1．如圖1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，AC，BD相交于點O．
(1)求邊AB的長；
(2)求∠BAC的度數(shù)；
(3)如圖2，將一個足夠大的直角三角板60°角的頂點放在菱形ABCD的頂點A處，繞點A左右旋轉，其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點E，F(xiàn)，連接EF．判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由．
2．在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AD，AB上（均不與頂點重合），且∠BCD＝120°，∠ECF＝60°．
（1）如圖1，若AB＝AD，求證：；
（2）如圖2，若AB＝2AD，過點C作CM⊥AB于點M，求證：①AC⊥BC；②AE＝2FM；
（3）如圖3，若AB＝3AD，試探究線段CE與線段CF的數(shù)量關系．
3．在等腰中，CA＝CB，點D，E在射線AB上，不與A，B重合（D在E的左邊），且∠DCE＝∠ACB．
（1）如圖1，若∠ACB＝90°，將沿CD翻折，點A與M重合，求證：；
（2）如圖2，若∠ACB＝120°，且以AD、DE、EB為邊的三角形是直角三角形，求的值；
（3）∠ACB＝120°，點D在射線AB上運動，AC＝3，則AD的取值范圍為 ．
4．思維探索：
在正方形ABCD中，AB＝4，∠EAF的兩邊分別交射線CB，DC于點E，F(xiàn)，∠EAF＝45°．
（1）如圖1，當點E，F(xiàn)分別在線段BC，CD上時，△CEF的周長是 ；
（2）如圖2，當點E，F(xiàn)分別在CB，DC的延長線上，CF＝2時，求△CEF的周長；
拓展提升：
如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，過點B作BD⊥BC，連接AD，在BC的延長線上取一點E，使∠EDA＝30°，連接AE，當BD＝2，∠EAD＝45°時，請直接寫出線段CE的長度．
5．（1）如圖，在正方形 ABCD 中，∠FAG=45°，請直接寫出 DG，BF 與FG 的數(shù)量關系，不需要證明．
（2）如圖，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，E，F(xiàn) 分別是 BC 上兩點，∠EAF=45°，
①寫出 BE，CF，EF 之間的數(shù)量關系，并證明．
②若將（2）中的△AEF 繞點 A 旋轉至如圖所示的位置，上述結論是否仍然成立？ 若不成立，直接寫出新的結論 ，無需證明．
（3）如圖，△AEF 中∠EAF=45°，AG⊥EF 于 G，且GF=2，GE=3，則 = ．
6．（1）問題背景：
如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC，CD上的點且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關系．
小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G．使DG＝BE．連結AG，先證明，再證明，可得出結論，他的結論應是 ；
（2）探索延伸：
如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，上述結論 仍然成立（填“是”或“否”）；
（3）結論應用：
如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以45海里/小時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏東50°的方向以60海里/小時的速度前進，2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩地分別到達E、F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．
（4）能力提高：
如圖4，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點M，N在邊BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，則MN的長為 ．
評卷人
得分
一、解答題
參考答案：
1．（1）2；（2） ；（3）見詳解
【分析】（1）由菱形的性質得出OA=1，OB=，根據(jù)勾股定理可得出答案；
（2）得出△ABC是等邊三角形即可；
（3）由△ABC和△ACD是等邊三角形，利用ASA可證得△ABE≌△ACF；可得AE=AF，根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形推出即可．
【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴△AOB為直角三角形，且．
∴；
（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
由（1）得：AB=AC=BC=2，
∴△ABC為等邊三角形，
∠BAC=60°；
（3）△AEF是等邊三角形，
∵由（1）知，菱形ABCD的邊長是2，AC=2，
∴△ABC和△ACD是等邊三角形，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，
∵∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等邊三角形．
【點睛】本題考查了菱形的性質，全等三角形的性質和判定，等邊三角形的性質以及圖形的旋轉．解題的關鍵是熟練掌握菱形的性質．
2．（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②證明見解析；（3），證明見解析．
【分析】（1）先根據(jù)菱形的判定與性質可得，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質可得，然后根據(jù)角的和差可得，最后根據(jù)三角形全等的判定定理即可得證；
（2）①先根據(jù)平行四邊形的性質可得，，從而可得，再根據(jù)直角三角形的性質即可得證；
②先根據(jù)平行線的性質、直角三角形的性質可得，，再根據(jù)角的和差可得，從而可得，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質可得，由此即可得證；
（3）如圖（見解析），先根據(jù)平行四邊形的性質可得，，，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質可得，，從而可得，然后根據(jù)角的和差可得，最后根據(jù)相似三角形的判定與性質可得，由此即可得出答案．
【詳解】（1）四邊形ABCD是平行四邊形，，
四邊形ABCD是菱形，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
又，即，
，
在和中，，
；
（2）①四邊形ABCD是平行四邊形，，
，，，
，
，
，即，
在中，，
是直角三角形，且，
即；
②，
，
在中，，即，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
即；
（3），證明如下：
如圖，在AB上取一點G，使得，連接CG，
四邊形ABCD是平行四邊形，，
，，，
是等邊三角形，
，，
，
，即，
，
，
，即，
點G一定在點F的左側，
，
，
在和中，，
，
，
即．
【點睛】本題考查了三角形全等的判定定理、菱形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質等知識點，較難的是題（3），通過作輔助線，構造相似三角形是解題關鍵．
3．（1）證明見解析；（2）或2；（3）．
【分析】（1）先根據(jù)翻折的性質可得，從而可得，再根據(jù)角的和差可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理即可得證；
（2）如圖（見解析），先根據(jù)等腰三角形的性質可得，再根據(jù)翻折的性質可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質可得，從而可得，最后根據(jù)直角三角形的定義分和兩種情況，分別利用余弦三角函數(shù)即可得；
（3）先判斷出AD取得最大值時點D的位置，再利用余弦三角函數(shù)求解即可得．
【詳解】（1）由翻折的性質得：，
，
，
，
，，
，
在和中，，
；
（2）如圖，將沿CD翻折，點A與F重合，連接EF，
，
，
由翻折的性質得：，
同（1）的方法可證：，
，
，
以AD、DE、EB為邊的三角形是直角三角形，
以DF、DE、EF為邊的三角形是直角三角形，即是直角三角形，
因此分以下兩種情況：
①當時，
在中，，
則，
②當時，
在中，，
則，
即，
綜上，的值為或2；
（3），
，
如圖，當點D在射線AB上運動至的位置時，
在中，，即，
解得，
，
，
，
，
，
，
要使點E在射線AB上，且點D在E的左邊，則，
即AD的取值范圍為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了翻折的性質、三角形全等的判定定理與性質、等腰三角形的性質、余弦三角函數(shù)等知識點，較難的是題（3），正確判斷出AD取得最大值時點D的位置是解題關鍵．
4．思維探索：（1）8；（2）12；拓展提升：CE＝﹣1．
【分析】思維探索：（1）利用旋轉的性質，證明△AGE≌△AFE即可；
（2）把△ABE繞點A逆時針旋轉90°到AD，交CD于點G，證明△AEF≌△AGF即可求得EF＝DF﹣BE；
拓展提升：如圖3，過A作AG⊥BD交BD的延長線于G，推出四邊形ACBG是矩形，得到矩形ACBG是正方形，根據(jù)正方形的性質得到AC＝AG，∠CAG＝90°，在BG上截取GF＝CE，根據(jù)全等三角形的性質得到AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，∠ADF＝∠ADE＝30°，解直角三角形得到DE＝DF＝4，BE＝2，設CE＝x，則GF＝CE＝x，BC＝BG＝2﹣x，根據(jù)線段的和差即可得到結論．
【詳解】思維探索：
（1）如圖1，將△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，
∴GB＝DF，AF＝AG，∠BAG＝∠DAF，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，
在△AGE和△AFE中
∴△AGE≌△AFE（SAS），
∴GE＝EF，
∵GE＝GB+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF，
∴△CEF的周長＝CE+CF+EF＝CE+BE+DF+CF＝BC+CD＝8，
故答案為：8；
（2）如，2，把△ABE繞點A逆時針旋轉90°到AD，交CD于點G，
同（1）可證得△AEF≌△AGF，
∴EF＝GF，且DG＝BE，
∴EF＝DF﹣DG＝DF﹣BE，
∴△CEF的周長＝CE+CF+EF＝CE+CF+DF﹣BE＝BC+DF+CF＝4+4+2+2＝12；
拓展提升：如圖3，過A作AG⊥BD交BD的延長線于G，
∵BD⊥BC，∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CBG＝∠G＝90°，
∴四邊形ACBG是矩形，
∵AC＝BC，
∴矩形ACBG是正方形，
∴AC＝AG，∠CAG＝90°，
在BG上截取GF＝CE，
∴△AEC≌△AGF（SAS），
∴AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，
∵∠EAD＝∠BAC＝∠GAB＝45°，
∴∠DAF＝∠DAE＝45°，
∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADF（SAS），
∴∠ADF＝∠ADE＝30°，
∴∠BDE＝60°，
∵∠DBE＝90°，BD＝2，
∴DE＝DF＝4，BE＝2，
設CE＝x，則GF＝CE＝x，BC＝BG＝2﹣x，
∴DG＝2+2﹣x，
∴DG﹣FG＝DF，
即2+2﹣x﹣x＝4，
∴x＝﹣1，
∴CE＝﹣1．
【點睛】本題以正方形為背景，結合旋轉，三角形全等，解直角三角形進行綜合性考查，熟知常見的全等模型，旋轉性質，三角形的判定及性質，正方形，矩形的性質是解題的關鍵．
5．（1）FG=BF+DG；（2）①EF2=BE2+FC2，理由見解析；②仍然成立；（3）15
【分析】（1）把△AGD繞點A逆時針旋轉90°至△ABP，可使AD與AB重合，再證明△AFG≌△AFP進而得到PF=FG，即可得FG=BF+DG；
（2）①根據(jù)△AFC繞點A順時針旋轉90°得到△AGB，根據(jù)旋轉的性質，可知△ACF≌△ABG得到BG=FC，AG=AF，∠C=∠ABG，∠FAC=∠GAB，根據(jù)Rt△ABC中的AB=AC得到∠GBE=90°，所以GB2+BE2=GE2，證△AGE≌△AFE，利用EF=EG得到EF2=BE2+FC2；
②將△ABE繞點A逆時針旋轉使得AB與AD重合，點E的對應點是G，同上的方法證得GC2+CF2=FG2，再設法利用SAS證得△AFG≌△AFE即可求解；
（3）將△AEG沿AE對折成△AEB，將△AFG沿AF對折成△AFD，延長BE、DF相交于C，構成正方形ABCD，在Rt△EFC中，利用勾股定理求得正方形的邊長，即可求得AG的長，從而求得答案．
【詳解】（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠ADC=∠ABC=90°，
∴把△AGD繞點A逆時針旋轉90°至△ABP，使AD與AB重合，
∴∠BAP=∠DAG，AP= AG，
∵∠BAD=90°，∠FAG=45°，
∴∠BAF+∠DAG=45°，
∴∠PAF=∠FAG=45°，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠FBP=180°，點F、B、P共線，
在△AFG和△AFP中，
，
∴△AFG≌△AFP（SAS），
∴PF=FG，
即：FG=BF+DG；
（2）①FC2+BE2=EF2，證明如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠C=∠ABC=45°，
將△AFC繞點A順時針旋轉90°得到△AGB，
∴△ACF≌△ABG，
∴BG=FC，AG=AF，∠C=∠ABG=45°，∠FAC=∠GAB，
∴∠GBE=∠ABG +∠ABC =90°，
∴GB2+BE2=GE2，
又∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠FAC=45°，
∴∠GAB+∠BAE=45°，
即∠GAE=45°，
在△AGE和△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SAS），
∴GE=EF，
∴FC2+BE2=EF2；
②仍然成立，理由如下：
如圖，將△ABE繞點A逆時針旋轉使得AB與AD重合，點E的對應點為點G，
∴△ACG≌△ABE，
∴CG=BE，AG=AE，∠ACG=∠ABE=45°，∠BAE=∠CAG，
∴∠GCB=∠ACB +∠ACG =90°，即∠GCF=90°，
∴GC2+CF2=FG2，
∵∠BAE+∠EAC=∠BAC=90°，
∴∠CAG+∠EAC=90°，
又∵∠EAF=45°，
∴∠GAF=90°-∠EAF=45°，
∴∠GAF=∠EAF=45°，
在△AFG和△AFE中，
，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴GF=EF，
∴FC2+BE2=EF2；
（3）將△AEG沿AE對折成△AEB，將△AFG沿AF對折成△AFD，延長BE、DF相交于C，
∴△AEG△AEB，△AFG△AFD，
∴AB=AG=AD，BE=EG=3，DF=FG=2，∠EAG=∠EAB，∠FAG=∠FAD，∠B=∠D=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAB+∠FAD=∠EAG+∠FAG=∠EAF=45°，
∴∠BAD=90°，
∴四邊形ABCD為正方形，
設AG =，則AB=BC=CD=，
在Rt△EFC中，EF=3+2=5，EC=BC-BE=，F(xiàn)C=CD-DF=，
∴，
故，
解得：（舍去），，
∴AG=6，
∴．
故答案為：15．
【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，折疊的性質，正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，三角形的面積等知識，同時考查了學生的閱讀理解能力與知識的遷移能力，綜合性較強，難度適中．
6．（1）；（2）是；（3）210海里；（4）
【分析】（1）先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質可得，再根據(jù)角的和差可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質可得，最后根據(jù)線段的和差、等量代換即可得；
（2）如圖（見解析），先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質可得，再根據(jù)角的和差可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質可得，最后根據(jù)線段的和差、等量代換即可得；
（3）先根據(jù)方位角的定義、角的和差分別求出，從而可得，再根據(jù)航行速度與時間分別求出海里，海里，然后利用題（2）的結論即可得；
（4）過點C作CE⊥BC,垂足為點C，截取CE,使CE=BM.連接AE、EN,根據(jù)（2）中的結論計算即可.
【詳解】（1）在和中，
，
即
在和中，
故答案為：；
（2）是，證明如下：
如圖，延長CD至點M，使得
，
在和中，
，即
在和中，
故答案為：是；
（3）如圖，延長AE、BF，相交于點C，連接EF，過點B作軸于點N
由題意得：
，
艦艇甲從A處向正東方向以45海里/小時的速度航行2小時至E處
軸，（海里）
艦艇乙從B處沿北偏東的方向以60海里/小時的速度航行2小時至F處
，（海里）
則由（2）的結論可得：（海里）
故此時兩艦艇之間的距離為210海里；
（4）過點C作CE⊥BC,垂足為點C,截取CE，使CE=BM.連接AE、EN,
由（2）可知，CE=BM=1, NE=MN,
NE= .
∴ ,
故答案為:
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質、勾股定理的運用、等腰直角三角形的性質，題目的綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是正確的作出輔助線構造全等三角形，解答時，注意類比思想的應用．

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