1．（2分）下列四個(gè)品牌圖標(biāo)中，是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+3＝0，此方程可化為（ ）
A．（x﹣4）2＝13B．（x+4）2＝13C．（x﹣4）2＝19D．（x+4）2＝19
3．（2分）如圖中的五角星圖案，繞著它的中心O旋轉(zhuǎn)n°后，能與自身重合，則n的值至少是（ ）
A．60B．72C．120D．144
4．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將拋物線y＝2x2先向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，所得拋物線為（ ）
A．y＝2（x﹣2）2+3B．y＝2（x﹣2）2﹣3
C．y＝2（x+2）2﹣3D．y＝2（x+2）2+3
5．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示示，關(guān)于a、c的符號(hào)判斷正確的是（ ）
A．a(chǎn)＞0，c＞0B．a(chǎn)＞0，c＜0C．a(chǎn)＜0，c＞0D．a(chǎn)＜0，c＜0
6．（2分）雷達(dá)通過(guò)無(wú)線電的方法發(fā)現(xiàn)目標(biāo)并測(cè)定它們的空間位置，因此雷達(dá)被稱為“無(wú)線電定位”．現(xiàn)有一款監(jiān)測(cè)半徑為5km的雷達(dá)，監(jiān)測(cè)點(diǎn)的分布情況如圖，如果將雷達(dá)裝置設(shè)在P點(diǎn)，每一個(gè)小格的邊長(zhǎng)為1km，那么能被雷達(dá)監(jiān)測(cè)到的最遠(yuǎn)點(diǎn)為（ ）
A．M點(diǎn)B．N點(diǎn)C．P點(diǎn)D．Q點(diǎn)
7．（2分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線G，自變量x與函數(shù)y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：
下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．拋物線G的開(kāi)口向上
B．拋物線G的對(duì)稱軸是
C．拋物線G與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣2）
D．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值為﹣2
8．（2分）兩塊完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A'B'C′重合在一起，將三角板A'B'C'繞直角頂點(diǎn)C'按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α（0°＜α≤90°），如圖所示．以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．當(dāng)α＝30°時(shí)，A'C與AB的交點(diǎn)恰好為AB中點(diǎn)
B．當(dāng)α＝60°時(shí)，A'B'恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B
C．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，存在某一時(shí)刻，使得AA'＝BB'
D．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，始終存在AA'⊥BB'
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．（2分）方程x2＝1的解是 ．
10．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（1，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
11．（2分）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)圖象開(kāi)口向上，且與y軸交于點(diǎn)（0，2）的二次函數(shù)的解析式 ．
12．（2分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)35°得到△DEC，邊ED，AC相交于點(diǎn)F，若∠A＝30°，則∠EFC＝ ．
13．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝2（x﹣1）2+k經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，m），B（3，n）．則m n（填“＞”，“＝”或“＜”）．
14．（2分）二次函數(shù)y＝x2﹣6x+c的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則c的值為 ．
15．（2分）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶⑸钜淮?，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”用幾何語(yǔ)言表達(dá)為：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，EB＝1寸，CD＝10寸，則直徑AB長(zhǎng)為 寸．
16．（2分）我國(guó)三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了求一元二次方程正數(shù)解的幾何解法．例如求方程x2+2x﹣35＝0的正數(shù)解的步驟為：
（1）將方程變形為x（x+2）＝35；
（2）構(gòu)造如圖1所示的大正方形，其面積是（x+x+2）2，其中四個(gè)全等的矩形面積分別為x（x+2），中間的小正方形面積為22；
（3）大正方形的面積也可表示為四個(gè)矩形和一個(gè)小正方形的面積之和，即4×35+22＝144；
（4）由此可得方程：（x+x+2）2＝144，則方程的正數(shù)解為x＝5．
根據(jù)趙爽記載的方法，在圖2中的三個(gè)構(gòu)圖（矩形的頂點(diǎn)均落在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上）①②③中，能夠得到方程x2+3x﹣10＝0的正數(shù)解的構(gòu)圖是 （只填序號(hào)）．
三、解答題（共68分，第17-19題，每題5分，第20題6分，第21-22題，每題5分，第23題6分，第24題5分，第25-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）
17．（5分）解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）
18．（5分）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．
求證：A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心的同一個(gè)圓上．
19．（5分）已知：關(guān)于x的方程x2+4x+2m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若m為正整數(shù)，求此時(shí)方程的根．
20．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，4），B（1，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）畫(huà)出二次函數(shù)的圖象；
（3）當(dāng)y＞0時(shí)，直接寫(xiě)出x的取值范圍．
21．（5分）如圖，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2）．
（1）畫(huà)出△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△OA1B1；
（2）求點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B1的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．
22．（5分）某學(xué)校要設(shè)計(jì)校園“數(shù)學(xué)嘉年華”活動(dòng)的項(xiàng)目介紹展板．如圖，現(xiàn)有一塊長(zhǎng)25dm，寬8dm的矩形展板，展示區(qū)域?yàn)槿鹊乃膫€(gè)矩形，其中相鄰的兩個(gè)矩形展示區(qū)域之間及四周都留有寬度相同的空白區(qū)域．如果四個(gè)矩形展示區(qū)域的面積之和為120dm2，求空白區(qū)域的寬度．
23．（6分）如圖，在等邊△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC，且AE＝DC，連接CE．
（1）求證：四邊形ADCE是矩形；
（2）連接BE交AD于點(diǎn)F，連接CF．若AB＝4，求CF的長(zhǎng)．
24．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象由函數(shù)y＝x的圖象平移得到，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2）．
（1）求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y＝mx（m≠0）的值大于一次函數(shù)y＝kx+b的值，直接寫(xiě)出m的取值范圍．
25．（6分）如圖，一位足球運(yùn)動(dòng)員在一次訓(xùn)練中，從球門(mén)正前方8m的A處射門(mén)，已知球門(mén)高OB為2.44m，球射向球門(mén)的路線可以看作是拋物線的一部分．當(dāng)球飛行的水平距離為6m時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)球的豎直高度為3m．
現(xiàn)以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求拋物線表示的二次函數(shù)解析式；
（2）通過(guò)計(jì)算判斷球能否射進(jìn)球門(mén)（忽略其他因素）；
（3）若運(yùn)動(dòng)員射門(mén)路線的形狀、最大高度均保持不變，則他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng) 米射門(mén)，才能讓足球經(jīng)過(guò)點(diǎn)O正上方2.25m處．
26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M（2，m），N（4，n）在拋物線y＝ax2+bx（a＞0）上，設(shè)該拋物線的對(duì)稱軸為x＝t．
（1）若m＝n，求t的值；
（2）若mn＜0，求t的取值范圍．
27．（7分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是線段AC延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DQ，連接PQ，BP，作直線BQ交AC于點(diǎn)E．
（1）依題意補(bǔ)全圖形；
（2）求證：∠PBQ＝∠PQB；
（3）用等式表示線段EP，EQ，EB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：將圖形M繞直線x＝3上某一點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到圖形M'，再將圖形M'關(guān)于直線x＝3對(duì)稱，得到圖形N．此時(shí)稱圖形N為圖形M關(guān)于點(diǎn)P的“二次變換圖形”．
已知點(diǎn)A（0，1）．
（1）若點(diǎn)P（3，0），直接寫(xiě)出點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的“二次變換圖形”的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的“二次變換圖形”與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P（3，﹣3），⊙O半徑為1．已知長(zhǎng)度為1的線段AB，其關(guān)于點(diǎn)P的“二次變換圖形”上的任意一點(diǎn)都在⊙O上或⊙O內(nèi)，直接寫(xiě)出點(diǎn)B的縱坐標(biāo)yB的取值范圍．
2023-2024學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
（參考答案）
一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).
1．（2分）下列四個(gè)品牌圖標(biāo)中，是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：選項(xiàng)B中的圖形是中心對(duì)稱圖形．
故選：B．
2．（2分）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+3＝0，此方程可化為（ ）
A．（x﹣4）2＝13B．（x+4）2＝13C．（x﹣4）2＝19D．（x+4）2＝19
【解答】解：∵x2﹣8x+3＝0，
∴x2﹣8x＝﹣3，
則x2﹣8x+16＝﹣3+16，即（x﹣4）2＝13，
故選：A．
3．（2分）如圖中的五角星圖案，繞著它的中心O旋轉(zhuǎn)n°后，能與自身重合，則n的值至少是（ ）
A．60B．72C．120D．144
【解答】解：該圖形被平分成五部分，旋轉(zhuǎn)72度的整數(shù)倍，就可以與自身重合，
∴旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少為72°，
故選：C．
4．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將拋物線y＝2x2先向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，所得拋物線為（ ）
A．y＝2（x﹣2）2+3B．y＝2（x﹣2）2﹣3
C．y＝2（x+2）2﹣3D．y＝2（x+2）2+3
【解答】解：由題意，根據(jù)二次函數(shù)圖象的幾何變換規(guī)律，∵拋物線y＝2x2先向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，
∴所得拋物線為y＝2（x+2）2﹣3．
故選：C．
5．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示示，關(guān)于a、c的符號(hào)判斷正確的是（ ）
A．a(chǎn)＞0，c＞0B．a(chǎn)＞0，c＜0C．a(chǎn)＜0，c＞0D．a(chǎn)＜0，c＜0
【解答】解：由圖象可知：拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）開(kāi)口向下，
故a＜0，
又∵y＝ax2+bx+c（a≠0）交y軸于正半軸，
∴c＞0，故答案選：C．
6．（2分）雷達(dá)通過(guò)無(wú)線電的方法發(fā)現(xiàn)目標(biāo)并測(cè)定它們的空間位置，因此雷達(dá)被稱為“無(wú)線電定位”．現(xiàn)有一款監(jiān)測(cè)半徑為5km的雷達(dá)，監(jiān)測(cè)點(diǎn)的分布情況如圖，如果將雷達(dá)裝置設(shè)在P點(diǎn)，每一個(gè)小格的邊長(zhǎng)為1km，那么能被雷達(dá)監(jiān)測(cè)到的最遠(yuǎn)點(diǎn)為（ ）
A．M點(diǎn)B．N點(diǎn)C．P點(diǎn)D．Q點(diǎn)
【解答】解：如圖，觀察圖象可知，能被雷達(dá)監(jiān)測(cè)到的最遠(yuǎn)點(diǎn)為點(diǎn)N．
故選：B．
7．（2分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線G，自變量x與函數(shù)y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：
下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．拋物線G的開(kāi)口向上
B．拋物線G的對(duì)稱軸是
C．拋物線G與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣2）
D．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值為﹣2
【解答】解：由表格可得，
該函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x＝＝﹣，
∴選項(xiàng)B正確；
又由表格可以發(fā)現(xiàn)在對(duì)稱軸左邊y隨x的增大而減小，在對(duì)稱軸的右邊y隨x的增大而增大，
∴拋物線開(kāi)口向上，故選項(xiàng)A正確；
又當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2，
∴拋物線與y軸交于點(diǎn)（0，﹣2），故選項(xiàng)C正確；
用排除法，可得選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選：D．
8．（2分）兩塊完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A'B'C′重合在一起，將三角板A'B'C'繞直角頂點(diǎn)C'按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α（0°＜α≤90°），如圖所示．以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．當(dāng)α＝30°時(shí)，A'C與AB的交點(diǎn)恰好為AB中點(diǎn)
B．當(dāng)α＝60°時(shí)，A'B'恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B
C．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，存在某一時(shí)刻，使得AA'＝BB'
D．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，始終存在AA'⊥BB'
【解答】解：∵直角三角板ABC和A′B′C′重合在一起，
∴AC＝A′C，BC＝B′C，
A：當(dāng)α＝30°時(shí)，∠A′CB＝60°，
∴A′C與AB的交點(diǎn)與點(diǎn)B、C構(gòu)成等邊三角形，
∴A′C與AB的交點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，
故A正確；
B：當(dāng)α＝60°時(shí)，∠B′CB＝60°，
∴A′B′恰好經(jīng)過(guò)B，
故B正確；
C在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠ACA′＝∠BCB′＝α，
∴△AA′C∽△BB′C，
∴＝，
∴AA′≠BB′，
故C錯(cuò)誤；
D：∵∠CAA′＝∠CBB′＝（180°﹣α），
∴AA′與BB′的夾角為360°﹣（180°﹣α）×2﹣（90°+α）＝90°，
∴在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，始終存在AA′⊥BB′，
故D正確；
故選：C．
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．（2分）方程x2＝1的解是 ±1 ．
【解答】解：∵x2＝1
∴x＝±1．
10．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（1，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 （﹣1，3） ．
【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（1，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，3），
故答案為：（﹣1，3）．
11．（2分）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)圖象開(kāi)口向上，且與y軸交于點(diǎn)（0，2）的二次函數(shù)的解析式 y＝3x2+2（答案不唯一）． ．
【解答】解：∵開(kāi)口向上，
∴a＞0，
且與y軸的交點(diǎn)為（0，2）．
故答案為：y＝3x2+2（答案不唯一）．
12．（2分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)35°得到△DEC，邊ED，AC相交于點(diǎn)F，若∠A＝30°，則∠EFC＝ 65° ．
【解答】解：由題意得：△ABC≌△DEF，∠ACD＝∠BCE＝35°，
∴∠D＝∠A＝30°，
∴∠EFC＝∠AFD＝∠D+∠ACD＝65°，
故答案為：65°．
13．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝2（x﹣1）2+k經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，m），B（3，n）．則m ＜ n（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【解答】解：由題意，∵拋物線y＝2（x﹣1）2+k的對(duì)稱軸為直線x＝1，開(kāi)口向上，
∴A（2，m）和點(diǎn)B（3，n）都在對(duì)稱軸的右側(cè)，
當(dāng)x≥1時(shí)，y隨x的增大而增大．
∵2＜3，
∴m＜n．
故答案為：＜．
14．（2分）二次函數(shù)y＝x2﹣6x+c的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則c的值為 9 ．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2﹣6x+c的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4c＝0，
解得c＝9．
故答案為：9．
15．（2分）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小．以鋸鋸之、深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”用幾何語(yǔ)言表達(dá)為：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，EB＝1寸，CD＝10寸，則直徑AB長(zhǎng)為 26 寸．
【解答】解：∵弦CD⊥AB，AB為⊙O的直徑，
∴E為CD的中點(diǎn)，
又∵CD＝10寸，
∴CE＝DE＝CD＝5寸，
設(shè)OC＝OA＝x寸，
則AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，
由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，
即（x﹣1）2+52＝x2，
解得x＝13，
∴AB＝26寸，
故答案為：26．
16．（2分）我國(guó)三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了求一元二次方程正數(shù)解的幾何解法．例如求方程x2+2x﹣35＝0的正數(shù)解的步驟為：
（1）將方程變形為x（x+2）＝35；
（2）構(gòu)造如圖1所示的大正方形，其面積是（x+x+2）2，其中四個(gè)全等的矩形面積分別為x（x+2），中間的小正方形面積為22；
（3）大正方形的面積也可表示為四個(gè)矩形和一個(gè)小正方形的面積之和，即4×35+22＝144；
（4）由此可得方程：（x+x+2）2＝144，則方程的正數(shù)解為x＝5．
根據(jù)趙爽記載的方法，在圖2中的三個(gè)構(gòu)圖（矩形的頂點(diǎn)均落在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上）①②③中，能夠得到方程x2+3x﹣10＝0的正數(shù)解的構(gòu)圖是 ② （只填序號(hào)）．
【解答】解：方程x2+3x﹣10＝0可變形為x（x+3）＝10，
構(gòu)造的大正方形，其面積是（x+x+3）2，其中四個(gè)全等的矩形面積分別為x（x+3），中間的小正方形面積為32；
大正方形的面積也可表示為四個(gè)矩形和一個(gè)小正方形的面積之和，即4×10+32＝49；
由此可得方程：（x+x+3）2＝49，則方程的正數(shù)解為x＝2，
∴能夠得到方程x2+3x﹣10＝0的正數(shù)解的構(gòu)圖是②，
故答案為：②．
三、解答題（共68分，第17-19題，每題5分，第20題6分，第21-22題，每題5分，第23題6分，第24題5分，第25-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）
17．（5分）解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）
【解答】解：a＝1，b＝2，c＝﹣3，
△＝22﹣4×（﹣3）＝16＞0，
x＝＝，
所以x1＝1，x2＝﹣3．
18．（5分）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．
求證：A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心的同一個(gè)圓上．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴A、B、C、D四點(diǎn)在以O(shè)圓心的同一個(gè)圓上．
19．（5分）已知：關(guān)于x的方程x2+4x+2m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若m為正整數(shù)，求此時(shí)方程的根．
【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+2m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×2m＞0，
解得：m＜2，
∴m的取值范圍為m＜2；
（2）∵m為正整數(shù)，
∴m＝1，
∴原方程為x2+4x+2＝0，
即（x+2）2＝2，
解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣，
∴當(dāng)m為正整數(shù)時(shí)，此時(shí)方程的根為﹣2+和﹣2﹣．
20．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，4），B（1，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）畫(huà)出二次函數(shù)的圖象；
（3）當(dāng)y＞0時(shí)，直接寫(xiě)出x的取值范圍．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，4），B（1，0），
∴，
解得，
∴二次函數(shù)的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴此二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為（﹣1，4），
列表：
描點(diǎn)，連線得函數(shù)圖象如下：
（3）由圖象可知，當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍為：﹣3＜x＜1．
21．（5分）如圖，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2）．
（1）畫(huà)出△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△OA1B1；
（2）求點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B1的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．
【解答】解：（1）圖形如圖所示：
（2）∵B（4，2），
∴OB＝＝2，
點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B1的路徑長(zhǎng)＝＝π．
22．（5分）某學(xué)校要設(shè)計(jì)校園“數(shù)學(xué)嘉年華”活動(dòng)的項(xiàng)目介紹展板．如圖，現(xiàn)有一塊長(zhǎng)25dm，寬8dm的矩形展板，展示區(qū)域?yàn)槿鹊乃膫€(gè)矩形，其中相鄰的兩個(gè)矩形展示區(qū)域之間及四周都留有寬度相同的空白區(qū)域．如果四個(gè)矩形展示區(qū)域的面積之和為120dm2，求空白區(qū)域的寬度．
【解答】解：設(shè)空白區(qū)域的寬度為xdm，根據(jù)題意可得：
25×8﹣5x×8﹣2x×（25﹣5x）＝120，
解得x1＝8（舍去）或x2＝1，
即空白區(qū)域的寬度應(yīng)是1dm．
23．（6分）如圖，在等邊△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC，且AE＝DC，連接CE．
（1）求證：四邊形ADCE是矩形；
（2）連接BE交AD于點(diǎn)F，連接CF．若AB＝4，求CF的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：∵AE∥BC，且AE＝DC，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∵等邊△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四邊形ADCE是矩形；
（2）解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，
∴BC＝AC＝AB＝4，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，DB＝DC＝2，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD＝＝＝2，
∵AE＝DC，
∴AE＝DB，
由（1）可知，四邊形ADCE是矩形，
∴∠EAF＝90°，
在△BDF和△EAF中，
，
∴△BDF≌△EAF（AAS），
∴DF＝AF＝AD＝，
∴CF＝＝＝．
24．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象由函數(shù)y＝x的圖象平移得到，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2）．
（1）求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y＝mx（m≠0）的值大于一次函數(shù)y＝kx+b的值，直接寫(xiě)出m的取值范圍．
【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象由直線y＝x平移得到，
∴k＝1，
將點(diǎn)（1，2）代入y＝x+b，
得1+b＝2，解得b＝1，
∴一次函數(shù)的解析式為y＝x+1；
（2）把點(diǎn)（1，2）代入y＝mx，求得m＝2，
∵當(dāng)x＞1時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y＝mx（m≠0）的值大于一次函數(shù)y＝x+1的值，
∴m≥2．
25．（6分）如圖，一位足球運(yùn)動(dòng)員在一次訓(xùn)練中，從球門(mén)正前方8m的A處射門(mén)，已知球門(mén)高OB為2.44m，球射向球門(mén)的路線可以看作是拋物線的一部分．當(dāng)球飛行的水平距離為6m時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)球的豎直高度為3m．
現(xiàn)以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求拋物線表示的二次函數(shù)解析式；
（2）通過(guò)計(jì)算判斷球能否射進(jìn)球門(mén)（忽略其他因素）；
（3）若運(yùn)動(dòng)員射門(mén)路線的形狀、最大高度均保持不變，則他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng) 1 米射門(mén)，才能讓足球經(jīng)過(guò)點(diǎn)O正上方2.25m處．
【解答】解：（1）∵8﹣6＝2，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），
設(shè)拋物線為 y＝a（x﹣2）2+3，
把點(diǎn)A（8，0）代入得：36a+3＝0，
解得a＝﹣，
∴拋物線的函數(shù)解析式為：y＝﹣（x﹣2）2+3；
（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣×4+3＝＞2.44，
∴球不能射進(jìn)球門(mén)．
（3）設(shè)小明帶球向正后方移動(dòng)m米，則移動(dòng)后的拋物線為：y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，
把點(diǎn)（0，2.25）代入得：2.25＝﹣（0﹣2﹣m）2+3，
解得 m＝﹣5（舍去）或m＝1，
∴當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)1米射門(mén)，才能讓足球經(jīng)過(guò)點(diǎn)O正上方2.25m處．
故答案為：1．
26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M（2，m），N（4，n）在拋物線y＝ax2+bx（a＞0）上，設(shè)該拋物線的對(duì)稱軸為x＝t．
（1）若m＝n，求t的值；
（2）若mn＜0，求t的取值范圍．
【解答】解：（1）由題意，若m＝n，
∴對(duì)稱軸是直線x＝＝3＝t．
即t＝3．
（2）由題意，若mn＜0，
又拋物線開(kāi)口向上，
∴拋物線與x軸必有一交點(diǎn)在2和4之間．
又令y＝ax2+bx＝0，
∴x＝0或x＝﹣．
∴2＜﹣＜4．
又∵t＝﹣，
∴﹣＝2t．
∴2＜2t＜4．
∴1＜t＜2．
27．（7分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是線段AC延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DQ，連接PQ，BP，作直線BQ交AC于點(diǎn)E．
（1）依題意補(bǔ)全圖形；
（2）求證：∠PBQ＝∠PQB；
（3）用等式表示線段EP，EQ，EB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【解答】（1）解：如圖所示，即為補(bǔ)全的圖形；
（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠ACB＝∠ACD＝45°，
∴∠PCB＝∠PCD＝45°，
∵CP＝CP，
∴△PCB≌△PCD（SAS），
∴PB＝PD，
∴線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DQ，
∴DP＝DQ，∠PDQ＝60°，
∴△PDQ是等邊三角形，
∴PQ＝PD，
∴PQ＝PB，
∴∠PBQ＝∠PQB；
（3）解：EQ﹣EP＝EB，理由如下：
如圖，在EQ上截取QG＝BE，連接PG，
∵∠PBQ＝∠PQB，PB＝PQ，
∴△PBE≌△PQG（SAS），
∴PE＝PG，∠BPE＝∠QPG，
∴∠BPE＝∠DPE＝∠QPG，
∵∠QPD＝60°，
∴∠QPG+∠DPG＝60°，
∴∠DPE+∠DPG＝60°，
∴∠EPG＝60°，
∵PE＝PG，
∴△PEG是等邊三角形，
∴EG＝EP，
∴EQ﹣EG＝QG，
∴EQ﹣EP＝EB．
28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：將圖形M繞直線x＝3上某一點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到圖形M'，再將圖形M'關(guān)于直線x＝3對(duì)稱，得到圖形N．此時(shí)稱圖形N為圖形M關(guān)于點(diǎn)P的“二次變換圖形”．
已知點(diǎn)A（0，1）．
（1）若點(diǎn)P（3，0），直接寫(xiě)出點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的“二次變換圖形”的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的“二次變換圖形”與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P（3，﹣3），⊙O半徑為1．已知長(zhǎng)度為1的線段AB，其關(guān)于點(diǎn)P的“二次變換圖形”上的任意一點(diǎn)都在⊙O上或⊙O內(nèi)，直接寫(xiě)出點(diǎn)B的縱坐標(biāo)yB的取值范圍．
【解答】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)A′作A′D⊥x軸于點(diǎn)D，
∴∠A′DP＝∠AOP＝90°，
由旋轉(zhuǎn)可知，∠APA′＝90°，AP＝A′P，
∴∠APO+∠A′PD＝∠A′PD+∠PA′D＝90°，
∴∠APO＝∠PA′D，
∴△AOP≌△PDA′（AAS），
∴OA＝PD＝1，OP＝A′D＝3，
∴A′（4，3），
∴點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的“二次變換圖形”的坐標(biāo)A′′（2，3）；
（2）分析可知點(diǎn)P在x軸的下方，如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A′作A′F⊥x軸交EP于點(diǎn)F，
設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m，
同（1）知△AEP≌△PFA′（AAS），
∴AE＝PF＝1﹣m，EP＝A′F＝3，
∴A′（4﹣m，3+m），
由題意可知，點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于直線x＝3對(duì)稱，
∴4﹣m＝6，3+m＝1，
解得m＝﹣2，
∴P（3，﹣2）；
（3）同（2）知A′（4﹣m，3+m），
∴A′′（m+2，3+m），
若點(diǎn)A′′在⊙O上，則（m+2）2+（3+m）2＝1，
解得m＝﹣2（舍）或m＝﹣3；
∴P（3，﹣3），
如圖3，
∵線段AB＝1，
∴點(diǎn)B在以點(diǎn)A為圓心，1為半徑的圓上，
若AB其關(guān)于點(diǎn)P的“二次變換圖形”上的任意一點(diǎn)都在⊙O及其內(nèi)部，如圖3，可知點(diǎn)B′′是一個(gè)臨界點(diǎn)，
連接OB''，
∵OA′′＝A′′B′′＝OB′′＝1，
∴△OA′′B′′是等邊三角形，
過(guò)點(diǎn)B′′作B′′M⊥x軸于點(diǎn)M，則A′′M＝OM＝，B′′M＝，
∴B′′（﹣，﹣），
∴B′（，﹣），
∴B（，），
由對(duì)稱性可知，另外一點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，），
∴yB的取值范圍為：0≤yB≤．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
4
0
﹣2
﹣2
0
4
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
4
0
﹣2
﹣2
0
4
…
x
..．
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
..．
y
..．
0
3
4
3
0
..．

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