敘州區(qū)二中2023年秋期高一第一學(xué)月考試數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.第I卷 選擇題（60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 若集合，則集合 （     ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由并集運(yùn)算的定義可得.【詳解】，，根據(jù)并集運(yùn)算的定義可得，.故選：A.2. 命題“，”的否定是（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】【分析】由命題的否定的定義判斷．【詳解】命題“，”否定是“，”．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查命題的否定，掌握命題的否定的定義是解題關(guān)鍵，命題的否定除否定結(jié)論外，存在量詞與全稱量詞必須互換．3. 十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號(hào)使用，后來英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若a，b，，則下列命題正確的是（    ）A. 若，則 B. 若，則C. 若，則 D. 若，則【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)和作差法比較大小即可.【詳解】A選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)；B選項(xiàng)：，因?yàn)?/span>的符號(hào)不確定，所以的符號(hào)也不能確定，故B錯(cuò)；C選項(xiàng)：，因?yàn)?/span>，所以，，，即，則，故C正確；D選項(xiàng)：，因為，所以，，即，，故D錯(cuò).故選：C.4. “”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用特稱命題及其否定形式的真假結(jié)合二次不等式恒成立問題計(jì)算即可.【詳解】由特稱命題的否定形式及真假可知：“”為假則其否定形式“”為真命題，顯然當(dāng)時(shí)符合題意，當(dāng)時(shí)，由一元二次不等式的恒成立問題得，解之得，綜上可得.故選：B5. 某商場(chǎng)若將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元出售,每天可銷售100件,現(xiàn)準(zhǔn)備采用提高售價(jià)來增加利潤(rùn),已知這種商品每件銷售價(jià)提高1元,銷售量就要減少10件.那么要保證每天所賺的利潤(rùn)在320元以上,銷售價(jià)每件應(yīng)定為A. 12元 B. 16元 C. 12元到16元之間 D. 10元到14元之間【答案】C【解析】【分析】設(shè)銷售價(jià)定為每件元,利潤(rùn)為,根據(jù)題意可得利潤(rùn)的函數(shù)解析式.由題意可得關(guān)于的一元二次不等式,解不等式即可求得每件銷售價(jià)的范圍.【詳解】設(shè)銷售價(jià)定為每件元,利潤(rùn)為則依題意,得即,解得所以每件銷售價(jià)應(yīng)定為12元到16元之間故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系,一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.6. 已知，，且，則的最小值是（    ）A. 1 B. 2 C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式“1的代換”即可求出最小值.【詳解】因?yàn)?/span>，，且，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立．故選：C7. 對(duì)于集合，定義，，設(shè)，，則（    ）A.  B. C  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題中集合新定義的特性結(jié)合集合的基本運(yùn)算可求解出結(jié)果.【詳解】集合，，則，，由定義可得：且，且，所以，選項(xiàng) ABD錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確.故選：C．8. 設(shè)集合，集合，若中恰有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合，討論二次函數(shù)的零點(diǎn)位置結(jié)合集合交集的定義求解即可.【詳解】由解得集合或，令，因?yàn)?/span>是開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為且，根據(jù)對(duì)稱性可得中恰有一個(gè)整數(shù)則，所以，解得，故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9. 已知全集，集合，，則（    ）A. 的子集有個(gè) B.  C.  D. 中的元素個(gè)數(shù)為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)已知條件求出集合，利用子集的定義及集合的并集，結(jié)合補(bǔ)集的定義即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>中的元素個(gè)數(shù)為，所以的子集有個(gè)，故A正確；由，，得，所以，故B不正確；由，，所以，所以， 故C正確；由，得中的元素個(gè)數(shù)為，故D正確.故選：ACD.10. 下列命題為真命題的是（    ）.A. 若，則 B. 若，則C. 如果，那么 D. ，則【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，舉反例證明其錯(cuò)誤；對(duì)于B，證明即可；對(duì)于C，首先有，若要成立，只需即可，只需，這顯然成立；對(duì)于D，首先有，若要，只需即可，只需，這顯然成立.【詳解】對(duì)于A，令，，則，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，因?yàn)?/span>，所以，故B正確.對(duì)于C，由于 ，同乘以，得，又，所以，故C正確.對(duì)于D，若，則，所以，所以，故D正確.故選：BCD.11. 若“”為真命題，“”為假命題，則集合可以是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】AB【解析】【分析】由題意可得集合中的元素均為負(fù)數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)得答案.【詳解】“”為真命題，則，“”為假命題，則“，”為真命題.由上可知，集合的元素均為負(fù)數(shù)，集合可以是A、B.故選：AB12. 下列命題中真命題有（    ）A. 若，則的最大值為2 B. 當(dāng)，時(shí)，C. 的最小值5 D. 當(dāng)且僅當(dāng)a，b均為正數(shù)時(shí)，恒成立【答案】AB【解析】【分析】選項(xiàng)A,B利用基本不等式可判斷；選項(xiàng)C取可判斷；選項(xiàng)D中取可判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?/span>，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為2，故A正確.對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)第一個(gè)等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)第二個(gè)等號(hào)成立，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B正確.對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，取，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：AB．第II卷 非選擇題三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 滿足的集合M共有______個(gè)．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)子集的定義，列舉所有符合條件的集合即可求解.【詳解】根據(jù)可得可以為，故共有4個(gè)符合條件的集合，故答案為：414. 不等式的解集為，則a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由一元二次不等式的解集，結(jié)合對(duì)應(yīng)函數(shù)性質(zhì)有，即可求參數(shù)范圍.【詳解】由題意.故答案為：15. 已知非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為___________.【答案】8【解析】【分析】令，解得，再結(jié)合乘“1”法和基本不等式即可求解結(jié)論.【詳解】解：令，則，得，解得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且，為非負(fù)實(shí)數(shù)，即，時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)的最小值為8，故答案為：8.16. 中國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為，，，三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫—秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿足，，則此三角形面積的最大值為___________.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17. 若集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求，；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1），；    （2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求集合B，應(yīng)用集合交并運(yùn)算求集合；（2）由題設(shè)有，再列不等式組求參數(shù)范圍，注意說明.【小問1詳解】由，則，而，所以，.【小問2詳解】由，而，若，顯然不成立，即，所以，m的取值范圍為.18. 已知，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）若，求m的值；（2）求的最小值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)求m的范圍，再利用韋達(dá)定理代入求解可得；（2）先配方，利用韋達(dá)定理，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得.【小問1詳解】因?yàn)?/span>，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，即所以，所以，整理得，解得（舍去）或，所以.【小問2詳解】由（1）可得，令，因?yàn)?/span>在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.19. 設(shè)實(shí)數(shù)，滿足．（1）求的最小值；（2）若，，求的最小值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用代入法和二次函數(shù)運(yùn)算即可得解.（2）利用基本不等式運(yùn)算即可得解.【小問1詳解】解：由得，所以當(dāng)時(shí)取得最小值，所以，當(dāng)，時(shí)取得最小值.【小問2詳解】解：因?yàn)?/span>，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立；又因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.20. 已知集合，．（1）若，求的取值范圍；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】分別化簡(jiǎn)集合，（1）根據(jù)兩集合交集為空集得出的不等關(guān)系，解之即可；（2）若“”是“”的充分不必要條件，則是的子集，由子集的概念可得．【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以或，即或．所以的取值范圍是；（2）因?yàn)?/span>“”是“”的充分不必要條件，所以，則，解得．所以的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，考查集合的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型．21. 用清水洗一堆蔬菜上殘留的農(nóng)藥，用水越多，洗掉的農(nóng)藥量也越多，但總還有農(nóng)藥殘留在蔬菜上現(xiàn)作如下假定：用單位的水清洗次后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為函數(shù).（1）（ⅰ）試解釋與的實(shí)際意義；（ⅱ）寫出函數(shù)應(yīng)該滿足的條件和具有的性質(zhì)；（2）現(xiàn)有單位量水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗兩次.哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量比較少？請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（ⅰ）詳見解析（ⅱ）詳見解析（2）答案不唯一，具體見解析【解析】【分析】（1）（ⅰ）結(jié)合題意理解即可說出具體意義；（ⅱ）可結(jié)合生活實(shí)際和函數(shù)表達(dá)式特征加以理解農(nóng)藥殘留肯定越來越少，第二個(gè)特點(diǎn)是農(nóng)藥始終會(huì)有殘留；（2）需根據(jù)題意表示出一次清洗的農(nóng)藥殘留量，和分兩次清洗的農(nóng)藥殘留量，通過作差法，再結(jié)合分類討論思想，可進(jìn)一步確定農(nóng)藥殘留的多少【詳解】解：（1）（ⅰ），表示沒有用水清洗時(shí)，蔬菜上的農(nóng)藥量為1.，表示用1個(gè)單位的水清洗時(shí)，可清除蔬菜上殘留的農(nóng)藥的.（ⅱ）函數(shù)在上單調(diào)遞減，并且有.（2）設(shè)清洗前蔬菜上的農(nóng)藥量為1，用單位量的水清洗1次后，殘留的農(nóng)藥量為，則.如果用單位的水清洗1次，則殘留的農(nóng)藥量為，然后再用單位的水清1次后，殘留的農(nóng)藥量為.由于，所以，的符號(hào)由決定.當(dāng)時(shí)，.此時(shí)，把單位的水平均分成2份后，清洗兩次，殘留的農(nóng)藥量較少；當(dāng)時(shí)，.此時(shí)，兩種清洗方法效果相同；當(dāng)時(shí)，.此時(shí)，用單位的水清洗一次，殘留的農(nóng)藥量較少.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)模型在生活中的實(shí)際應(yīng)用，作差法在比大小中的應(yīng)用，分類討論思想的具體應(yīng)用，屬于中檔題22. 若實(shí)數(shù)滿足，則稱比遠(yuǎn)離.（1）若比遠(yuǎn)離1，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，證明比遠(yuǎn)離；（3）若，試問：與哪一個(gè)更遠(yuǎn)離？并說明理由.【答案】（1）    （2）證明見解析    （3）比更遠(yuǎn)離，理由見解析【解析】【分析】（1）首先由題意可知，，再根據(jù)，求解不等式；（2）由條件證明，首先去絕對(duì)值，再比較大小；（3）分和兩種情況證明不等式.【小問1詳解】由題意，，因?yàn)?/span>，所以，即，兩邊平方，得，解得：【小問2詳解】證明：，,因?yàn)?/span>，所以，所以，所以比遠(yuǎn)離；【小問3詳解】因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，從而，①時(shí)，，，即；②時(shí)，，，即，綜上：，即比更遠(yuǎn)離. 

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