1．已知三角形的三邊分別為2，x，13，若x為整數(shù)（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．下面四個(gè)圖形中，線段BD是△ABC的高的圖形是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列計(jì)算正確的是（ ）
A．a(chǎn)3+a3＝a6B．a(chǎn)3?a3＝a9
C．（a3）3＝a9D．（3a3）3＝9a3
4．如圖，α，β，γ三個(gè)角之間的關(guān)系正確的是（ ）
A．α+β+γ＝180°B．β＝α+γ
C．γ＝α+βD．α＝β+γ
5．小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標(biāo)有1、2、4的四塊），你認(rèn)為將其中的哪一塊帶去玻璃店，就能配一塊與原來(lái)一樣大小的三角形玻璃．應(yīng)該帶（ ）
A．第4塊B．第3塊C．第2塊D．第1塊
6．如圖，∠1＝∠2，PD⊥OA于D，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．PD＝PEB．OP平分∠DPE
C．OD＝OED．DE垂直平分OP
7．若等式成立，則（ ）
A．m＝﹣2B．m＝2C．m＝1D．m＝﹣1
8．下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2B．（a﹣）2＝a2﹣
C．﹣2（3a﹣1）＝﹣6a+1D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
9．三個(gè)全等三角形按如圖的形式擺放，則∠1+∠2+∠3的度數(shù)是（ ）
A．90°B．120°C．135°D．180°
10．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，AF＝4cm，EB＝2cm．則AB長(zhǎng)度是（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
二、填空題（每小題2分，共20分）
11．如圖，AD、BC表示兩根長(zhǎng)度相同的木條，若O是AD、BC的中點(diǎn)，則容器的內(nèi)徑CD為 cm．
12．如圖，在△ABC中，∠B＝50°，AD是高，AE是角平分線 度．
13．如果（x﹣1）5÷（1﹣x）4＝3x+5，那么x的值為 ．
14．如圖，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，BC＝24cm，S△ABC＝150cm2，則DE的長(zhǎng)是 ．
15．已知a＝7﹣3b，則代數(shù)式a2+6ab+9b2的值為 ．
16．如圖，在五邊形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，則∠P＝ ．
17．如果（x+1）（x2﹣5ax+a）的乘積中不含x2項(xiàng)，則a為 ．
18．有若干張如圖所示的正方形A類、B類卡片和長(zhǎng)方形C類卡片，如果要拼成一個(gè)長(zhǎng)為（2a+b），寬為（3a+2b），則需要C類卡片 張．
19．如圖，在△ABC中，∠C＝∠B＝65°，BF＝CD，CE＝BD ．
三、解答題：（21題每小題24分，22題8分，共計(jì)32分）
21．（24分）（1）計(jì)算：（2m+3n）2﹣（2m+n）（2m﹣n）；
（2）計(jì)算：（x+1）2﹣x（x+1）；
（3）因式分解：（a﹣3）2+（3﹣a）；
（4）因式分解：（a2+b2）2﹣4a2b2．
22．先化簡(jiǎn)后求值2（x2y+xy2）﹣2（x2y﹣3x）﹣2xy2﹣2y的值，其中x＝﹣1，y＝2．
四、解答題：（23題8分，24題8分，共計(jì)16分）
23．如圖，A、D、F、B在同一直線上，AD＝BF，且AE∥BC．求證：
（1）△AEF≌△BCD；
（2）EF∥CD．
24．下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式（x2﹣3x+1）（x2﹣3x+5）+4進(jìn)行因式分解的過(guò)程．
解：設(shè)x2﹣3x＝y(tǒng)．
原式＝（y+1）（y+5）+4（第一步）．
＝y(tǒng)2+6y+9（第二步）．
＝（y+3）2（第三步）．
＝（x2﹣3x+3）2（第四步）．
回答下列問(wèn)題：
（1）該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的 ．
A．提公因式法
B．公式法
（2）請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式（x2+2x）（x2+2x+2）+1進(jìn)行因式分解．
五、解答題：（本題滿分12分）
25．在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是射線CB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，設(shè)∠BAC＝m，∠DCE＝n．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，且m＝60°時(shí) 度；
（2）當(dāng)m≠60°：
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上時(shí)，求m與n間的數(shù)量關(guān)系；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)將圖3補(bǔ)充完整
2021-2022學(xué)年遼寧省鞍山市立山區(qū)八年級(jí)第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案
一、選擇題（每小題2分，共20分）
1．已知三角形的三邊分別為2，x，13，若x為整數(shù)（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊可得答案．
解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：13﹣2＜x＜13+2，
即6＜x＜15，
∵x為整數(shù)，
∴x＝10，11，13，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．
2．下面四個(gè)圖形中，線段BD是△ABC的高的圖形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)三角形的高的定義進(jìn)行判斷即可．
解：由三角形的高的定義可知，如果線段BD是△ABC的高，垂足是點(diǎn)D．
四個(gè)選項(xiàng)中，只有D選項(xiàng)中BD⊥AC．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．理解定義是關(guān)鍵．
3．下列計(jì)算正確的是（ ）
A．a(chǎn)3+a3＝a6B．a(chǎn)3?a3＝a9
C．（a3）3＝a9D．（3a3）3＝9a3
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變；同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘；積的乘方法則：把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘進(jìn)行計(jì)算即可．
解：A、a3+a3＝8a3，故原題計(jì)算錯(cuò)誤；
B、a3?a6＝a6，故原題計(jì)算錯(cuò)誤；
C、（a3）5＝a9，故原題計(jì)算正確；
D、（3a8）3＝27a3，故原題計(jì)算錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法、積的乘方、冪的乘方，關(guān)鍵是掌握各計(jì)算法則．
4．如圖，α，β，γ三個(gè)角之間的關(guān)系正確的是（ ）
A．α+β+γ＝180°B．β＝α+γ
C．γ＝α+βD．α＝β+γ
【分析】根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算即可．
解：由對(duì)頂角的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)得到β＝α+γ，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．
5．小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標(biāo)有1、2、4的四塊），你認(rèn)為將其中的哪一塊帶去玻璃店，就能配一塊與原來(lái)一樣大小的三角形玻璃．應(yīng)該帶（ ）
A．第4塊B．第3塊C．第2塊D．第1塊
【分析】根據(jù)三角形全等判定的條件可直接選出答案．
解：1、3、4塊玻璃不同時(shí)具備包括一完整邊在內(nèi)的三個(gè)證明全等的要素，
只有第2塊有完整的兩角及夾邊，符合ASA，是符合題意的．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形全等的判定，關(guān)鍵是掌握判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
6．如圖，∠1＝∠2，PD⊥OA于D，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．PD＝PEB．OP平分∠DPE
C．OD＝OED．DE垂直平分OP
【分析】由已知條件認(rèn)真思考，首先可得△POE≌△POD，進(jìn)而可得PD＝PE，∠1＝∠2，∠DPO＝∠EPO；而OD，OP是無(wú)法證明是相等的，于是答案可得．
解：∵∠POB＝∠POA，PD⊥OA，
∴PE＝PD，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO＝∠PDO＝90°，
∵OP＝OP，PE＝PD，
∴由勾股定理得：OE＝OD，
∵∠PEO＝∠PDO＝90°，∠POB＝∠POA，
∴由三角形的內(nèi)角和定理得：∠DPO＝∠EPO，
∴OP平分∠DPE，
根據(jù)已知不能推出PD＝OD，OD＝OE，
∴OP垂直平分DE；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．
7．若等式成立，則（ ）
A．m＝﹣2B．m＝2C．m＝1D．m＝﹣1
【分析】根據(jù)完全平方公式把等式左邊展開(kāi)即可得到m的值．
解：∵（2x+）2＝4x2+2x+，
∴m＝2．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．也考查了代數(shù)式的變形能力．
8．下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2B．（a﹣）2＝a2﹣
C．﹣2（3a﹣1）＝﹣6a+1D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
【分析】根據(jù)整式的乘法法則或乘法公式進(jìn)行計(jì)算便可．
解：A．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣8ab+ab﹣2b2＝a6﹣ab﹣2b2，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．（a﹣）2＝a5﹣a+，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．﹣8（3a﹣1）＝﹣8a+2；
D．（a+3）（a﹣6）＝a2﹣9，選項(xiàng)正確．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了整式的乘法運(yùn)算和乘法公式，關(guān)鍵是熟記運(yùn)算法則和運(yùn)算公式．
9．三個(gè)全等三角形按如圖的形式擺放，則∠1+∠2+∠3的度數(shù)是（ ）
A．90°B．120°C．135°D．180°
【分析】直接利用平角的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理以及全等三角形的性質(zhì)得出∠4+∠9+∠6＝180°，∠5+∠7+∠8＝180°，進(jìn)而得出答案．
解：如圖所示：
由圖形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠5+∠3+∠9+∠2＝540°，
∵三個(gè)全等三角形，
∴∠4+∠9+∠6＝180°，
又∵∠5+∠7+∠3＝180°，
∴∠1+∠2+∠6+180°+180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠2的度數(shù)是180°．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，正確掌握全等三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
10．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，AF＝4cm，EB＝2cm．則AB長(zhǎng)度是（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DC，證明Rt△AED≌Rt△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF＝BE＝2cm，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．
解：∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），
∴AE＝AC，CF＝BE＝2cm，
∴AC＝AF+FC＝4+6＝6（cm），
∴AB＝AE+BE＝AC+BE＝6+5＝8（cm）
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（每小題2分，共20分）
11．如圖，AD、BC表示兩根長(zhǎng)度相同的木條，若O是AD、BC的中點(diǎn)，則容器的內(nèi)徑CD為 4 cm．
【分析】根據(jù)“AD，BC表示兩根長(zhǎng)度相同的木條，若O是AD，BC的中點(diǎn)”，及對(duì)頂角相等，容易判斷兩個(gè)三角形全等，得AC＝DB．
解：由題意知：OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴CD＝AB＝4cm．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用；解答的關(guān)鍵是設(shè)計(jì)三角形全等，巧妙地借助兩個(gè)三角形全等，尋找所求線段與已知線段之間的等量關(guān)系．關(guān)鍵是要先證明△AOB≌△DOC，然后利用全等的性質(zhì)求解．
12．如圖，在△ABC中，∠B＝50°，AD是高，AE是角平分線 10 度．
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BAE，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠BAD，然后求解即可．
解：∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵AE是角平分線，
∴∠BAE＝∠BAC＝，
∵AD是高，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝40°﹣30°＝10°
故答案為：10．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的角平分線、高線的定義，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟記定理并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．
13．如果（x﹣1）5÷（1﹣x）4＝3x+5，那么x的值為 ﹣3 ．
【分析】先將（1﹣x）4變形為（x﹣1）4，然后再相除，最后解方程即可．
解：∵（1﹣x）4＝（x﹣5）4，
∴原方程可變形為（x﹣1）3÷（x﹣1）4＝7x+5．
∴x﹣1＝5x+5．
解得：x＝﹣3．
故答案為：﹣3．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是整式的除法，將（1﹣x）4變形為（x﹣1）4是解題的關(guān)鍵．
14．如圖，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，BC＝24cm，S△ABC＝150cm2，則DE的長(zhǎng)是 5cm ．
【分析】過(guò)D作DF⊥AC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DF，又S△ABC＝S△ABD+S△CBD，S△ABD＝DE?AB，S△CBD＝DF?BC，由此可以得到關(guān)于DE的方程，解方程即可求出DE．
解：如圖，過(guò)D作DF⊥BC于F，
∵BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，
∴DE＝DF，
而S△ABC＝S△ABD+S△CBD＝DE?AB+，
∴150＝DE×36+，
∴150＝18DE+12DF，
而DE＝DF，
∴DE＝5cm．
故答案為：5cm．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)；解題關(guān)鍵是通過(guò)作垂線利用角平分線構(gòu)造全等三角形，然后利用全等三角形解決問(wèn)題．
15．已知a＝7﹣3b，則代數(shù)式a2+6ab+9b2的值為 49 ．
【分析】先根據(jù)完全平方公式變形，再代入，即可求出答案．
解：∵a＝7﹣3b，
∴a+7b＝7，
∴a2+4ab+9b2
＝（a+2b）2
＝74
＝49，
故答案為：49．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，能熟記完全平方公式是解此題的關(guān)鍵，注意：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
16．如圖，在五邊形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，則∠P＝ 60° ．
【分析】先根據(jù)五邊形內(nèi)角和求得∠EDC+∠BCD，再根據(jù)角平分線求得∠PDC+∠PCD，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和求得∠P的度數(shù)．
解：∵在五邊形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，
∴∠EDC+∠BCD＝（5﹣2）×180°﹣300°＝240°，
又∵DP、CP分別平分∠EDC，
∴∠PDC+∠PCD＝120°，
∴△CDP中，∠P＝180°﹣（∠PDC+∠PCD）＝180°﹣120°＝60°．
故答案為：60°．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和以及角平分線的定義，解題時(shí)注意：多邊形內(nèi)角和＝（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數(shù)）．
17．如果（x+1）（x2﹣5ax+a）的乘積中不含x2項(xiàng)，則a為 ．
【分析】先用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則展開(kāi)求它們的積，并且把a(bǔ)看作常數(shù)合并關(guān)于x2的同類項(xiàng)，令x2的系數(shù)為0，求出a的值．
解：原式＝x3﹣5ax4+ax+x2﹣5ax+a，
＝x5+（1﹣5a）x5﹣4ax+a，
∵不含x2項(xiàng)，
∴7﹣5a＝0，
解得a＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，并利用不含某一項(xiàng)，就是讓這一項(xiàng)的系數(shù)等于0求解．
18．有若干張如圖所示的正方形A類、B類卡片和長(zhǎng)方形C類卡片，如果要拼成一個(gè)長(zhǎng)為（2a+b），寬為（3a+2b），則需要C類卡片 7 張．
【分析】首先分別計(jì)算大矩形和三類卡片的面積，再進(jìn)一步根據(jù)大矩形的面積應(yīng)等于三類卡片的面積和進(jìn)行分析所需三類卡片的數(shù)量．
解：（2a+b）×（3a+6b）＝6a2+5ab+2b2，
則需要C類卡片5張．
故答案為：7．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則與幾何的綜合題，方法較新穎．注意對(duì)此類問(wèn)題的深入理解．
19．如圖，在△ABC中，∠C＝∠B＝65°，BF＝CD，CE＝BD 65° ．
【分析】由SAS可得△FBD≌△DCE，可得∠BFD＝∠CDE，由平角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得∠B＝∠EDF＝65°．
解：∵∠C＝∠B＝65°，
∴AB＝AC，
在△FBD與△DCE中，
，
∴△FBD≌△DCE（SAS），
∴∠BFD＝∠CDE，
∴∠B＝180°﹣∠BDF﹣∠BFD＝∠EDF＝180°﹣∠BDF﹣∠CDE，
∵∠B＝65°，
∴∠EDF＝65°．
故答案為：65°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)問(wèn)題，熟練掌握全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．
三、解答題：（21題每小題24分，22題8分，共計(jì)32分）
21．（24分）（1）計(jì)算：（2m+3n）2﹣（2m+n）（2m﹣n）；
（2）計(jì)算：（x+1）2﹣x（x+1）；
（3）因式分解：（a﹣3）2+（3﹣a）；
（4）因式分解：（a2+b2）2﹣4a2b2．
【分析】（1）先利用完全平方公式和平方差公式計(jì)算，再合并同類項(xiàng)即可；
（2）先利用完全平方公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，再合并同類項(xiàng)即可；
（3）提取公因式a﹣3即可得出答案；
（4）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解即可．
解：（1）原式＝4m2+12mn+2n2﹣4m8+n2
＝10n2+12mn；
（2）原式＝x7+2x+1﹣x8﹣x
＝x+1；
（3）原式＝（a﹣3）5﹣（a﹣3）
＝（a﹣3）（a﹣2）；
（4）原式＝（a2+b2+8ab）（a2+b2﹣6ab）
＝（a+b）2（a﹣b）2．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查整式的混合運(yùn)算和因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握整式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則及完全平方公式和平方差公式．
22．先化簡(jiǎn)后求值2（x2y+xy2）﹣2（x2y﹣3x）﹣2xy2﹣2y的值，其中x＝﹣1，y＝2．
【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則展開(kāi)，再合并同類項(xiàng)，把xy的值代入求出即可．
解：原式＝2x2y+3xy2﹣2x5y+6x﹣2xy6﹣2y
＝6x﹣5y，
當(dāng)x＝﹣1，y＝2時(shí)，
原式＝3×（﹣1）﹣2×2
＝﹣10．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)整式的加減，合并同類項(xiàng)，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，注意展開(kāi)時(shí)不要漏乘，同時(shí)要注意結(jié)果的符號(hào)，代入﹣1時(shí)應(yīng)用括號(hào)．
四、解答題：（23題8分，24題8分，共計(jì)16分）
23．如圖，A、D、F、B在同一直線上，AD＝BF，且AE∥BC．求證：
（1）△AEF≌△BCD；
（2）EF∥CD．
【分析】要證△AEF≌△BCD，由已知AE∥BC，得∠A＝∠B．又因AD＝BF，所以AF＝AD+DF＝BF+FD＝BD，又因AE＝BC，所以△AEF≌△BCD．再根據(jù)全等即可求出EF∥CD．
【解答】證明：（1）∵AE∥BC，
∴∠A＝∠B．
又∵AD＝BF，
∴AF＝AD+DF＝BF+FD＝BD．
又∵AE＝BC，
在△AEF和△BCD中，
，
∴△AEF≌△BCD（SAS）．
（2）∵△AEF≌△BCD，
∴∠EFA＝∠CDB．
∴EF∥CD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形和平行線的判定及推理論證能力，已知中有平行線能為證全等提供角相等的條件，而全等又能得到角相等從而為平行線的證明提供了條件．
24．下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式（x2﹣3x+1）（x2﹣3x+5）+4進(jìn)行因式分解的過(guò)程．
解：設(shè)x2﹣3x＝y(tǒng)．
原式＝（y+1）（y+5）+4（第一步）．
＝y(tǒng)2+6y+9（第二步）．
＝（y+3）2（第三步）．
＝（x2﹣3x+3）2（第四步）．
回答下列問(wèn)題：
（1）該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的 B ．
A．提公因式法
B．公式法
（2）請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式（x2+2x）（x2+2x+2）+1進(jìn)行因式分解．
【分析】（1）由解題過(guò)程可知，利用公式法分解；
（2）先換元，再用完全平方公式因式分解即可．
解：（1）y2+6y+2＝（y+3）2，用到的是公式法；
故答案為：B；
（2）設(shè)y＝x7+2x，
∴（x2+2x）（x2+2x+7）+1
＝y(tǒng)（y+2）+6
＝y(tǒng)2+2y+3
＝（y+1）2
＝（x8+2x+1）3
＝（x+1）4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法，利用換元和整體的數(shù)學(xué)思想解題是關(guān)鍵．
五、解答題：（本題滿分12分）
25．在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是射線CB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，設(shè)∠BAC＝m，∠DCE＝n．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，且m＝60°時(shí) 120 度；
（2）當(dāng)m≠60°：
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上時(shí)，求m與n間的數(shù)量關(guān)系；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)將圖3補(bǔ)充完整
【分析】（1）根據(jù)∠DAE＝∠BAC，得到∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE即∠DAC＝∠CAE，從而證明△ABD≌△ACE（SAS），根據(jù)∠B＝∠ACE，∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝2∠B，代入計(jì)算即可．
（2）①根據(jù)∠DAE＝∠BAC，得到∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE即∠DAC＝∠CAE，從而證明△ABD≌△ACE（SAS），得到∠B＝∠ACE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，進(jìn)行等量代換計(jì)算得∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝2∠B＝180°﹣∠BAC即可．
②補(bǔ)圖后，仿照上面的證明求解即可．
解：（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝2∠B，
∴m＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠DCE＝2∠B＝120°，
故答案為：120°．
（2）①m+n＝180°，理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，
∴∠B+∠ACB＝∠DCE＝n
∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∠BAC＝m，
∴m+n＝180°．
②如圖所示，m＝n，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
即∠DAB＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB＝∠AEC，
設(shè)線段AE和線段CB相交于點(diǎn)F．
∴∠DFA＝∠EFC，
∵∠DAF+∠DFA+∠ADF＝∠ECF+∠EFC+∠AEC＝180°，
∴∠DAF＝∠ECF，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠BAC＝m，∠DCE＝n，
∴m＝n．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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