敘州區(qū)一中2023年春期高二第二學(xué)月考試數(shù)學(xué)（文史類）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡上.2．考試結(jié)束后，將本試卷自己保管，答題卡交回.3.考試時間：120分鐘第I卷   選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部是A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式后可得答案．【詳解】由題意得，，所以復(fù)數(shù)的虛部是．故選B．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算和虛部的概念，解題時容易認為復(fù)數(shù)的虛部為，要強化對復(fù)數(shù)概念的理解，屬于基礎(chǔ)題．2. 某超市今年1月至10月各月的收入、支出（單位：萬元）情況的統(tǒng)計如圖所示，下列說法中錯誤的是（    ）A. 收入和支出最低的都是4月B. 利潤（收入支出）最高為40萬元C. 前5個月的平均支出為50萬元D. 收入頻數(shù)最高的是70萬元【答案】D【解析】【分析】根據(jù)折線圖提供的數(shù)據(jù)判斷各選項．【詳解】解析對于A，由折線圖知，收入和支出最低的都是4月，故A正確.對于B，利潤最高的是7月份，為40萬元，故B正確.對于C，前5個月的支出(單位：萬元)分別為50，70，40，30，60，平均數(shù)為50萬元，故C正確.對于D，收入(單位：萬元)為100，90，80，70，60，50的頻數(shù)分別為1，3，2，2，1，1，因此收入頻數(shù)最高的為90萬元，D錯誤.故選：D．3. 已知，的值是（    ）A. 3 B. 2 C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義與極限的運算可得．【詳解】．故選：B．4. 已知雙曲線（a＞0）的離心率是 則a=A.  B. 4 C. 2 D. 【答案】D【解析】【分析】本題根據(jù)根據(jù)雙曲線的離心率的定義，列關(guān)于a的方程求解.【詳解】 ∵雙曲線的離心率 ， ，∴ ，解得 ，故選D.【點睛】本題主要考查雙曲線的離心率的定義，雙曲線中a,b,c的關(guān)系，方程的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.5. 將曲線按曲線伸縮變換后得到的曲線方程為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由得，然后代入即可得出答案.【詳解】由得，代入得所以所以將曲線按伸縮變換后得到的曲線方程為故選：A【點睛】本題考查的是伸縮變換，較簡單.6. 為了研究某種細菌在特定環(huán)境下隨時間變化的繁殖情況，得到的實驗數(shù)據(jù)如下表，并由此計算得到回歸直線方程，后來工作人員不慎將下表中的實驗數(shù)據(jù)丟失.天數(shù)/天34567繁殖個數(shù)/千個344.56則上表中丟失的實驗數(shù)據(jù)的值為（    ）A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定數(shù)據(jù)求出樣本中心點，再借助回歸直線必過樣本中心點即可計算作答.【詳解】由表中數(shù)據(jù)可得，，將點代入中，得，解得，所以丟失的實驗數(shù)據(jù)的值為2.5.故選：D7. “”是“直線 與圓相切”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線和圓相切可得，再根據(jù)充分條件，必要條件的定義即可判斷．【詳解】因為直線與圓相切，所以，.所以“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，以及充分條件和必要的條件，屬于基礎(chǔ)題．8. “結(jié)繩計數(shù)”是遠古時期人類智慧的結(jié)晶，即人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量.如圖所示的是一位農(nóng)民記錄自己采摘果實的個數(shù).在從右向左依次排列的不同繩子上打結(jié)，滿四進一.根據(jù)圖示可知，農(nóng)民采摘的果實的個數(shù)是A. 493 B. 383 C. 183 D. 123【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意將四進制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)即可.【詳解】根據(jù)題干知滿四進一,則表示四進制數(shù),將四進制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進制數(shù),得到 故答案為:C.【點睛】本題以數(shù)學(xué)文化為載體，考查了進位制等基礎(chǔ)知識，注意運用四進制轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．9. 已知函數(shù)在（－1,1）上是單調(diào)減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)恒非正求參數(shù)取值范圍.【詳解】由已知得在上恒成立，當(dāng)時，恒成立，當(dāng)有，綜上故選：D．10. 曲線在處的切線方程為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】求出得到，再求出，利用直線方程的點斜式即可解出.【詳解】由，得，∴，又，∴曲線在處的切線方程為，即.故選：B.11. 已知正四棱錐的所有棱長都相等，是的中點，則，所成角的正弦值為（      ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義可得分別取SC，DC，AD邊的中點F，G，H易得EF∥HA，EF=HA，故四邊形AEFH為平行四邊形，所以AE∥DF，又根據(jù)中點的性質(zhì)可得FG∥SD從而將異面直線轉(zhuǎn)化為了相交直線，即∠HFG或其補角即為異面直線AE、SD所成的角，然后再利用余弦定理，求∠HFG的余弦值即可．【詳解】由于正四棱錐S﹣ABCD側(cè)棱長與底面邊長都相等，故不妨設(shè)棱長為a．取SC的中點F，連接EF，則EF∥BC，EF=BC，取AD的中點H連接HF則可得EF∥HA，EF=HA，故四邊形AEFH為平行四邊形，所以AE∥HF．再取DC中點G，連接HG，則FG∥SD，所以∠HFG或其補角即為異面直線AE、SD所成的角．∵HF=AE=a，F(xiàn)G=a，HG==A，∴cos∠HFG=＞0．即AE、SD所成的角的正弦值為．故選C．【點睛】本題主要考查了異面直線所成的角．解題的關(guān)鍵是要緊緊抓住利用平行的傳遞性（通常利用平行四邊形的性質(zhì)或中位線定理）將異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線然后在三角形中利用余弦定理求解（要注意的是利用于余弦值的正負判斷是這個角還是這個角的補角）．12. 已知函數(shù)，如果關(guān)于的方程()有四個不等的實數(shù)根，則的取值范圍（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造新的函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，畫出草圖，通過翻折畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像將原方程實數(shù)根轉(zhuǎn)化為有兩個不相等實數(shù)根?，且?，結(jié)合函數(shù)根的分布求解.【詳解】解：構(gòu)造新的函數(shù)，的定義域為，，令得，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，∴在處取得極小值也是最小值，又，，當(dāng)時，當(dāng)時恒成立，則做的圖像如圖，  又，則當(dāng)時，的圖像為的圖像向上翻折所得到，則的圖像如圖，  令，則原方程化為，設(shè)由圖象知當(dāng)時與有個交點，當(dāng)或時與有個交點，∴又當(dāng)時，∴有四個不等的實數(shù)根等價于：有兩個不相等實數(shù)根?，且?，則，解得.故選：A.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.第II卷  非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 某學(xué)校為了了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，用系統(tǒng)抽樣的方法從全校2400名學(xué)生中抽取50人進行調(diào)查.現(xiàn)將2400名學(xué)生隨機地從1~2400編號，按編號順序平均分成50組，若第2組抽出的號碼為88，則第8組抽到的號碼是___________.【答案】376【解析】【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣中等距抽樣的方法，計算出抽樣間隔，結(jié)合第2組抽取號碼確定第8組的號碼.【詳解】由題設(shè)，抽取間隔為，所以第8組抽到的號碼是.故答案為：37614. 物體做直線運動，其運動規(guī)律是，為時間，單位是s；為路程，單位是m，則它在時的瞬時速度為____m/s．【答案】####【解析】【分析】對求導(dǎo)，將代入計算即可【詳解】由，則所以該物體在時的瞬時速度為：m/s故答案為：15. 已知一個命題的逆命題是“若，，則，”，寫出原命題的否命題：______．【答案】若或，則或【解析】【分析】先根據(jù)逆命題推出原命題，再寫出其否命題即可．【詳解】解：該命題的逆命題是：若，，則，， 故原命題為：若，，則，， 所以原命題的否命題為：若或，則或． 故答案為若或，則或．【點睛】本題考查了四種命題，在寫命題的否命題時，不光要對條件和結(jié)論否定，還要注意對連接詞的否定，本題屬基礎(chǔ)題．16. 若函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】求得，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在上有兩個不等的實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為和的圖象有兩個交點，求得，求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，因為函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點，即在上有兩個不等的實數(shù)根，即在上有兩個不等的實數(shù)根，即函數(shù)和的圖象有兩個交點，又由，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答17. 已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若函數(shù)與函數(shù)的圖象恒有公共點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）    （2）【解析】【小問1詳解】當(dāng)時，，由得不等式解集為【小問2詳解】由二次函數(shù)，知函數(shù)在處取得最大值9，因為，在處取得最小值，所以要使二次函數(shù)與函數(shù)的圖恒有公共點，只需，即．18. 司機在開機動車時使用手機是違法行為，會存在嚴(yán)重的安全隱患，危及自己和他人的生命.為了研究司機開車時使用手機的情況，交警部門調(diào)查了100名機動車司機，得到以下統(tǒng)計：在55名男性司機中，開車時使用手機的有40人，開車時不使用手機的有15人；在45名女性司機中，開車時使用手機的有20人，開車時不使用手機的有25人.（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認為開車時使用手機與司機的性別有關(guān)； 開車時使用手機開車時不使用手機合計男性司機人數(shù)   女性司機人數(shù)   合計    （2）從開車時使用手機的樣本中依據(jù)性別采取分層抽樣抽取了6名司機，再從抽取的6名司機中隨機的抽取3名司機了解具體情況，求抽取的3名司機中至少有2名男司機的概率.參考公式附：其中.參考數(shù)據(jù)：0.150.100050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879 【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有99.5%的把握認為開車時使用手機與司機的性別有關(guān)；    （2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件完善列聯(lián)表，由卡方公式求出卡方值，比較參照值即可得結(jié)論；（2）由（1）知6名司機中4名男性，2名女性，利用組合計數(shù)、古典概型的概率求法求概率即可.【小問1詳解】 開車時使用手機開車時不使用手機合計男性司機人數(shù)401555女性司機人數(shù)202545合計6040100所以，故有99.5%的把握認為開車時使用手機與司機的性別有關(guān).【小問2詳解】由（1）知：6名司機中4名男性，2名女性，所以6名司機中隨機的抽取3名司機中至少有2名男司機的概率為.19. 如圖，直三棱柱中，，且，為線段上動點.（1）證明：；（2）判斷點到面的距離是否為定值，并說明理由，若是定值，請求出該定值.【答案】（1）證明見解析；（2）是定值，理由見解析，.【解析】【分析】（1）由，證得面，從而，結(jié)合，證得面，從而證得.（2）點到面的距離即為到面的距離，可轉(zhuǎn)化為點到面的距離，由條件證得面，則為點到面的距離，求得即可.【詳解】解：（1）連，，四邊形為正方形，又，直棱柱中，，，面，面，又，面，面，（2）點到面的距離為定值.，面，面，點到面的距離即為到面的距離，可轉(zhuǎn)化為點到面的距離令，則，又面，面，，，，面，為點到面的距離在等腰中，，到面距離為定值，且定值為20. 已知是函數(shù)的一個極值點．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有且僅有1個零點，求的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；    （2）【解析】【分析】（1）由題意，解得，再通過和解出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間.（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，算出函數(shù)極值，通過函數(shù)圖像判斷直線與圖像有1個交點時的取值范圍．【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，由是函數(shù)的一個極值點，則，即，解得；的導(dǎo)數(shù)為，令，解得，或，；令，解得，．則的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問2詳解】由于在和內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則在處取得極大值，且為，在處取得極小值，且為由于直線與圖像有1個交點，或．故的取值范圍是．21. 已知橢圓的離心率為，，是C的頂點，點M是第一象限內(nèi)的動點，已知的斜率之比為．（1）證明：點M在一條定直線上；（2）設(shè)與橢圓C分別交于另外的兩點，證明直線過定點．【答案】（1）證明見解析.    （2）證明見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)可列出方程，化簡即可證明結(jié)論；（2）利用題意求得橢圓方程，設(shè)設(shè)，表示直線方程，聯(lián)立橢圓方程，求得的坐標(biāo)，取點，利用向量共線證明，即可證明結(jié)論.【小問1詳解】證明：設(shè),由題意可知，則，,因為，所以,即，即，故點M在直線上，即點M在一條定直線上.【小問2詳解】由題意知：， 故橢圓方程為 ，由（1）知點M在直線上，設(shè)，則的方程為，代入，得，，所以，即，同理可得，取點，則，，又因為，所以，則三點共線，即直線過定點.【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問中，證明直線過定點，可根據(jù)題意求得點的坐標(biāo)，如果要表示出直線方程，計算量將會比較大，且運算復(fù)雜，因此可以結(jié)合題意合理猜測定點坐標(biāo)，然后證明直線過該點.22. 設(shè)函數(shù)，其中.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，證明：.【答案】（1）答案見解析    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出，討論與0的大小即可判斷的正負號，即可求出的單調(diào)區(qū)間;（2）先寫出帶入不等式，即可化簡為.易證，，即可證明成立.【小問1詳解】，①當(dāng)時，在區(qū)間上恒成立，在上遞增；②當(dāng)時，令得，當(dāng)時，，遞減；當(dāng)時，，遞增.綜上所述：當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】方法1：當(dāng)時，，要證，即證明：.令，則，令得，當(dāng)時，，遞減；當(dāng)時，，遞增，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立.令，則，令得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立.于是，，兩個“=”不能同時成立，所以，即，所以，當(dāng)時，對恒成立.方法2：當(dāng)時，，要證，即證：；先證.令，則，令，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，則，所以，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立，則時，，當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立，又，所以.下面只需證明，令，，則，令得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，則，所以，，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則，兩個“=”不能同時成立，所以，故時，對恒成立.   
 

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