第I卷 選擇題（60分）
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知全集，集合滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)補(bǔ)集定義求出集合，再判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，且?br>所以，
所以，，，.
故選：D
2. 已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意得到，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可求解.
【詳解】由復(fù)數(shù)，可得，所以.
故選：A.
3. 若函數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式由內(nèi)到外可計(jì)算得出的值.
【詳解】由題意可得，則.
故選：C.
4. 函數(shù)在上的圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，結(jié)合特殊值，即可排除選項(xiàng).
【詳解】首先，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故排除D，，故排除B，
當(dāng)時(shí)，，故排除A，只有C滿足條件.
故選：C
5. 已知函數(shù)，，則的值為（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)為奇函數(shù)，即得解.
【詳解】解：構(gòu)造函數(shù)，則，故函數(shù)為奇函數(shù).
又，∴，∴.
故選：B
6. 若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知條件，可求得的值，再將所求利用二倍角正弦公式展開(kāi)，然后借助平方關(guān)系將其轉(zhuǎn)化為分式齊次式，最后利用商數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)即可求解.
詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故選：C.
7. 現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱(chēng)奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率.函數(shù)的圖象在處的曲率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出、，代值計(jì)算可得出函數(shù)的圖象在處的曲率.
【詳解】因?yàn)?，所以，?br>所以，，
所以.
故選：D.
8. 若，則（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】將用替換后，解方程解出即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>可得，
可得，
解得，因?yàn)?，所以?br>所以，
所以.
故選：C
9. 已知函數(shù)，則（ ）
A.
B. 函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)
C. 函數(shù)是偶函數(shù)
D. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性性質(zhì)判斷A，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，結(jié)合零點(diǎn)定義判斷B，舉反例判斷C，證明，由此可得函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，判斷D，綜合可得答案．
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>對(duì)于A，函數(shù)，
函數(shù)在R上為增函數(shù)，易得在R上為增函數(shù)，
則有，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，有，則有，
所以沒(méi)有零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，，
所以，不是偶函數(shù)，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)椋?br>所以
所以，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，D正確；
故選：D．
10. 如圖，四邊形為矩形，下底面寬丈，長(zhǎng)丈，上棱丈，與平面平行．與平面的距離為1丈，則它的體積是（ ）
A. 4立方丈B. 5立方丈C. 6立方丈D. 8立方丈
【答案】B
【解析】
【分析】過(guò)作平面，垂足為，過(guò)作平面，垂足為，過(guò)作，交于，交于，過(guò)作，交于，交于，則它的體積，由此能求出結(jié)果．
【詳解】解：過(guò)作平面，垂足為，過(guò)作平面，垂足為，
過(guò)作，交于，交于，過(guò)作，交于，交于，
則它的體積：
（立方丈）．
故選：．
11. 將的圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，若在上單調(diào)遞增，則正數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律求得的解析式，進(jìn)而得的解析式，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性求得的范圍．
【詳解】將的圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到的圖象，
再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象．
，
由，，
得，
∴的增區(qū)間為，
若在上單調(diào)遞增，則，
∴且，∴且，
又，∴當(dāng)時(shí)，，
故答案為：B．
12. 已知，，，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分別構(gòu)造和，求導(dǎo)判斷出在上的單調(diào)性，比較出函數(shù)值與端點(diǎn)值的大小關(guān)系，進(jìn)而得出的大小關(guān)系．
【詳解】令，
則恒成立，即在上單調(diào)遞增，且，
故，取，則，即，
可得，即；
令，
則恒成立，即在上單調(diào)遞減，且，
故，取，則，即，
可得，即；
綜上可得：的大小關(guān)系為
故選：B
第II卷 非選擇題
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分
13. 已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件則的最大值是______．
【答案】7
【解析】
【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)即可得解.
【詳解】如圖，畫(huà)出可行域，設(shè)則，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，
聯(lián)立可得，此時(shí)最大值是7．
故答案為：7.
14. 已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)在角的終邊上，則______.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義和二倍角公式可得答案.
【詳解】根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，
由二倍角公式得.
故答案為：.
15. 在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的最大值是______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，求出含有數(shù)0的單調(diào)遞減區(qū)間，再借助集合的包含關(guān)系求解作答.
【詳解】依題意，，
由得，因此，函數(shù)含有數(shù)0的單調(diào)遞減區(qū)間是，
因在上單調(diào)遞減，于是得，即，解得，
所以實(shí)數(shù)m的最大值是.
故答案為：
16. 若存在，使得，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先注意到，故考慮切線放縮，從而，所以，考慮取等條件是否成立即可.
【詳解】不妨設(shè)，求導(dǎo)得，
而在上單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，
所以，
所以等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，
注意到，
所以考慮切線放縮有，
從而，
又，所以，
由以上分析可知不等式取等，當(dāng)且僅當(dāng)，，
接下來(lái)考慮是否成立：
不妨設(shè)，則，即單調(diào)遞增，
注意到，
所以由零點(diǎn)存在定理可知，使得.
綜上所述：若存在，使得，則只需，從而的取值范圍是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決問(wèn)題關(guān)鍵是考慮切線放縮，從而，另一個(gè)關(guān)鍵的地方是證明是否成立，從而即可順利求解.
三、解答題：共 70 分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第 17～21 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第 22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共 60 分.
17. 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象．
（1）若為奇函數(shù)，求的值；
（2）若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍．
【答案】（1）或或；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)式再平移得，結(jié)合奇偶性計(jì)算即可；
（2）利用三角函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可.
【小問(wèn)1詳解】
易知，
向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得，
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，
故，
因?yàn)椋曰蚧颍?br>【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，
，
則由題意可知，
結(jié)合，取時(shí)分別得，，
即.
18. 在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.
（1）求；
（2）已知，，求△ABC的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平面向量的數(shù)量積的定義結(jié)合余弦定理即可求出結(jié)果；
（2）由正弦邊角關(guān)系得，，結(jié)合求值，應(yīng)用正弦定理求，進(jìn)而求出三角形的面積.
【小問(wèn)1詳解】
由已知，
所以，
結(jié)合余弦定理，，
化簡(jiǎn)得：，所以．
【小問(wèn)2詳解】
由正弦定理知，即，又，所以，
顯然，即，故，
由，
又，則，
所以的面積.
19. 設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)，．
（1）求的極值；
（2）對(duì)于，，都有，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）極小值為，無(wú)極大值.
（2）
【解析】
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出極值；
（2）由導(dǎo)數(shù)得出，的值域，由的值域是的值域的子集得出實(shí)數(shù)的取值范圍．
【小問(wèn)1詳解】
，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
函數(shù)的極小值為，無(wú)極大值.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則.
，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
因?yàn)?，所以?
即.
因?yàn)?，，都有?br>所以的值域是的值域的子集.
即，解得.
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
20. 如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，，，，分別為，的中點(diǎn).
（1）求證：平面平面；
（2）若，求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，先根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，然后根據(jù)面面垂直的判定定理即可得到結(jié)果.
（2）根據(jù)題意，將點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為三棱錐的高，然后根據(jù)等體積法即可得到結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)闉榱庑?，，所以為等邊三角形，且，分別為，的中點(diǎn)，則，
又因?yàn)闉橹彼睦庵?，則平面，且平面，則，且
所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)橹彼睦庵?，，，分別為，的中點(diǎn)，
所以，，
，，，
因?yàn)榈酌鏋榱庑危?，所以，?br>由（1）知平面，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，
因?yàn)?，所以，因?yàn)?，因?yàn)?，，?br>所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
因?yàn)?，所以，因?
故點(diǎn)到平面的距離為.
21 設(shè)函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?，當(dāng)時(shí)，證明：.（注：…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）先求定義域，再求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求解的單調(diào)區(qū)間；（2）結(jié)合第一問(wèn)，利用放縮法和分析法及函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明.
【小問(wèn)1詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?br>令，所以；，所以
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，
于是，所以，要證：只要證：，
又在上單調(diào)遞增
即證：即證：
由題意知，而，所以原命題得證.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)處理多元不等式證明問(wèn)題，要選擇合適的方法，就本題需要先研究?jī)蓚€(gè)變量的大小關(guān)系，然后利用放縮法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明.
（二）選考題：共 10 分。請(qǐng)考生在第 22、23 題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.
[選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為．
（1）求曲線的普通方程；
（2）若曲線上恰有三個(gè)點(diǎn)到曲線的距離為，求實(shí)數(shù)a的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)即可求出曲線的普通方程；
（2）首先曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，可以得到曲線是圓，要使曲線上恰有三個(gè)點(diǎn)到曲線的距離為，圓心到直線的距離，求解方程即可.
【小問(wèn)1詳解】
由已知得代入，消去參數(shù)t得
曲線的普通方程為．
【小問(wèn)2詳解】
由曲線的極坐標(biāo)方程得，
又，，，
所以，即，
所以曲線是圓心為，半徑等于的圓．
因?yàn)榍€上恰有三個(gè)點(diǎn)到曲線的距離為，
所以圓心到直線的距離，
即，解得．
[選修 4-5：不等式選講]
23. 設(shè)函數(shù).
（1）解不等式；
（2）當(dāng)x∈R，0

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