?2020-2021學年北京市豐臺區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷
一、選擇題（本題共24分，每小題3分）下面各題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．
1．（3分）函數(shù)的最小值是　　
A．1 B． C．2 D．
2．（3分）下面是利用圖形變化的知識設計的一些美麗的圖案，其中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是　　
A． B．
C． D．
3．（3分）若一個扇形的圓心角為，半徑為6，則該扇形的面積為　　
A． B． C． D．
4．（3分）點，，是反比例函數(shù)圖象上的三個點，則，，的大小關系是　　
A． B． C． D．
5．（3分）直徑為10分米的圓柱形排水管，截面如圖所示．若管內有積水（陰影部分），水面寬為8分米，則積水的最大深度為　　

A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米
6．（3分）二次函數(shù)的圖象是拋物線，自變量與函數(shù)的部分對應值如下表：







0



4
0


0
4

下列說法正確的是　　
A．拋物線的開口向下
B．拋物線的對稱軸是直線
C．拋物線與軸的交點坐標為
D．當時，隨的增大而增大
7．（3分）如圖，點為線段的中點，點，，到點的距離相等，連接，．則下面結論不一定成立的是　　

A． B．
C．平分 D．
8．（3分）函數(shù)的圖象如圖所示，若點，，，是該函數(shù)圖象上的任意兩點，下列結論中錯誤的是　　

A．， B．，
C．若，則 D．若，則
二、填空題（本題共24分，每小題3分）
9．（3分）將拋物線向下平移2個單位長度，平移后拋物線的解析式為　　．
10．（3分）如圖，在平行四邊形中，點在邊上，，交于點，若，則　?。?br />
11．（3分）林業(yè)部門要考察某種幼樹在一定條件下的移植成活率，下表是這種幼樹在移植過程中的一組數(shù)據(jù)：
移植的棵數(shù)
1000
1500
2500
4000
8000
15000
20000
30000
成活的棵數(shù)
865
1356
2220
3500
7056
13170
17580
26430
成活的頻率
0.865
0.904
0.888
0.875
0.882
0.878
0.879
0.881
估計該種幼樹在此條件下移植成活的概率為 　?。?br /> 12．（3分）拋物線與軸有且只有1個公共點，則　?。?br /> 13．（3分）如圖，是的外接圓，是的中點，連接，，與交于點，請寫出圖中所有與相似的三角形　?。?br />
14．（3分）如圖，為了測量操場上一棵大樹的高度，小英拿來一面鏡子，平放在離樹根部的地面上，然后她沿著樹根和鏡子所在的直線后退，當她后退時，正好在鏡中看見樹的頂端．小英估計自己的眼睛到地面的距離為，則大樹的高度是　?。?br />
15．（3分）如圖，是的內接三角形，于點．
下面是借助直尺，畫出中的平分線的步驟：
①延長交于點；
②連接交于點．
所以．
即線段為所求中的平分線．
請回答，得到的依據(jù)是　?。?br />
16．（3分）2020年3月14日是全球首個國際圓周率日．歷史上求圓周率的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學中的“割圓術”相似．數(shù)學家阿爾卡西的計算方法是：當正整數(shù)充分大時，計算某個圓的內接正邊形的周長和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長，再將它們的平均數(shù)作為的近似值．
當時，如圖是及它的內接正六邊形和外切正六邊形．
（1）若的半徑為1，則的內接正六邊形的邊長是 　??；
（2）按照阿爾卡西的方法，計算時的近似值是 　?。ńY果保留兩位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：

三、解答題（本題共52分，17-21題每小題5分，22題每小題5分，23-25題每小題5分）
17．（5分）已知二次函數(shù)．
（1）求二次函數(shù)圖象的頂點坐標；
（2）在平面直角坐標系中，畫出二次函數(shù)的圖象；
（3）當時，結合函數(shù)圖象，直接寫出的取值范圍．

18．（5分）如圖，在中，點，分別在邊，上，連接，且．
（1）求證：；
（2）若，，求的度數(shù)．

19．（5分）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別是，，．
（1）畫出△，使△與關于點中心對稱；
（2）以點為位似中心，將放大為原來的2倍，得到△，畫出一個滿足條件的△．

20．（5分）如圖，在平面直角坐標系中，，．點是矩形對角線的交點．已知反比例函數(shù)在第一象限的圖象經過點，交于點，交于點．
（1）求點的坐標和的值；（2）反比例函數(shù)圖象在點到點之間的部分（包含，兩點）記為圖形，求圖形上點的橫坐標的取值范圍．

21．（5分）如圖，與相切于點，經過上的點，交于點，，是的直徑．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求的長．

22．（6分）在倡議“綠色環(huán)保，公交出行”的活動中，學生小志對公交車的計價方式進行了研究．他發(fā)現(xiàn)北京公交集團的公交車站牌中都寫有：“10公里以內（含票價2元，每增加5公里以內（含加價1元”，如圖．

小志查閱了相關資料，了解到北京公交車的票價按照乘客乘坐公交車的里程（公里）數(shù)計算，乘客可以按照如下方法計算票價：
①站牌中每一站上面標注的數(shù)字表示該站的站位號，乘客可以通過計算上、下車站的站位號的差，得到乘車的大致里程數(shù)，然后按照下面具體標準得出票價：若里程數(shù)在0至10之間（含0和10，下同），則票價為2元；若里程數(shù)在11至15之間，則票價為3元；若里程數(shù)在16至20之間，則票價為4元，以此類推．
②為了鼓勵市民綠色出行，北京公交集團制定了票價優(yōu)惠政策：使用市政公交一卡通刷卡，普通卡打5折，學生卡打2.5折．
請根據(jù)上述信息，回答下列問題：
（1）學生甲想去抗戰(zhàn)雕塑園參觀，他乘坐339路公交車從云崗站上車，到抗戰(zhàn)雕塑園站下車，那么原票價應為　　元，他使用學生卡實際支付　　元；
（2）學生乙使用學生卡乘339路公交車去北京西站，若下車刷卡時實際支付了1元，則他在佃起村上車的概率為　　．
23．（7分）在平面直角坐標系中，拋物線過點．
（1）用含的代數(shù)式表示；
（2）已知點，將點繞原點順時針旋轉得到點，再將點向右平移2個單位長度得到點，求點的坐標（用含的代數(shù)式表示）；
（3）在（2）的條件下，若線段與拋物線有公共點，求的取值范圍．
24．（7分）已知正方形，點是延長線上一點，位置如圖所示，連接，過點作于點，連接．
（1）求證：；
（2）作點關于直線的對稱點，連接，．
①依據(jù)題意補全圖形；
②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關系，并證明．

25．（7分）對于平面直角坐標系中的點和圖形，給出如下定義：若在圖形上存在點，使得，為正數(shù)，則稱點為圖形的倍等距點．
已知點，．
（1）在點，，中，線段的2倍等距點是　　；
（2）畫出線段的所有2倍等距點形成的圖形（用陰影表示），并求該圖形的面積；
（3）已知直線與軸，軸的交點分別為點，，若線段上存在線段的2倍等距點，直接寫出的取值范圍．


2020-2021學年北京市豐臺區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共24分，每小題3分）下面各題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．
1．（3分）函數(shù)的最小值是　　
A．1 B． C．2 D．
【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)的性質，當時，二次函數(shù)的最小值是．
故選：．
2．（3分）下面是利用圖形變化的知識設計的一些美麗的圖案，其中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：、既是軸對稱圖形又是對稱圖形，故此選項符合題意；
、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意．
故選：．
3．（3分）若一個扇形的圓心角為，半徑為6，則該扇形的面積為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
故選：．
4．（3分）點，，是反比例函數(shù)圖象上的三個點，則，，的大小關系是　　
A． B． C． D．
【解答】解：中，，
反比例函數(shù)圖象在一、三象限，并且在每一象限內隨的增大而減小，
，
點在第三象限，
，
，
、兩點在第一象限，
，
．
故選：．
5．（3分）直徑為10分米的圓柱形排水管，截面如圖所示．若管內有積水（陰影部分），水面寬為8分米，則積水的最大深度為　　

A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米
【解答】解：連接，如圖所示：
的直徑為10分米，
分米，
由題意得：，分米，
分米，
（分米），
水的最大深度（分米），
故選：．

6．（3分）二次函數(shù)的圖象是拋物線，自變量與函數(shù)的部分對應值如下表：







0



4
0


0
4

下列說法正確的是　　
A．拋物線的開口向下
B．拋物線的對稱軸是直線
C．拋物線與軸的交點坐標為
D．當時，隨的增大而增大
【解答】解：由表格可知，
該函數(shù)的對稱軸是直線，故選項錯誤，
該拋物線開口向上，在時，取得最小值，故選項錯誤，
當時，隨的增大而最大，故選項錯誤，
當時，，則拋物線與軸的交點坐標為，故選項正確；
故選：．
7．（3分）如圖，點為線段的中點，點，，到點的距離相等，連接，．則下面結論不一定成立的是　　

A． B．
C．平分 D．
【解答】解：點為線段的中點，點，，到點的距離相等，
點、、、在上，如圖，
為直徑，
，所以選項的結論正確；
和都對，
，所以選項的結論正確；
只有當時，，所以選項的結論不正確；
四邊形為的內接四邊形，
，所以選項的結論正確．
故選：．

8．（3分）函數(shù)的圖象如圖所示，若點，，，是該函數(shù)圖象上的任意兩點，下列結論中錯誤的是　　

A．， B．，
C．若，則 D．若，則
【解答】解：由圖象可知，，，故選項正確；
，
，，故選項正確；
函數(shù)的圖象關于軸對稱，
，則，故選項正確；
根據(jù)函數(shù)的增減性，當時，若，則，當時，若，則，故選項錯誤，
故選：．
二、填空題（本題共24分，每小題3分）
9．（3分）將拋物線向下平移2個單位長度，平移后拋物線的解析式為　?。?br /> 【解答】解：將拋物線向下平移2個單位長度，平移后拋物線的解析式為，
故答案為：．
10．（3分）如圖，在平行四邊形中，點在邊上，，交于點，若，則　?。?br />
【解答】解：四邊形是平行四邊形，
且，
，
，
，
，
因為相似三角形的面積比等于相似比的平方，
所以，
故答案為：，
11．（3分）林業(yè)部門要考察某種幼樹在一定條件下的移植成活率，下表是這種幼樹在移植過程中的一組數(shù)據(jù)：
移植的棵數(shù)
1000
1500
2500
4000
8000
15000
20000
30000
成活的棵數(shù)
865
1356
2220
3500
7056
13170
17580
26430
成活的頻率
0.865
0.904
0.888
0.875
0.882
0.878
0.879
0.881
估計該種幼樹在此條件下移植成活的概率為 　0.881?。?br /> 【解答】解：概率是大量重復實驗的情況下，頻率的穩(wěn)定值可以作為概率的估計值，即次數(shù)越多的頻率越接近于概率
這種幼樹移植成活率的概率約為0.881．
故答案為：0.881．
12．（3分）拋物線與軸有且只有1個公共點，則　?。?br /> 【解答】解：令，則當拋物線的圖象與軸只有一個公共點時，關于的一元二次方程的根的判別式△，即，
解得．
故答案是：．
13．（3分）如圖，是的外接圓，是的中點，連接，，與交于點，請寫出圖中所有與相似的三角形　，?。?br />
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，，
，
故答案為：，．
14．（3分）如圖，為了測量操場上一棵大樹的高度，小英拿來一面鏡子，平放在離樹根部的地面上，然后她沿著樹根和鏡子所在的直線后退，當她后退時，正好在鏡中看見樹的頂端．小英估計自己的眼睛到地面的距離為，則大樹的高度是　8　．

【解答】解：，，
，
，
即，
，
故答案為：8．

15．（3分）如圖，是的內接三角形，于點．
下面是借助直尺，畫出中的平分線的步驟：
①延長交于點；
②連接交于點．
所以．
即線段為所求中的平分線．
請回答，得到的依據(jù)是　在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等　．

【解答】解：如圖，為所求中的平分線，

故答案為：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等．
16．（3分）2020年3月14日是全球首個國際圓周率日．歷史上求圓周率的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學中的“割圓術”相似．數(shù)學家阿爾卡西的計算方法是：當正整數(shù)充分大時，計算某個圓的內接正邊形的周長和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長，再將它們的平均數(shù)作為的近似值．
當時，如圖是及它的內接正六邊形和外切正六邊形．
（1）若的半徑為1，則的內接正六邊形的邊長是 　1??；
（2）按照阿爾卡西的方法，計算時的近似值是 　?。ńY果保留兩位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：

【解答】解：（1）的半徑為1，則的內接正六邊形的邊長是1，
故答案為：1．

（2）圓的外切正六邊形的邊長，
圓的外切正六邊形的周長，
圓的內接正六邊形的周長，
，
．
故答案為：3.23．
三、解答題（本題共52分，17-21題每小題5分，22題每小題5分，23-25題每小題5分）
17．（5分）已知二次函數(shù)．
（1）求二次函數(shù)圖象的頂點坐標；
（2）在平面直角坐標系中，畫出二次函數(shù)的圖象；
（3）當時，結合函數(shù)圖象，直接寫出的取值范圍．

【解答】解：（1），
該二次函數(shù)圖象頂點坐標為；
（2）當時，，解得，，
拋物線與軸的交點坐標為，；
當時，，則拋物線與軸的交點坐標為，
如圖：
；
（3）由圖象可知，當時，．
18．（5分）如圖，在中，點，分別在邊，上，連接，且．
（1）求證：；
（2）若，，求的度數(shù)．

【解答】（1）證明：
，
．
又，
．
（2）解：由（1）知，，
．
，
．
又，
．
19．（5分）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別是，，．
（1）畫出△，使△與關于點中心對稱；
（2）以點為位似中心，將放大為原來的2倍，得到△，畫出一個滿足條件的△．

【解答】解：（1）如圖，△為所作；
（2）如圖，△為所作．

20．（5分）如圖，在平面直角坐標系中，，．點是矩形對角線的交點．已知反比例函數(shù)在第一象限的圖象經過點，交于點，交于點．
（1）求點的坐標和的值；（2）反比例函數(shù)圖象在點到點之間的部分（包含，兩點）記為圖形，求圖形上點的橫坐標的取值范圍．

【解答】解：（1）點是矩形的對角線交點，
點是矩形的對角線的中點，
又，，
點的坐標為．
反比例函數(shù)的圖象經過點，
，
解得：．
（2）由題意可得：點的縱坐標為2，點的橫坐標為4．
點在反比例函數(shù)的圖象上，
點的坐標為，
．
21．（5分）如圖，與相切于點，經過上的點，交于點，，是的直徑．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求的長．

【解答】（1）證明：連接．

，
，
，
，，
．
在和中，
，
，
．
與相切于點，
，
又是的半徑，
是的切線．
（2）解：，
．
在中，，，
，
，
．
與和都相切，
．
在中，，
即：，
解得：．
22．（6分）在倡議“綠色環(huán)保，公交出行”的活動中，學生小志對公交車的計價方式進行了研究．他發(fā)現(xiàn)北京公交集團的公交車站牌中都寫有：“10公里以內（含票價2元，每增加5公里以內（含加價1元”，如圖．

小志查閱了相關資料，了解到北京公交車的票價按照乘客乘坐公交車的里程（公里）數(shù)計算，乘客可以按照如下方法計算票價：
①站牌中每一站上面標注的數(shù)字表示該站的站位號，乘客可以通過計算上、下車站的站位號的差，得到乘車的大致里程數(shù)，然后按照下面具體標準得出票價：若里程數(shù)在0至10之間（含0和10，下同），則票價為2元；若里程數(shù)在11至15之間，則票價為3元；若里程數(shù)在16至20之間，則票價為4元，以此類推．
②為了鼓勵市民綠色出行，北京公交集團制定了票價優(yōu)惠政策：使用市政公交一卡通刷卡，普通卡打5折，學生卡打2.5折．
請根據(jù)上述信息，回答下列問題：
（1）學生甲想去抗戰(zhàn)雕塑園參觀，他乘坐339路公交車從云崗站上車，到抗戰(zhàn)雕塑園站下車，那么原票價應為　3　元，他使用學生卡實際支付　　元；
（2）學生乙使用學生卡乘339路公交車去北京西站，若下車刷卡時實際支付了1元，則他在佃起村上車的概率為　　．
【解答】解：（1）乘坐339路公交車從云崗站上車，到抗戰(zhàn)雕塑園站下車，里程數(shù)為，
則原票價應為3元，
他使用學生卡實際支付（元，
故答案為：3、0.75；
（2）下車刷卡時實際支付了1元，
學生乙原票價為（元，
學生乙乘坐的里程數(shù)再16至20之間，
由圖知，學生乙上車地點可能是云崗北區(qū)、佃起村、張家墳、朱家墳、趙辛店、北京十中這6個，
他在佃起村上車的概率為，
故答案為：．
23．（7分）在平面直角坐標系中，拋物線過點．
（1）用含的代數(shù)式表示；
（2）已知點，將點繞原點順時針旋轉得到點，再將點向右平移2個單位長度得到點，求點的坐標（用含的代數(shù)式表示）；
（3）在（2）的條件下，若線段與拋物線有公共點，求的取值范圍．
【解答】解：（1）拋物線過點，
，
．
（2）點繞原點順時針旋轉得到點，
點的坐標為，
點向右平移2個單位長度得到點，
點的坐標為．
（3）當時，
拋物線開口向上，與軸交于兩點，．
若線段與拋物線有公共點（如答圖，只需滿足：，解得：；

當時，
拋物線開口向下，與軸交于兩點，，
若線段與拋物線有公共點（如答圖，只需滿足：，解得：；


綜上所述，的取值范圍為或．
24．（7分）已知正方形，點是延長線上一點，位置如圖所示，連接，過點作于點，連接．
（1）求證：；
（2）作點關于直線的對稱點，連接，．
①依據(jù)題意補全圖形；
②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關系，并證明．

【解答】（1）證明：，
，
四邊形是正方形，
，
，
，
又，，，
．
（2）①如圖：圖形即為所求作．



②解：結論：．
理由：在上截取點，使得，連接．

四邊形是正方形，
．
在和中，

，
，，
，
是等腰直角三角形，
．
點關于直線的對稱點是點，
，
，，
，
，
，
．
，，
，
四邊形為平行四邊形，
，
．
25．（7分）對于平面直角坐標系中的點和圖形，給出如下定義：若在圖形上存在點，使得，為正數(shù)，則稱點為圖形的倍等距點．
已知點，．
（1）在點，，中，線段的2倍等距點是　，　；
（2）畫出線段的所有2倍等距點形成的圖形（用陰影表示），并求該圖形的面積；
（3）已知直線與軸，軸的交點分別為點，，若線段上存在線段的2倍等距點，直接寫出的取值范圍．

【解答】解：（1）由題意可知，點與點重合時最大為，當點在軸上是最小為2，即，
由，得，如圖1．
點，，中只有、符合要求，故選、．

（2）如圖2，線段的所有2倍等距點構成的圖形為以點為圓心，分別以1和為半徑的同心圓形成的環(huán)形．
．

（3）直線由直線平移得到，與坐標軸成角．
如圖3，當時，直線過點時，的值最小，由得，；當直線過
點時，，．
當時，直線過點時，；直線過點時，的值最大，由得，．
綜上所述，或．

聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布
日期：2021/12/6 11:48:14；用戶：初中數(shù)學1；郵箱：jse032@xyh.com；學號：39024122

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