點.  故答案為：【點睛】關鍵點睛：本題考查了轉化思想、導數(shù)的幾何意義，難點是確定臨界值，屬于難題.16．【分析】首先直線分別與拋物線方程聯(lián)立，求得點的坐標，以及利用韋達定理表示，再結合兩角和的正切公式，和基本不等式求解取值范圍.【詳解】設直線，與拋物線方程聯(lián)立，得，，得或，，設直線，與拋物線方程聯(lián)立，，得，，得（由題意可知，舍去）當時，解得：，，即，，，，當時，，此時，當時，等號成立，但，所以當時，，此時，當時，等號成立，由對稱性可知，，此時，綜上可知，的取值范圍為.故答案為：17．(1)證明見解析(2) 【分析】（1）由，兩式相加、相減，結合等比數(shù)列的定義即可證明；（2）由（1）可得，，即可求出和的通項公式，從而得到，再利用分組求和法及等邊數(shù)列求和公式計算可得.【詳解】（1）因為，，所以，，又由，得，，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．（2）由（1）得，，所以，，所以，所以．18．(1)(2) 【分析】（1）利用角平分線定理可得出，利用余弦定理可求得、的長，分析可知為直角三角形，利用三角形的面積公式可求得結果；（2）利用正弦定理可得出，求出的取值范圍，結合正弦函數(shù)的基本性質可求得長的取值范圍.【詳解】（1）解：由題意可得，在中，的平分線為，且，所以，，則，由余弦定理得，，即，所以，，，則，為直角三角形，故.（2）解：在平面凸四邊形中，，則，由（1）可得，，，在中，由正弦定理可得，所以，，又因為，且，所以，則，所以的取值范圍是．19．(1)(2)4元，256萬元 【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出相應參數(shù)，即可得到回歸方程；（2）求出每件產(chǎn)品的銷售利潤的分布列，得出均值即每件產(chǎn)品的平均銷售利潤，求出年收益的表達式，通過求導得出該公司在該產(chǎn)品一年的收益達到最大時應投入的營銷費.【詳解】（1）由題意，由得，，令，則，由表中數(shù)據(jù)可得，，則，∴，即，∵，∴，∴所求的回歸方程為．（2）由題意及（1）得，設每件產(chǎn)品的銷售利潤為元，則的所有可能取值為1.5，3.5，5.5，由直方圖可得，三類產(chǎn)品的頻率分別為0.15，0.45，0.4，∴，，，所以隨機變量的分布列為：1.53.55.50.150.450.4所以，故每件產(chǎn)品的平均銷售利潤為4元；設年收益為萬元，則，設，則，當時，，在單週遞增，當時，，在單調(diào)遞減，∴當，即時，有最大值為768，∴估計當該公司一年投入256萬元營銷費時，能使得該產(chǎn)品年收益達到最大．20．(1)證明見解析(2)證明見解析(3) 【分析】（1）設交于點，連接，利用三角形相似證得，從而證得，進而證得直線平面；（2）通過平面，證得平面，所以平面平面；（3）建立空間直角坐標系，設，通過向量和平面的法向量建立直線與平面所成角的正弦值的關系式，并利用基本不等式，即可求最值.【詳解】（1）如圖，設交于點，連接，易知底面，，所以，又是底面圓的內(nèi)接正三角形，由，可得，.又，，所以，即，又，所以，所以，即，又平面，直線平面，平面，所以直線平面..  （2）因為平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（3）易知，以點為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，，，  設平面的法向量為，則，即，令，則，設，可得，設直線與平面所成的角為，則，即，令，則，當且僅當時，等號成立，所以當時，有最大值4，即當時，的最大值為1，此時點，所以，所以點到平面的距離，故當直線與平面所成角的正弦值最大時，點到平面的距離為.21．(1)(2)①；② 【分析】（1）利用離心率和過點坐標聯(lián)立即可求解得出答案.（2）①設，把與橢圓的標準方程聯(lián)立，利用消元表示出要求的式子，即可得出結論；②不妨設點，點，利用點到直線的距離公式，即可表示出要求的面積，進而求解其最大值即可.【詳解】（1）由題意得，解得，則橢圓的標準方程為.（2）①設，把與橢圓的標準方程聯(lián)立，消去，可得，注意到為方程的兩根，故有恒等式，則，同理，把與橢圓的標準方程聯(lián)立，消去，可得，注意到為方程的兩根，故有恒等式，則，則，所以，若為定值，則必有，計算可得，，故．②不妨設點，點，點，點到直線的距離分別是，因為，，，所以，四邊形面積（當時取等號），所以四邊形面積的最大值是．22．(1)(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)題意轉化為有兩個零點，令，求得，得出的單調(diào)性，結合，得到，進而得到存在，使得，令，得到在上恒成立，進而求得實數(shù)的取值范圍；（2）由（1）轉化為，進而轉化為證明，令，可得，利用導數(shù)求得單調(diào)性，結合，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)有兩個極值點，即函數(shù)有兩個零點，不妨設，因為，令，可得，令，解得，當時，，當時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，可得，又由，所以存在，使得，令，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞增，且,即，所以在上單調(diào)遞增，又由，所以在上恒成立，又由，所以存在，使得，所以實數(shù)的取值范圍是．（2）解：由（1）得，不妨設，則，即，要證，即證，即，只需證，則，即，即，令，可得，因為，可得，所以在上為增函數(shù)，則，即，所以.【點睛】方法總結：利用導數(shù)證明或判定不等式問題：1、通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關系；2、利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關系；3、適當放縮構造法：根據(jù)已知條件適當放縮或利用常見放縮結論，從而判定不等關系；4、構造“形似”函數(shù)，變形再構造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結構構造輔助函數(shù). 

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